BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2
Trang 1BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 CHƯƠNG I: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Bài 1: Tính các tích phân sau
a/
2
ln
e
e x x
dx
1
0
2
1 x dx I
c/
e
xdx I
1
2 /
0
sin
xdx
I n n
e/
1
0
4x x
dx
3 /
3 / 2
cos
sin
dx x
x x I
g/
2
2 4
2
1
2
dx x
x tg x
2
0
2 cos
1 x dx I
i/
0
2
cos 1
sin
x
xdx x
6
1 1 3x 2
dx I
k/
2
0 3 2 cosx
dx
1
arcsin dx
x
x I
m/
8 ln
3
ln e x 1
dx
3
0
xarctgxdx I
o/
e
xdx I
1
2
2 /
0
2
sin 2 1
x
dx I
q/
e n
I
1
2 /
0
cos cos
nxdx x
n
s/
4 /
0 2
xdx tg
1
0
dx e x
I n x n
Bài 2: Tính các tích phân suy rộng
a/
0 2
1 x
dx
1
0 1 x2
dx I
c/
2 2
) 1 ( x
dx
0 3
1 x
dx I
e/
0
dx e x
f/
2 x x2 1
dx I
g/
e
x x
dx I
b
a x a b x
xdx I
) )(
( i/
3
1 4x x2 3
dx
0
2
dx xe
a a
a f x dx f x dx
0
) ( 2
0 )
( , nếu , nếu f (x f)(x là hàm lẻ) là hàm lẻ
, nếu f (x) là hàm chẵn
Trang 2k/
2
2 dx
x
x
0
2 / 3 2
1 x dx
arctgx I
Bài 3: Khảo sát sự hội tụ (hay phân kỳ) của tích phân suy rộng
a/
a x
dx
I , với 0 b/
0 2 2
1
cos
dx x
x I
c/
1x 1 x2
dx
1 2
2 / 3
1 x dx
x I
e/
b
a b x
dx
) ( , với R f/
1
0 41 x4
dx I
g/
1
0 2
1
ln dx
x
x
0 2
1
ln
dx x
x I
i/
1
0
dx x
arctgx
2
1 x
dx I
k/
2 2
) 1 (x x
dx
1
) 1 ln(
dx x
x I
m/
1 1 x3 dx
xarctgx
1
x
dx
I , với 0 o/
1
x
dx
I , với 0 p/
2 x ln x
dx
q/
0
cos xdx
1 2
sin dx
x
x I
s/
1
cos
dx x
x
1
0e x 1
dx I
u/
1
dx
2
1ln x
dx I
w/
1
0e cos x
dx
1
0 x x2
dx I
y/
0
3 2x 1
x
xdx
3 sin 4
1 dx
x x
x I
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi các đường cong
a/ y2 2x
và x2 2y
b/
2
0
| 1
| x dx S
c/ y 2 x2 và y 3 x2 d/
) cos 1 (
) sin (
t a
y
t t a x
và trục Ox
e/ xt2 1 và y 4t t3 f/ ra( 1 cos ) và r a
g/ 2 1
2 2
2
b
y a
x
, với a 0 ,b 0 h/ y ( x 1 ) 2 và xsin( y ) i/ 2 2 4
y
x và 2 2 2 0
y x
x j/ y x và yx sin 2x , với 0 x k/ x 0 ,y 0 và 2 ( 1 )
y y
x l/ y2 x2 (a2 x2 ) , với a 0 Bài 5: Tính thể tích
Trang 3a/
) cos 1 (
) sin (
t a
y
t t a x
; 0 t 2 và y 0 xoay quanh Ox
b/
0
2 2
y
x x y
xoay quanh Ox và Oy
c/ vật bị giới hạn bởi mặt z 4 y2 và x a (với a 0), x 0 ,z 0
d/ vật bị giới hạn bởi 2 mặt trụ x2 y2 a2 và y2 z2 a2
e/ vật tròn xoay khi quay hình phẳng bị giới hạn bởi y sinx (0 x ) và trục Ox khi quay quanh Ox và quay quanh Oy
f/ vật tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y x2 và y 4 quay quanh Oy và quay quanh đường thẳng x 2
) 4 (
x
y , x 0 xoay quanh trục Oy
e y e x
y x x quay quanh trục Ox
Bài 6: Tính diện tích mặt tròn xoay
a/ y x2 ; 0 x 1 xoay quanh Oy
b/
) cos 1 (
) sin (
t a
y
t t a x
; và y 0 xoay quanh Ox
c/ 9y2 x( 3 x) 2 ; 0 x 3 quay quanh Ox
d/ 3y x3 ; 0 x a quay quanh Ox
e/
t a y
t a x
3
3 2
sin
cos ; 0 t 2 quay quanh Ox
Bài 7: Tính độ dài đường cong
a/ y 2 x3 từ gốc toạ độ đến điểm A( 4 , 8 )
b/
t a y
t a x
3 3
sin
cos ; 0 t 2 c/ sin 3 3
r với 0 / 2
d/ y ( 3 x) x
3
1
; 0 x 3
e/ y x lnx
2
1 4
1 2
; 1 x e
CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1: Tính các tích phân bội hai
a/
D
dxdy xy
x
I ( 2 2 )
, với
2 2
2
3 :
x y
x y
D
b/
D
dxdy x xy
I ( 3 ) , với
1 2
2 :
2
x y
x y D
c/
D
dxdy xy x
I ( 2 5 )
, với
x y
x y D
1
1 :
2
d/
D
xydxdy
I , với
1
2 :
y
y x
y x D
e/
D
dxdy y x
I ( 4 ) , với
x y x
y x D
3
4 1
:
2 2
Trang 4f/
D
dxdy y x
I 4 2 2 , với
0
2 :
2 2
y
x y x D
g/
D
dxdy y x
I
2 2
1
, với
x y
y y x
2 2
h/
D
dxdy y x
I ( 2 ) , với
0
4 :
2 2
y
x y
y x D
i/
D
dxdy y x
I ( 2 7 ) , với
x y y
x y
2 :
2
j/
D
xdxdy
I 3 , với
0
4 2
:
2 2
x
x y
y y x y D
k/
D
dxdy y x
I ( 6 ) , với
2
0
ln :
e x y
x y D
Bài 2: Tính các tích phân bội ba
a/
, với
2 0
4 :
2 2
y y
z x
b/
x y z dxdydz
I ( ) , với
4
; 1
3
; 1
2
; 0 :
z y x z
y x
z y x z y x
z y x z y x
c/
z y x
I 2 12 2 , với
0
4 :
2 2 2
y
z y x
d/
xdxdydz
I , với
2 :
2 2
y z
y x z
e/
zdxdydz
I , với
0
4 1
: 2 2
2 2 2
z y x
z y x
f/
zdxdydz
I 2 , với
0
2 :
2 2 2
z
y z y x
g/
zdxdydz
I 3 , với
z y x
z y x
2 2
2 2 2
4 :
h/
x y z dxdydz
4
0
1 4
9
2 2
z
z y x
i/
x y dxdydz
I ( 4 ) , với
5 0 0
4 :
2 2
z x
y x
j/
, với
2 2
4 :
2 2
x y
x y z y
Trang 5k/
, với
y z
x y x
0
2 :
2 2
l/
xdxdydz
I , với
2 2 2
2 2 2
4 :
z y x
z z y x
Bài 3: Tính thể tích các khối vật thể sau
a/
1
2 :
2 2
z
y x z
b/
z y
x
y x z
y x
4
1 :
2 2
2 2
2 2
c/
2
2 2
2 1
0 , 0 , 0 :
x z
y x
z y x
d/
2 2
:
y x z
z y x
Bài 4: Tính các tích phân sau
a/
x z dxdydz
2 2
0 , 1
2 , :
y x z
z y
x y x y
b/
xdxdydz
2 2
1 0
, :
y z z
x y x y
c/
, với
2 2
2 2
2 2
2
4 :
y x z
y x z
y x
d/
zdxdydz
0
2 :
2 2 2
z
x z y x
e/
ydxdydz
2 2
:
y x z
z y x
f/
I ( 2 ) , với
2 2
2 2
1
0 , 0 , 0
1 :
y x z
z y x
y x
g/
xdxdydz
1 0
1 :
2 2
2 2
z y x
z y x
h/
zdxdydz
2 :
2 2
x z
y x z
i/
ydxdydz
2 2 2
4 :
y x z
z z y x
j/
y z dxdydz
x z
z y
x y
2
0 , 1
2 :
2
k/
dxdydz
4 4
2 :
2 2
z x
z x
x y x
Trang 6l/
dxdydz
0 1
4 : 2 2
2 2 2
z
y x
z y x
2 2
2
:
y x z
y x z
n/
ydxdydz
1
2 :
2 2 2
y
y z y x
o/
zdxdydz
0
1 :
2 2 2
z
z y x
p/
x z dxdydz
4
1 :
y x z
z
q/
x y z dxdydz
I ( 2 2 2 )
, với
2 2
1 :
y x z
z y x
r/
x yz dxdydz
4 1
1 0
1 0
:
z y x
s/
dxdydz
2 2
2 2
0
2 :
y x z z
x y x
Bài 5: Biểu diễn các miền D sau dưới dạng đơn giản, tính diện tích D và tính tích phân
D
dxdy y x f
I ( , ) , với
a/ D là hình chữ nhật bị giới hạn bởi x 2 ,x 3 ,y 4 ,y 6 và f(x,y) xy
b/ D bị giới hạn bởi y 2x,x 0 ,y 4 và f(x,y) x
c/ D bị giới hạn bởi 4 2 , 0 , 1 1
y x y
x và f(x,y) xy2
d/ D là hình thang bị giới hạn bởi x 0 ,y 0 ,xy 2 ,xy 1 và f(x,y) x
e/ D là tam giác bị giới hạn bởi x 0 ,y 0 ,xy 3 và f (x,y) x(x 1 )e xy
f/ D là hình tròn 2 2 4
y
x nằm trong phần tư thứ nhất, và f(x,y) x2 2y
g/ D là miền |x| |y| 1 và f(x,y) x
h/ D là miền nằm phía trên đường y21; nằm trong vòng tròn 2 2 1
y
1 )
, (x y x y2
f
i/ D bị giới hạn bởi y 5 x,y x 7 ,x 10 và f(x,y) 3x 5
j/ D là hình tròn 2 2 16
y
x nằm trong phần tư thứ hai, và f(x,y) x
k/ D là hình chữ nhật [ 2 , 2 ] [ 0 , 1 ] và f(x,y) x y
l/ D là hình chữ nhật [ 0 , 4 ] [ 1 , 3 ] và f(x,y) xy
Bài 6: Hãy tính tích phân
D
ydxdy x
I 2
trên miền D cho bởi các hình vẽ sau a/ b/
Trang 7Bài 7: Tính các tích phân sau
a/
1
0 0
x
dydx
1
0
0
x
dydx I
c/
1 0
6
3
) 1 (
x
x
dydx y
2
0
4
0
2 / 3 2 2
) 4 (
x
dxdy x
I
e/
4
2 1 3
3
y
dxdy x
y
2 /
0
cos 0
ydxdy I
Bài 8: Tính thể tích của các khối sau
a/ có đáy là ( 0 , 0 ), (a, 0 ), ( 0 ,b), với a, b 0 và nằm dưới mặt phẳng
b
y a
x
z 2
b/ nằm phía trên mặt phẳng Oxy và dưới mặt z 1 x2 2y2
c/ nằm trong hình trụ 2 2 2 8
y
x , trên z y 4 và dưới z 8 x
d/ là tứ diện nằm trong góc x 0 ,y 0 ,z 0, tạo ra bởi các mặt tọa độ và mặt
12 2 4
3x y z
e/ là tứ diện có các đỉnh ( 0 , 0 , 0 ), ( 3 , 0 , 0 ), ( 2 , 1 , 0 ), ( 3 , 0 , 5 )
f/ là nửa mặt cầu 2 2 2 2 , 0 , 0
y z a z a x
g/ là tứ diện với các mặt x 0 ,z 0 ,xy 5 , 8x 12y 15z 0
Bài 9: Tính tích phân
S
zdxdy ydzdx
xdydz
I , với S là phía trên của phần mặt phẳng 0
1
z
x , nằm giữa 2 mặt phẳng y 0 ,y 4 và thuộc góc phần tám thứ nhất
Bài 10: Tính tích phân
S
xzdydz ydxdz
dxdy
I 2 , với S là phía ngoài ellipsoid
4 4
4 2 2 2
y z
x và thuộc góc phần tám thứ nhất
Bài 11: Tính tích phân
S
xydS
I , với S là mặt z 2x, 0 x 1 , 0 y 2 Bài 12: Tính tích phân
S
dS yz y xy
I ( 2 )
, với S là mặt xyz 1 , 0 y 1 , 0 z 2
Trang 8CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT
Bài 1: Tính các tích phân đường (trên mặt phẳng Oxy)
a/
) ( 2
C
xdy dx y
I , với (C) :y2 4x
từ ( 0 , 0 ) đến ( 1 , 2 ) b/ I (C)x2y2dxxy2dy, với (C) là đường x 1 , 2 y 4
) (
2 2 2
2
C
dy y x
y dx y x
x
4
1 vòng tròn bán kính 1, từ ( 1 , 0 ) đến ( 0 , 1 ) d/
)
(C
xdy ydx
I , với (C) lày2 4x
từ ( 1 , 2 ) đến ( 0 , 0 ) e/ I (C)(3x 2y)dx, với (C) là y 8x 2x2 từ ( 4 , 0 ) đến ( 0 , 0 )
f/
)
(C
xydx
I , với (C) là đường thẳng nối ( 0 , 1 ) tới ( 1 , 0 )
g/ I (C)(x2 y2)dxxdy, với (C) là vòng tròn 2 2 4
y
x , từ ( 0 , 2 ) đến ( 2 , 0 )
Bài 2: Tính các tích phân sau
) (
2 2
2
C
dy xy dx y x
I , với (C) là đường cong kín, ngược chiều kim đồng hồ, tạo ra bởi đường x 1 và parabol x y2
b/
)
(C
ydx xdy
I , với (C) là tam giác tạo bởi 3 đỉnh ( 0 , 0 ), ( 0 ,a), (b, 0 ) ngược chiều kim đồng hồ
c/
)
(C
xdy
I , với (C) là ellipse 2 1
2 2
2
b
y a
x
thuận chiều kim đồng hồ
d/ I (C)ydx, với (C) là đường cong tạo bởi 2 2 1 , 0
y y
x trong nửa mặt phẳng trên theo chiều ngược chiều kim đồng hồ
e/ I (C)(x3 y2)dx2xy2dy, với (C) là đường ngược chiều kim đồng hồ, xung quanh hình vuông tạo bởi x 0 ,x 2 ,y 0 ,y 2
f/ I (C)xy2dx, với (C) là đường tròn x2 y2 a2 thuận chiều kim đồng hồ
g/
) (
3 2
2
C
ydy x dx y x
I , với (C) là hình vuông tạo bởi x 0 ,x 1 ,y 0 ,y 1 ngược chiều kim đồng hồ
Bài 3: Chứng minh các tích phân sau không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân, và tính các tích phân
a/
) (
) 2 ( ) (
C
x y dx x y dy e
I , với (C) là đường cong bất kỳ khả vi từng khúc, nối ( 0 , 1 ) đến (2,4)
) (
2
2 (
C
dy y x dx xy
I , với (C) là đường cong bất kỳ nối từ ( 1 , 2 ) đến ( 2 , 3 ) c/ I (C)(y2xe y)dx(xx2e y)dy, với (C) là đường
t t y
t t x
ln ) (
) ( 1 / 2
, nối từ (1,0) đến
) 2 ln ,
2
Trang 9
) (
2
1
C
dy xy dx y x
I , với (C) là đường cong bất kỳ nối từ ( 1 , 4 ) đến ( 3 , 2 ) trong miền x,y 0
e/ I (C)xcos(xy)sin(xy)dxxcos(xy)dy, với (C) là đường cong bất kỳ, nối từ
) 0 , 0
3
, 6
) (
2 1 ) ( ) 2 (
C
dy x
dx xy
I , với (C) là đường cong tạo bởi bốn cạnh của hình vuông
2 , 0 , 2 ,
0
x y y
x
) (
2 1 ) ( ) 2 (
C
dy x
dx xy
I , với (C) là đường cong bất kỳ, nối từ ( 0 , 1 ) đến ( 2 , 3 )
h/ I (C)(4x2 4y2)dx(lny 8xy)dy, với (C) là đường cong bất kỳ, nối từ ( 1 , 1 ) đến
) , 4
( e trong miền y 0
Bài 4: Hãy tính tích phân đường bằng định lý Green
a/
)
(C
xdy ydx
I , với (C) là đường cong kín bao quanh miền
1 0
1 0
:
y
x D
b/ I (C)e xcosydxe xsinydy, với (C) là tam giác có 3 đỉnh ( 0 , 0 ), ( 0 , 1 ), ( 1 , 0 )
c/
)
(C
ydx
I , với (C) là đường cong kín bao quanh miền D là phần hình tròn nằm trong góc phần tư thứ nhất
d/
) (
2 / 3 2 /
(
C
dy y x xydx
I , với (C) là đường cong kín, bao quanh miền D là hình vuông [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ]
e/ I (C)ycosxdxxsinydy, với (C) là biên của tam giác có 3 đỉnh
2 , 0 , 0 , 2 ), 0 , 0
f/ Tính tích phân I trong câu b/ với (C) là biên của tam giác có 3 đỉnh ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 1 , 0 ) g/ Tính tích phân I trong câu b/ với (C) là đường cong kín bao quanh miền
] 1 , 0 [ ] 2 , 0 [ :
Bài 5: Chứng minh rằng với miền D thỏa định lý Green thì ta có thể tính diện tích D bằng các công thức
)
(C
xdy , (C)ydx ,
) (
2
1
C
xdy ydx
với (C) là đường cong kín bao quanh miền D
Sau đó áp dụng để tính các diện tích sau
a/ Tính diện tích hình tam giác D có các đỉnh ( 0 , 0 ), ( 5 , 2 ), ( 3 , 8 )
b/ Diện tích tứ giác với các đỉnh ( 0 , 0 ), ( 2 , 1 ), ( 1 , 3 ), ( 4 , 4 )
c/ Diện tích tam giác với 3 đỉnh (a1,b1), (a2,b2), (a3,b3), với giả thiết 3 điểm này không thẳng hàng
Bài 6: Cho
( , ) 2 2
y x
y y
x P
và ( , ) 2 2
y x
x y
x Q
a/ Chứng minh rằng Q x P y
Trang 10b/ Chứng minh rằng
D C
dxdy y
P x
Q Qdy
Pdx
) ( , với (C) là đường cong kín bao quanh : 2 2 1
y x D
c/ Giải thích vì sao định lý Green không thỏa ở câu b/
Bài 7: Tính các tích phân đường sau
a/ I (C)xydxy2dy, với (C) là nửa đường tròn
1
2
2 2
x
x y x
ngược chiều kim đồng hồ b/
) (
2 )
C
y
x x y dx x y dy e
I , với (C) là đường tròn 2 2 4
y
x theo chiều dương lượng giác
) (
2 2 2
2
) ( ) (
dy y x y
x
dx y x
TH1: (C) là đường tròn x2 y2 a2 theo chiều dương lượng giác TH2: (C) là đường cong tùy ý không bao quanh gốc tọa độ O, ngược chiều kim đồng hồ
) 4 , 3 (
) 1 , 1 (
3 ) (
) (e y dx x y dy
e/
) (
(
C
xdy dx
y x
I , với (C) là
4
1 đường ellipse 2 4 2 1
y
x , phần y 0, theo chiều kim đồng hồ
f/ I (C)(xy2)dxy2xdy, với (C) là chu vi tam giác OAB, trong đó
) 2 , 0 ( ), 1 , 1 ( ), 0 , 0
O ngược chiều kim đồng hồ
g/ I (C)xydx2y2dy, với (C) là 1 / 2 đường tròn 2 2 4
y
x cùng chiều kim đồng hồ
) (
2
(
C
xydy dx
y x
I , với (C) là 1 / 2 đường tròn x2 y2 4x
, y 0 ngược chiều kim đồng hồ
) (
2 2 2
2
) 3 ( ) 2 (
dy x y y
x
dx y x
I , với (C) là đường tròn 2 2 9
y
x ngược chiều kim đồng hồ
) (
2 2 2
2
4
5 4
3 2
C
dy y x
y x dx y x
y x
I , với (C) là phần tư ellipse 2 4 2 1
y
x ở góc phần tư thứ nhất, ngược chiều kim đồng hồ
k/
) (
2
3 ( ) 1 2 (
2 2
C
y
e
y
x cùng chiều kim đồng hồ
l/
) (
) 3 2 (
C
dy y x xydx
I , với (C) là chu tuyến (biên của chu vi) dương của miền
x y
x y D
2 :
2
) (
(
C
y x dy e
dx y x
I , với (C) là đường cong tùy ý, nối từ A( 1 , 1 ) đến )
2 , 3 (
B
n/
) 2 , 3 (
2
2 y x
ydy xdx
I theo đường cong tùy ý không chứa gốc O
