b Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục là cm.. Đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E và F.. Chứng minh a EF // BC b Các tam giác AED và ADC; AF
Trang 1Trờng THCS Yên trung đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Môn: Toán Lớp 9 ( T hời gian làm bài: 150 phút)
Đề bài Câu1: (4.0 điểm)
Cho biểu thức
A = − + −
−
−
−
+
1
: 1
1 1
1
x
x x
x
x x
x x
a) Tìm ĐKXĐ của A Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A = 3
Cõu 2: (5.0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho các đờng thẳng (d): 3x – 2y + 3 = 0 và (d') : 3x + 2y – 9 = 0 cắt nhau tại C và lần lợt cắt trục Ox tại A, B
a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C
b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục là cm
Câu 3:(4.0 điểm)
a) Cho biểu thức :
M =x2 − 5x y+ 2 +xy− 4y+ 2014 Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
b) Giải hệ phơng trình :
+ + + =
Câu 4 (5.5đ): Cho tam giác ABC Phân giác AD (D ∈ BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D Đờng tròn này cắt AB
và AC lần lợt tại E và F Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED và ADC; AFD và ABD là các tam giác đồng dạng
c) AE.AC = AF.AB = AD2
Câu 5 (1,5 điểm).Cho a, b là các số thực dơng Chứng minh rằng :
( )2
2
a b
Trang 2Đáp án và hớng dẫn chấm
Câu1: (4điểm)
a) • ĐKXĐ: x > 0 và x ≠ 1
(0.5đ)
• Ta có: A =
−
+
−
−
−
−
+
1
: 1
1 1
1
x
x x
x
x x
x x
= − + −
−
−
−
− +
−
+
− +
1 1
) 1 ( : 1
1 )
1 )(
1 (
) 1 )(
1 (
x
x x
x x x
x x
x
x x x
(0.5đ)
= −
+
−
−
−
−
−
+
−
1
: 1
1 1
1
x
x x x x
x x
x x
(0.5đ)
=
1
: 1
1 1
−
−
+
− +
−
x
x x
x x
x
(0.5đ)
=
1
: 1
2
−
−
+
−
x
x x
x
=
x
x x
1
−
+
− (0.75đ)
=
x
x
−
b) A = 3 =>
x
x
−
2 = 3 => 3x + x - 2 = 0 (0.25)
=> x = 2/3
(0,5đ)
Cõu 2: (5,0 điểm)
• C là giao điểm của d và d/ nên tọa độ của C thỏa mãn hệ :
3x
-
9
2y
3 3x
2y
=
+
=
⇔ 2y4y 3x12 3
=
+
=
⇔ yx 13
=
=
Vậy C(1 ; 3) (1.0đ)
• Phơng trình trục Ox là y = 0 nên tọa độ A thỏa mãn hệ :
0
y
3 3x
2y
=
+
=
⇔ yx - 01
=
=
Vậy A(- 1; 0) (0.5đ)
Trang 3tọa độ B thỏa mãn hệ :
0
y
3x
- 9 2y
=
=
⇔
0 y
3 x
=
=
Vậy B(3 ; 0) (0.5đ)
• Gọi H là hình chiếu của C trên trục Ox thì CH là đờng cao của tam
giác CAB và CH = 3 cm ( tung độ của
điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = 1 +
3 = 4 (cm) ⇒ dt(∆ABC) =
2
1
AB.CH =
2
1
.4.3 = 6 (cm2) (1.5đ)
• HA = HO + OA = 1 + 1 = 2 (cm) ⇒ HB =
AB - AH = 2 (cm)
⇒ HA = HB = 2(cm) ⇒ tam giác CAB cân tại C (CH vừa là đờng cao vừa là trung tuyến) ; tam giác vuông HCA có :
CA= AH2+HC2 = 22+32 = 13(cm)
⇒ chu vi ∆ABC là : AB + BC + CA = 4 2 13 + (cm) (1.5đ)
Câu 3: (4.0 điểm) Ta có :
• M =(x2 + 4x+ + 4) (y2 + 2y+ + 1) (xy x− − 2y+ + 2) 2007 (0,25đ)
( ) (2 ) (2 ) ( )
M = −x + −y + −x y− + (0,5đ)
( ) 1( ) 2 3( )2
⇒ = − + − + − +
(0,25đ)
Do ( )2
y− ≥ và ( 2) 1( 1) 2 0
2
− + − ≥
∀x y, (0,25đ)
2007
M
⇒ ≥ (0,25đ)
⇒ = ⇔ = = (0,5đ)
• Đặt : ( )
1 1
u x x
= +
= +
(0,25đ)
Ta có : =u v uv+ =7218 ⇒ u ; v là nghiệm của phơng trình :
(0.25đ)
2
X − X + = ⇒X = X = (0,5đ)
⇒ 12
6
u v
=
=
; 6
12
u v
=
=
(0,25đ)
x x
y y
+ =
+ =
;
x x
y y
+ =
+ =
(0,25đ).
y
x
1 3
3 -1
C
B A
y = 9-3x 2
y = 3x+3 2
Trang 4Giải hai hệ trên ta đợc : Nghiệm của hệ là :
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị
(0,5đ)
Câu 4: (5.5 điểm) a) ã ã ( 1 ằ )
2
EAD EFD= = sdED (0,5đ)
2
FAD FDC= = sdFD (0,5đ)
mà ãEDA FAD= ã ⇒ ãEFD FDC= ã (0,5đ)
⇒ EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau) (0,5đ)
b) AD là phân giác góc BAC nên DE DFằ = ằ
sđã 1
2
ACD= sđ(ẳAED DF− ằ ) = 1
2sđằAE = sđãADE (0.5đ)
do đó ãACD ADE= ã và ãEAD DAC= ã
⇒∆DΑΕ ∼ ∆ ADC (g.g) (0,5đ)
Tơng tự:
sđ ã 1 ằ 1 (ẳ ằ )
= 1( ẳ ằ ) ã
2 sdAFD DE− =sdABD (0.25đ)
⇒ ãADF =ABDã (0.25đ)
do đó ∆AFD ~ ∆ΑΒd (g.g) (0,5đ)
c) Theo trên:
+ ∆AED ~ ∆ΑDB
⇒ AE AD
AD = AC hay AD2 = AE.AC (1) (0,5đ) + ∆ADF ~ ∆ABD ⇒ AD AF
Từ (1) và (2) ta có AD2 = AE.AC = AB.AF (0,5đ)
Câu 5: (1,5 điểm) Ta có :
− ≥ − ≥
∀ a , b > 0 (0,25đ)
⇒ − + ≥ − + ≥ (0,25đ)
⇒ − + + − + ≥ ∀ a , b > 0
1
0 2
⇒ + + ≥ + > (0,25đ) Mặt khác a b+ ≥ 2 ab> 0
(0,25đ)
Nhân từng vế ta có : ( ) ( ) 1 ( )
2 2
a b+ a b+ + ≥ ab a+ b
(0,25đ)
F E
A
B
C D
Trang 5( ) (2 )
2
a b
⇒ + + ≥ + (0,25®)