Bai tap giai tich 2 sinh vien

Chứng minh rằng biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân toàn phần của hàm số u x y , trong miền không chứa gốc tọa độ.. Thay đổi thứ tự lấy tích phân.. Thay đổi thứ tự lấy tích phân...

Trang 1

Đề ôn tập Giải tích 2

Câu1.A: Cho hàm số ẩn z z x y= ( , ) được xác định bởi phương trình x e= 2z(z y+ 2+2 )y

Tính vi phân toàn phần dz x y( , ).

Câu 2.A: Tìm các hằng số A B C, , để hàm số z=2x3+3xy−2y3+Ax By C+ +

đạt cực trị tại điểm M(1, 1)− và z(1, 1) 0− =

Câu 3.A: Cho hàm số

ln arctan y

x

Rút gọn biểu thức 2 2

// //

I =z +z

và tính d (0,1)2z

Câu 4.A: Tìm cực trị của hàm số z xye= x y− .

Câu 5.A: Tìm cực trị của hàm số z e= 2x(x2+ y2−2)

Câu 6.A: Tìm cực trị của hàm số z=xy2+x4+ y4

Câu 7.A: Tìm cực trị của hàm số z=xy 1+x2+y2

Câu 8.A: Tính gần đúng số I = e−0,02+(2,11)3.

Câu 9.A: Cho hàm số ẩn z= z x y( , ) được xác định bởi phương trình

2

3sin( ) 3

y z

z= x yz + xe Tính gần đúng giá trị của z tại x0 =0,98; y0 =0,01

Câu 10.A: Cho hàm số ẩn z z x y= ( , ) được xác định bởi phương trình 2 2

y z

z=x y+ xe Tính

gần đúng giá trị của z tại x0 =0,99; y0 =0,02

Câu 11.A: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

z=x2+y2−2x y2 +1 trong miền D={( , ) : x y x2+y2 ≤1}

Câu 12.A: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

z=x2+y2−8x−6y+1 trong miền D={( , ) : x y x2+y2 ≤1}

Câu 13.A: Tìm cực trị của hàm số

f x y = x + xy+ y

với điều kiện: x2+y2 =1.

Câu 14.A: Cho u x y v x y( , ), ( , ) là các hàm số ẩn xác định từ hệ phương trình

sin

2

; (1,1) 0, (1,1)

4 cos

2

u

x

u

x

v x

e

y

v y

e

y

π



=







Câu 15.A: Cho z x y( , ) là hàm ẩn xác định từ phương trình

Trang 2

1, (0,0) 5

z

Tính d (0,0).z

Câu 16.A: Tìm cực trị của hàm số z=3x y y2 + 3−18x−30y

Câu 17.A: Tìm cực trị của hàm số z=x4+ y4 −4xy+1.

Câu 18.A: Tìm cực trị của hàm số z e x y x y= x( + )( − +4)

Câu 1.B: Tính tích phân đường loại 2 của hàm véc tơ Fur=(xy x y i+ + )r+(xy x y j+ − )r

dọc theo đường tròn x2+y2 =1với chiều ngược kim đồng hồ.

Câu 2.B: Cho u x y( , )= x3+ y3+x y2 Tính tích phân đường loại 2 của hàm véc tơ

grad ( , )u x y dọc theo nửa trên đường tròn x2+ y2 =1đi từ điểm A( 1,0)− đến điểm B(1,0)

Câu 3.B: Tính C

J =∫xdx ydy+

lấy theo chiều tăng của tham số t, biết rằng đường cong C có

phương trình:

1 , 0 3

2

t

y t

 = −



=



Câu 4.B: Tính

2 2

2

C

x

J =Ñ ∫ xy+ x+ y dx+ y − x+ dy

lấy theo chiều ngược kim đồng

hồ, biết rằng đường cong C có phương trình: x2+ y2 =4.

Câu 5.B: Cho trường vô hướng

2 3 ( , )

u x y xy

x y

a Chứng minh rot grad ( , ) 0, u x y = ∀ ≠xy 0

b Tính đạo hàm của hàm u x y( , ) tại M(1,1) theo hướng OMuuuur.

Câu 6.B: Cho trường vô hướng u x y( , )=e xy(2x y− )

a Chứng minh rot grad ( , ) 0, ( , ).u x y = ∀ x y

b Tính đạo hàm của hàm u x y( , ) tại M(1,0) theo hướng grad (1,0)u .

Câu 7.B: Tính C 2 2

ydx xdy I

x y

−

=

+

∫

Ñ

, theo chiều dương của C trong các trường hợp:

a C không bao quanh gốc tọa độ

b C có phương trình

1

x + y =

Câu 8.B: Tính

2

( sinx sin2 cos ) ( cosx sin sin )

L

I =∫ e y+ x y dx+ e y− x y dy

với cung L là nửa

trên đường tròn x2+y2 =2xtừ điểm O(0,0)đến điểm A(2,0).

Trang 3

Câu 9.B: Tính

2

L

I =∫ x +y x dy y+ c x y dx−

với cung L là nửa trên đường tròn

x +y = từ điểm A(2,0)đến điểm B( 2,0)− .

Câu 10.B: Cho

L

x y dx y x dy I

x y

=

+

∫

,

a Chứng minh rằng biểu thức dưới dấu tích phân là vi phân toàn phần

của hàm số u x y( , )trong miền không chứa gốc tọa độ Tìm hàm số đó.

b Tính I với L là cung có phương trình y= −1 x2 đi từ điểm

A(1,0) đến điểm B(0,1)

Câu 11.B: Cho

2

1

2 ln

1

L

x

∫

a Chứng minh rằng Ikhông phụ thuộc dạng đường cong nằm phía trên trục hoành.

b Tính I với L là cung có phương trình x=lny đi từ điểm

A(1, )e đến điểm B(0,1)

Câu 12.B: Tính

2 2

C

I =Ñ ∫ yzdx zxdy x y dz− +

theo hướng ngược kim đồng hồ nhìn từ phía

trục Oz xuống, biết C có phương trình

2 , 0, 0

 + + =







Câu 13.B: Tính thông lượng Φ của trường véc tơ F x y zur( , , )= +xi y jr +2kr theo phía ngoài

của phần mặt cầu: x2+y2+z2 =R R2, >0 nằm trong góc phần tám thứ nhất

Câu 14.B: Tính thông lượng Φ của trường grad ( , , )u x y z , biết u x y z( , , )= x2+y2+z2

theo phía trên của nửa trên mặt cầu: x2+y2+z2 =R R2, >0.

Câu 15.B: Tính thông lượng Φ của trường grad ( , , )u x y z , biết u x y z( , , )=x y2 2

theo phía trên của mặt nón: z=2R− x2+y z2, ≥0, R>0

Câu 16.B: Tính tích phân đường »

AB

I = ∫ y x y− +x dx+ x + y x dy

, với cung

»AB là nửa trên đường tròn x2+y2 =4 từ điểm A(2;0) đến điểm B( 2;0)− .

Câu 17.B: Tính tích phân đường

» 2 cos 3 x (2 3 2 x 2sin )

OA

I = ∫ x− x y y e− − dx+ x+ y e− +x y dy

Cung »OA xác định bởi:

0

x





≥

 ; O(0;0), A(0;2).

Trang 4

Câu 18.B: Tính tích phân

2 2

( )

2

C

x

J = Ñ ∫ xy+ x+ y dx+ y − x+ dy

, với (C)

là đường cong có phương trình x2+y2 =4.

Câu 1.C: Cho tích phân

2

( , )

x x

dx f x y dy

−

∫ ∫

a Thay đổi thứ tự lấy tích phân

b Tính tích phân với f x y( , ) =xy.

2

1 1 1

0

( , )

y

dy f x y dx

− −

−

∫ ∫

a Thay đổi thứ tự lấy tích phân

b Tính tích phân với f x y( , )= y.

Câu 3.C: Tính tích phân ( 2 2) , {( , ) 2 2 2 2 0}

D

I =∫∫ x +y dxdy D= x y x +y − x− y≤

Câu 4.C: Tính tích phân ( ) , {( , ) 2 2 2 , }

D

I =∫∫ y x dxdy D− = x y x + y ≤ y x≤ y

D

I =∫∫ x y dxdy D− = x y x + y ≤ − ≤x y

2

D

x y

y

+

Câu 7.C: Tính tích phân

3 3

( 2 )

,

D

x y x

y

+

=∫∫

trong đó D là miền giới hạn bởi các

đường:

2

x

y x= y= y= −x y= −x x≥

Câu 8.C: Tính diện tích của miền phẳng D giới hạn bởi các đường:

2

, , , 2

y

D

I =∫∫ x +y −xy y dxdy+  {( , ) 1 2 2 4, }

D= x y ≤x +y ≤ y ≤x

Câu 10.C: Tính thể tích của vật thểV ={( , )x y a2 ≤x2+y2, x2+y2+z2 ≤R2, 0< <a R}

Câu 11.C: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt cong

z= x2+ y2, z=2(x2+y2), x2+y2 = −2x

V

I =∫∫∫ x + y + +x y dxdydz

x +y =a z= a− x + y z= a>

Trang 5

V

I =∫∫∫ x +y +xy dxdydz

Vlà miền giới hạn bởi các mặt con x2+y2 =a2, z=2a2−(x2+y2), z=0, a>0

2

V

I =∫∫∫ x y z dxdydz+ +

, Vlà miền chứa điểm (0,0, )a và giới

hạn bởi các mặt cong x2+y2+z2 =2 , a z2 = x2+y2, a>0

V

I =∫∫∫ x + y +z dxdydz

, Vlà miền chứa điểm (0,0, )a và

giới hạn bởi các mặt cong x2+y2+z2 =3 , 2a2 az x= 2+y2, a>0

2

( , )

y

dy f x y dx

−

∫ ∫

a Đổi thứ tự lấy tích phân

b Tính tích phân với f x y( , )=x2+2 y

Câu 17.C: Cho tích phân 2

1

0

( , )

x

dx f x y dy

−

∫ ∫

b Tính tích phân với f x y( , )=x3−xy

2

8 2

0 2

( , )

y

dy f x y dx

−

∫ ∫

b Tính tích phân với f x y( , )=xy x−

Câu 1.D: a Tích phân phương trình: y/ =sin(x y+ +) sin(x y− )

b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

y// +3y/ −4y x= +sinx

Câu 2.D: a Giải bài toán Cauchy:

2

(0) 5

x y dx y x dy y





=

b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y// −2y/ = +x cosx

2

(0)

xdy y ydx





=

b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y// + = +y x cotx

Trang 6

(1) 2

xyy x y y





b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y// + −y/ 2y xe= x+1

4

(0) 3

ydx y x dy y





b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y// +2y/ −3y x e= + xcosx

(0) 1

y





=



b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: x x( +1)y//+ +(x 2)y/− =y 0,

biết rằng phương trình có một nghiệm dạng đa thức.

(1) 1

ydx x y x dy y





=



b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: (x2−1)y//−2y=0,

biết rằng phương trình có một nghiệm dạng đa thức.

(1) 1

ydy y x dx y





b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y// +2y/ + =y e x +e−x.

3 3(1 ln ) 3 (12 ln ) 0 (0) 1

y



=



b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: (x2−1)y// −2(x−1)y/ +2y=2,

biết rằng phương trình có hai nghiệm riêng: y=1, y=x

Câu 10.D: a Tích phân phương trình sau bằng cách tìm thừa số tích phân

3

y

xy x y y+ + + dx+ x + y + dy =

b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

// 2 /

x

e

x

−

y xy( +1)dx+(y2−x dy) =0.

// 2 /

x

e

x

Câu 12.D: a Tích phân phương trình: (x−1)(y/+y2)= y.

b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:y//+ y/tanx y− cos2x=cos2x

bằng phép đổi biến t =sin x

Câu 13.D: a Tích phân phương trình: (y+ xy dx xdy) = .

Trang 7

b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: xy// +2(1−x y) / + −(x 2)y e= x

bằng phép đổi biến z= yx

Câu 14.D:

a Giải bài toán Cauchy:

2

(0) 1

x

y y y







(x−1)y//−xy/ + = −y (x 1)2 2e x,

biết rằng phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm y e= x

(y+cos )y dx+ −(1 sin )y dy=0.

b Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y// +4y/+4y e= −2xlnx+1

Câu 16.D: a Tìm nghiệm của phương trình vi phân: ydx+(y4+x dy) =0

thỏa mãn điều kiện y(0) 2= .

b Bằng phép đổi biến x e= t, hãy giải phương trình vi phân: x y2 // +2xy/ −2y x= (3lnx+1)

Câu 17.D:

1 Giải phương trình vi phân: xy' 2− y y− 2lnx=0.

2 Bằng cách đặt 2

u y x

=

, hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:

2 " (4 3 ) ' 2( 2 3 1) 2x

x y +x − x y + x − x+ y=xe .

Câu 18.D:

1 Giải phương trình vi phân: (y+cos )y dx+ −(1 sin )y dy=0.

2 Bằng cách đặt 2

u y x

=

, giải pt: x y2 "+x(4−x y) ' 2(1+ −x y) =xe x.

============================

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	347,92 KB