Tính diện tích tam giác đó.. Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đờng tròn O; Gọi I là trung điểm BC ,N là trung điểm EF.. Chứng minh rằng các điểm E, F luôn nằm trên một đờng tròn cố định kh
Trang 1đề thi học sinh giỏi Toán 9
Bài 1 ( 4 điểm )
Cho biểu thức
1 x
- x
2 1
x x
3
- 1 x
1
P
+
+ + +
= a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P
Bài2 (4 điểm)
a) Cho đờng thẳng y = 2x, y x
2
1
= , y = 2 cắt nhau tạo thành một tam giác Tính diện tích tam giác đó
b) Tìm trên đờng thẳng y = 4x + 1 những điểm có toạ độ thoả mãn:
y2 – 5y x + 4x = 0
Bài 3.(3điểm)
a Cho các số dơng a, b, c thay đổi và thoả mãn a + b + c = 4 Chứng minh: a+b+ b+c+ c+a>4
b Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx =
2010.Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x, y, z:
BBài 4(5điểm)
Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đờng tròn tâm O qua B và C Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đờng tròn (O); Gọi I là trung điểm BC ,N là trung điểm EF
a Chứng minh rằng các điểm E, F luôn nằm trên một đờng tròn
cố định khi đờng tròn (O) thay đổi
b Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) tại K Chứng minh rằng : EK //
AB
c Chứng minh rằng tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đờng thẳng cố định khi đờng tròn(O) thay đổi
Bài 5(4 điểm)
a.Giải phơng trình nghiệm nguyên: (y+2)x2+1=y2
b Giải phơng trình:
Trang 21 1 1 2009 2009
1.2 2.3 ( 1) 2009 2010
x
− +
Híng dÉn chÊm:
Bµi 1 a) §iÒu kiÖn x ≥ 0 (0.25)
1 x
- x
2 1)
x -1)(x x
(
3
- 1 x
1
P
+
+ + +
+
1 x x
2 x 2 3
- 1 x
-
x
P
+
+ +
+
= (0.5)
1 x x
1) x (
x
P
+
+
= (0.5)
1 x
-
x
x
P
+
= (0.5)
b) Ta cã
x 0
x
x 0 4
3 2
1
- x x
- x
≥
∀
≥
≥
∀
>
+
= +
2
(0.5)
nªn , x 0
1 x
- x
x
+
= (0.25)
P = 0 ⇔ x = 0 VËy min P = 0 ( 0.25)
• Ta cã ( x- 1)2 ≥ 0 ,∀x ≥0
⇔ x - 2 x + 1 ≥ 0
⇔ x - x + 1 ≥ x , ∀ x ≥ 0 (0.5)
⇔ 1 , x 0
1 x
-
x
+ (0.25)
⇔ P ≤ 1 ∀ x ≥ 0 ; P = 1 ⇔ x = 1 VËy MaxP = 1 khi x = 1 (0.25) Tãm l¹i : minP = 0 khi x = 0 ; MaxP = 1 khi x = 1
Bµi 2
y y= 2x y=
x
2 1
2 A B y=2
2 x
Trang 3a (0.5)
Tính A(( 2 ; 2 );B( 4 ; 2 ) (0.5) Tính S OAB = 4 − 2 (1.0)
b Điều kiện: x ≥ 0 (0.25)
Khi đó ta có: y2 – 5y x + 4x = 0
y 4 x
=
=
(0.5)
Do đó để điểm M(x0; y0) với với y0 = 4x0 + 1 là điểm thuộc đờng thẳng y = 4x + 1 thoả mãn yêu cầu bài toán thì ta cần có x0 ≥ 0 và:
2 0
0 2
0
4
+ =
(0.5)
Vậy toạ độ điểm M cần tìm là: M = 1;2
4
ữ
(0.25)
Bài 3 a Do a , b, c > 0 và từ giả thiết ta có :
a + b < a + b + c = 4 => a+b<2⇒a+b<2 a+b (1 ) 0,5
Tơng tự ta có b + c < 2 b+c (2) 0.25
a + c < 2 c+a (3) 0,25 Cộng vế với vế của (1) , (2) , và (3) ta có
(a+b+c) <2( a+b+ b+c+ a+c)
hay a+b+ b+c+ c+a>4 ( ĐPCM) 0,25
b
2010+x2= xy+yz+zx+x2= (x+y)(z+x) 0.25
Suy ra: x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx) 0.5
Do đó: P= 2.2010=4020 0.25
Trang 4Bài 4
1.∆ ABF và ∆AFC đồng dạng (g_g) 0.5
Ta có : AB/ AF=AF/AC⇔AF2=AB.AC 0.5
⇒AF= AB AC Mà AE=AF nên AE=AF= AB AC không đổi 0.5
Vậy E,F thuộc đờng tròn (A; AB AC ) cố định
2 Tứ giác AOIF nội tiếp đờng tròn
Ta có :∠AIF =∠AOF (1) 0.5
∠AOF = ∠
2
1
EOF và ∠EKF = ∠
2
1
EOF
∠
⇒ EKF =∠AOF (2) 0.5
Từ(1) và(2) ⇒ ∠AIF =∠EKF
Do đó :EK vàAB song song vơí nhau 0.5
3 Cm đợc A,N,O thẳng hàng và AO⊥EF ;
Gọi H là giao điểm của BC và EF
Ta có :∆ ANH và ∆AIO đồng dạng nên
AI
AN AO
AH = 0.5 Suy ra :AH.AI =AN.AO
Lại có :AN AO=AE2 =AB.AC 0.5
Do đó : AI.AH =AB.AC
AI
AC AB
AH = .
Vậy H cố định 0.5
Tứ giác OIHN là tứ giác nội tiếp đờng tròn nên đờng tròn ngoại tiếp OIN luôn qua I và H ;Do đó tâm đơng f tròn này nằm trên đờng trung trực của IH 0.5
Bài 5 a
(y+2)x2+1 = y2
⇔ (y+2)x2–(y2-4) = 3 0.5 ⇔ (y+2)(x2-y+2) = 3 0.25 Suy ra:
Trang 5y + 2 1 3 -1 -3
1
®
VËy nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh lµ: (0;1),(0;-1) 0.25
) 1 (
1
3 2
1 2 1
1
+
−
= + + + +
x x
x 0.5
2010 2009
1 1
2010 2009
2009 2009
+
−
−
= +
−
+
−
x x
x
( x≤ 2009) 0.5 Suy ra: x+1 = 2009 −x+ 2010
⇔ 2009-x+ 2009 −x = 0
⇔ 2009−x( 2009−x+1)=0 0.5 ⇔ 2009 −x = 0
⇔ x = 2009 (tm) 0.5