Đờng trung trực của AD cắt các cacnhj AB, AC theo thứ tự ở E, F.. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF.
Trang 1Trờng THCS Định Long
Đề thi môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Họ và tên ngời ra đề: Trịnh Đình Thanh
Các thành viên thẩm định đề: Phạm Ngọc Toàn
Đề bài:
Bài 1 ( 3 điểm ): Cho biểu thức:
P=
x
x x
x x
x
x
x
−
+ + +
−
−
−
−
−
3
3 1
) 3 ( 2 3 2
3
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị của P với x = 14-6 5
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2 ( 3 điểm ): Giải phơng trình:
1
1 1
2
1 2
3
+ +
+ + + +
+ + +
x
1
4 2
36
−
−
−
−
=
−
+
x
Bài 3 ( 3 điểm ):
1) Cho biểu thức A = x2 − 4x+ 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của A
2) Cho (x+ x2 + 3)(y+ y2 + 3) = 3 Tìm giá trị của biểu thức P = x + y
Bài 4 ( 3 điểm ):
1) Chứng minh rằng:
5 2 < 1 +
50
1
4
1 3
1 2
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 + z2
Biết x + y + z = 2007
Bài 5 ( 3 điểm ): Cho a, b, c lần lợt là độ dài các cạnh BC, CA,
AB của tam giác ABC Chứng minh rằng:
bc
a A Sin
2
Bài 6 ( 5 điểm ): Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm Trên
cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 20 cm Đờng trung trực của
AD cắt các cacnhj AB, AC theo thứ tự ở E, F Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF
Trang 2-
Trang 3Hết -Đáp án chấm + thang điểm
m
Bài
1
3
điể
m
1) Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định: x ≥
0; x ≠ 9
Rút gọn:
P =
3
3 1
) 3 ( 2 ) 3 )(
1 (
3
−
+
− +
−
−
− +
−
x
x x
x x
x
x x
=
) 1 )(
3 (
) 1 )(
3 ( ) 3 ( 2
+
−
+ +
−
−
−
−
x x
x x
x x
x
=
) 1 )(
3 (
3 3
18 12
2 3
+
−
−
−
−
−
− +
−
−
x x
x x x x
x x
x
=
1
8 )
1 )(
3 (
) 8 ( ) 8 ( )
1 )(
3 (
24 8
3
+
+
= +
−
+
− +
= +
−
− +
−
x
x x
x
x x x
x x
x
x x x x
0,5 0,25
0,5 0,25
2) x = 14 -6 5 = = ( 5 - 3)2 => x = 3 - 5
Khi đó P =
11
5 2 58 5 4
5 6 22 1 5 3
8 5 6
−
−
= +
−
+
−
0,25 0,5 3) P =
1
8
+
+
x
x
+ +
−
= +
+
−
1
9 1 1
9 1
x
x x
x
1
+
x +
1
9
+
x - 2
≥2 9 - 2 = 4
( áp dụng BĐT Côsi cho hai số dơng x+ 1;
1
9
+
x ) Dấu " = " sảy ra <=> x + 1 =
1
9
+
x <=> x = 4 thoả mãn đk
Vậy min P = 4 khi x = 4
0,5
0,25
Bài
2
3
điể
m
1) Giải phơng trình:
1 1
1 1
2
1 2
3
1
= + +
+ + + +
+ + +
<=>
1 ) 1 )(
1 (
1
) 1 2
)(
1 2
(
1 2
) 2 3
)(
2 3
(
2 3
=
− + +
+
− + +
+ +
− + +
+ +
+
− + +
+
− + +
+ +
+
− +
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
0,5
<=> ( x+ 3- x+ 2) + ( x+ 2- x+ 1) + ( x+ 1 - x) = 1
<=> x+ 3 = x + 1
Trang 4<=> x + 3 = x + 2 x + 1
<=> 2 x = 2
<=> x = 1
<=> x = 1 thoả mãn đk Vậy pt có nghiệm x = 1
2) đk để phơng trình
1 2
4 28 1
4 2
−
+
2; y > 1
1
) 1 ( 4 2
) 2 ( 4
=
−
−
− + +
−
− +
y
y x
x
1
) 1 2
( 2
) 2 2 6
=
−
−
− +
−
−
−
y
y x
x
(2)
Với x > 2; y > 1 =>
〉
−
〉
−
≥
−
−
≥
−
−
0 1
0 2
0 ) 1 2
(
0 ) 2 2 6 (
2 2
y x y
x
(3)
Từ (2) và (3) =>
=
−
−
=
−
−
0 ) 1 2
(
0 ) 2 2 6 (
2
2
y
x
<=>
=
−
−
=
−
−
0 ) 1 2
(
0 ) 2 2 6 (
y x
<=>
−
=
−
=
1 2
2 2 6
y
x
<=>
=
=
5
11
y x
Thử lại: x = 11; y = 5 là nghiệm của pt
Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất (x,y) = (11,5)
0,5 0,25
0,25 0,25
0,25
0,5
Bài
3
3
điể
m
1) A = x2 − 4x+ 20
A = (x2 − 4x+ 4 ) + 16 = (x− 2 ) 2 + 16 ≥ 16 = 4
A = 4 <=> x - 2 = 0 <=> x = 2
Vậy Min A = 4
0,5 0,5 0,5 2) Xét biểu thức (x+ x2 + 3)(y+ y2 + 3) = 3 (1)
Nhân 2 vế của (1) với (x- x2 + 3) ≠ 0 ta đợc:
-3(y+ y2 + 3) = 3(x- x2 + 3)
<=> -(y+ y2 + 3) = (x- x2 + 3) (2)
Nhân 2 vế của (1) với (y- y2 + 3) ≠0 ta đợc:
-3(x+ x2 + 3) = 3(y- y2 + 3)
<=> -(x+ x2 + 3) = (y- y2 + 3) (3)
Lấy (2) cộng với (3) ta đợc:
-(x+y) = x+y => x+y = 0
0,5
0,5
Trang 5Vậy A = x+y = 0
0,5 Bài
4
3
điể
m
1) 5 2 < 1 +
50
1
4
1 3
1 2
đặt S = 1 +
50
1
4
1 3
1 2
ta có: S >
50
1
50
1 50
1 50
50
1
.50 = 5 2
(1)
Mặt khác ta có: 1 =
1 2
2
<
0 1
2
; ;
1 2
2 2
2
2 2
1
+
<
=
49 50
2 50
2
2 50
1
+
<
= Cộng 2 vế ta đợc:
S <
0 1
2
49 50
2
1 2
2
+ + + +
= 2{( 1- 0)+( 2- 1)+ +( 50- 49)} = 2 50 = 10
Từ (1) và (2) suy ra: 5 2 < S < 10 2 (đpcm)
0,25 0,5
0,5
0,5 0,25
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 + z2
Biết x + y + z = 2007
áp dụng BĐT Bu nhiacôpxki ta có:
(x+y+z)2 ≤(x2+y2+z2).(1+1+1)
<=> x2+y2+z2 ≥ (x+y+z)2 /3 = 2007/3 = 669
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 669
0,5
0,25 0,25 Bài
5
3
điể
m
Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM ⊥Ax và
CN ⊥Ax
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có:
Sin MAB = Sin
AB
BM A
=
2 => BM = c.sin
2
A
0,5
Trang 6SinNAC = sin
2
A
=
AC
CN
=> CN = b.sin
2
A
Do đó BM + CN = sin
2
A
(b+c) Mặt khác ta có BM + CN ≤BD + CD = BC = a
=> sin
2
A
(b+c) ≤ a, vì sin
2
A
< 1
Do b+c ≥2 bc nên
bc c
1
+ Hay sin
2
A
≤
bc
a
0,5
0,5 0,5 1
Bài
6
5
điể
m
GT: Tam giác ABC: AB = BC = AC = 60 cm, BD = 20
cm
KL: DE = ?; DF = ?; EF = ?
Đạt DE = AE = x, DF = AF = y Kẻ DI ⊥AB, DK ⊥AC
Ta có BI = BD.cos600 = 20
2
1
= 10
DI = BD2 −BI2 = 20 2 − 10 2 = 300 = 10 3
Ta có: EI = 50 - x, áp dụng định lý pitago trong
tam giác vuông DEI ta có: ED2 = EI2 + ID2 = (50 -
x)2 + (10 3)2
=> x2 = 2500 - 100x + x2 +300 <=> 100x = 2800
=> x = 28
Ta có: CK = CD cos600 = 40
2
1
= 20; DK =
2
2 CK
DC − = 40 2 − 20 2 = 1200 = 20 3
Ta có: FK = 40 - y; áp dụng định lí pitago trong
tam giác vuông DFK ta có: DF2 = DK2 + FK2 =
(40-y)2 + (20 3)2
<=> y2 = 1600 - 80y + y2 + 1200 <=> 80y =
2800 => y = 35
0,5
0,25 0,5
0,25 0,25 0,5
0,5
0,25 0,25 0,25
Trang 7KÎ EK ⊥AF, ta cã: AH = EA cos600 = 28.
2
1
= 14
HF = y-14 = 35 - 14 = 21
EH = x.sin600 = 28
2
3 = 14 3
Suy ra: EF = EH2 +HF2 = ( 14 3 ) 2 + 21 2 = 1029 = 7
21
VËy: DE = 28, DF = 35, EF = 7 21
0,25 0,25