De thi chon hoc sinh gioi Toan 9 Phu Tho

Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương..[r]

PHềNG GD& ĐT THANH BA

TRƯỜNG THCS ĐẠI AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2012 - 2013

MễN: TOÁN - LỚP 9

Thời gian làm bài 120 phỳt khụng kể thời gian giao đề

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức

1 x



1

4 a) Rỳt gọn biểu thức A

b) Tớnh giỏ trị của A khi x 17 12 2 

c) So sỏnh A với A

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Cho x + y = 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức M = x3 + y3

b) Chứng minh rằng:

Biểu thức

2 2

2

cú giỏ trị là một số tự nhiờn

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trỡnh x2 3x 2  x 3  x 2  x22x 3

b) Cho 3 số thỏa món điều kiện:

x2+2y+1 = y2+2z+1 = z2+2x+1 = 0 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: A = x2012 + y2012 + z2012

Bài 4.(7,0 điểm)

Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD

a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC

b) Tính độ dài phân giác AD?

Bài 5: (1,0 điểm) Rỳt gọn biểu thức sau:

Hết

-HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012-2013

MÔN TOÁN LỚP 9

Bài 1 (4 điểm)

a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)

:

 

2 x 1

:



: 2 x 1 :



:

x

0.5

0.5 0.25 0.25 0.5

b) Tính giá trị của A khi x17 12 2 (1 điểm).

Tính x17 12 2 3 2 2 2  x  3 2 2 2  3 2 2  3 2 2

0.5 0.5

c) So sánh A với A(1 điểm).

Biến đổi

Chứng minh được

1

x

với mọi

1

4

1

x

0.25 0.25

0.5

Bài 2 (4 điểm)

a) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( vì x + y = 1) 0.25

M =

1

Suy ra M

1

Mặt khác : x + y =1  x2 + y2 +2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y )2 = 1

 2(x2 + y2) 1

Do đó : x2 + y2

1 2



Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x = y =

1

2

Ta có M

1

và x2 + y2

1 2



  

Vậy M

1 4



, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng

1

4 khi x = y =

1

2

0.5 0.25

0.5

0.25 0.25

b) Biểu thức

2 2

2

có giá trị là một số tự nhiên ).

2 2

 

2 2

2

2

Vậy B có giá trị là một số tự nhiên

0.75 0.75 0.5

Bài 3 (4điểm) Giải phương trình

a) x2 3x 2 x 3 x 2  x22x 3

 x 1 x 2      x 3 x 2  x 1 x 3 1      

Điều kiện

   

   



 









 1  x 2  x 1 1    x3 x 1 1   0

x = 2 thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

0.5 0.25

0.25 0.5 0.5 b).Ta có x2+2y+1 = 0 (1); y2+2z+1 = 0 (2)

z2+2x+1 = 0 (3)

Cộng từng vế của (1),(2),(3) ta cú

(x2+2x+1) +( y2+2y+1) + (z2+2z+1) = 0

1 0

1 0

x

z

 





  



Vậy: A = x2012 + y2012 + z2012 = (-1)2012+(-1)2012+(-1)2012 = 3

0.25

0.5

0.75

0.5

Bài 4 (7 điểm)

Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp Δ ABC

Gọi E là giao điểm của AD và (O)

a) Ta có : Δ ABD ~ Δ CED (g –g)

⇒ BD

AD

CD ⇒ AD.ED = BD.CD ⇒ AD(AE – AD) = BD.CD

⇒ AD2 = AD.AE – BD.CD (1)

Lại có: Δ ABD ~ Δ AEC (g –g)

⇒ ABAE=AD

AC ⇒ AB.AC = AD.AE (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC

b) Vì AD là phân giác ⇒ DB

BA

CA

⇒ DB

DC

DB+DC

a b+c

⇒ DB = ac

b+c và DC =

ab

b+c

⇒ AD2 = bc -

b+c¿2

¿

a2bc

¿

0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 1

0.5

0.5 0.5

1

Bài 5 (1,0 điểm)

Rỳt gọn biểu thức sau:

Ta cú:

2 1

A

B

C

E D

1

3 4 =

Tương tự ta có

= 2 1  3 2 4 3   2010 2009 (

=  1 2010  2010 1

0.5

0.25 0.25

Chú ý: Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương.