Gäi I lµ trung ®iÓm cña PN th× IC lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c vu«ng PAC nªn IPC cân tại I... Do đó IC là tiếp tuyến tại C của đờng tròn..[r]
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo
PHÚC THỌ
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
năm học 2007 - 2008 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Cõu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức : P = 2x
x - 2 +
4
x2 - 5x + 6 −
1
x - 3 a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn biểu thức P.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để P nguyên.
Cõu 2: (5,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho các đờng thẳng (d):
3x 3
y
2 và (d') : y = 9 - 3x
2 cắt nhau tại C và lần lợt cắt trục Ox tại A, B
a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C
b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục
là cm
Cõu 3: (4,0 điểm)
a, Cho 3 số dơng a,b,c thoả mãn
3
a b c
Chứng minh bất đẳng thức:
a b c abc
b, Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
x2 25y y( 6)
Cõu 4: (5,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC và BD cắt nhau tại N Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đờng tròn cắt nhau tại M Gọi P là giao điểm của hai đờng thẳng AD và BC
a, Chứng minh PN vuông góc với AB.
b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng.
Câu 5: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng: 2 3 4 5 2000 3
-Hết - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu gì.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục và
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
năm học 2008 - 2009
Đáp án và hớng dẫn chấm
Môn: Toán
Hớng dẫn chấm này có 3 trang
đề thi chính thức
Trang 2Câu ý Nội dung cơ bản Điểm
1
a)
Điều kiện :
¿
x ≠ 2 ; x ≠ 3
x2 - 5x + 6 ≠ 0
¿{
¿
x 2 và x 3
P = 2x
x - 2 +
4
x2 - 5x + 6 −
1
x - 3
= 2x (x - 3)+ 4 −(x - 2)
(x - 2)(x -3) =
2x2 - 7x + 6 (x - 2)(x −3)
= (2x - 3)(x - 2 )
(x - 2)(x −3) =
2x - 3
x −3
Vậy : P = 2x - 3
x −3 với x 2 , x 3
0,5
0,5
1,0
b)
Ta có P = 2x - 3
x −3 =
(2x - 6)+ 3
x −3 = 2 +
3
x −3
nên P nguyên 3
x −3 nguyên x - 3 là ớc của 3
x - 3 = 3
¿
x - 3 = 1
¿
x - 3 = -3
¿
x - 3 = -1
¿
¿
¿
¿
x = 6
¿
x = 4
¿
x = 0
¿
x = 2 ( loại )
¿
¿
¿
¿
Vậy các giá trị cần tìm là x = 6 ; x = 4 ; x = 0
0,5 0,5
1,0
2
a)
b)
C là giao điểm của d và d/ nên tọa độ của C thỏa mãn hệ :
¿ 2y = 3x + 3 2y = 9 - 3x
¿{
¿
¿ 2y = 3x + 3 4y = 12
¿{
¿
¿
x = 1
y = 3
¿{
¿ Vậy C(1 ; 3)
Phơng trình trục Ox là y = 0 nên tọa độ A thỏa mãn hệ :
¿ 2y = 3x + 3
y = 0
¿{
¿
¿
x = - 1
y = 0
¿{
¿ Vậy A(- 1; 0)
tọa độ B thỏa mãn hệ :
¿ 2y = 9 - 3x
y = 0
¿{
¿
¿
x = 3
y = 0
¿{
¿ Vậy B(3 ; 0)
Gọi H là hình chiếu của C trên trục Ox thì CH là đờng cao của tam giác CAB và CH = 3 cm ( tung độ của điểm C) ; cạnh đáy
AB = AO + OB = 1 + 3 = 4 (cm) dt(ABC) = 1
2 AB.CH = 1
2 .4.3 = 6 (cm
2)
1,0
0,5
0,5
1,5
1,5
y
x
1 3
3 -1
C
B A
y = 9-3x
y = 3x+3 2
Trang 3 HA = HO + OA = 1 + 1 = 2 (cm) HB = AB - AH = 2 (cm)
HA = HB = 2(cm) tam giác CAB cân tại C (CH vừa là đờng cao vừa là
trung tuyến) ; tam giác vuông HCA có :
CA =√AH2+ HC2= √22+ 32= √13 (cm)
chu vi ABC là : AB + BC + CA = 4 2 13 (cm)
Câu
b
Ta có
2
0
1 (do a, b,c > 0)
a
a b c
a b c ac bc ab
ac bc ab a b c
ac bc ab abc abc
b c abc
Từ
x y y
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
Để ý trong phơng trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể
hạn chế giải với x là số tự nhiên
Khi đó: y+3+x y+3-x
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ Ta lại có tích của chúng là
số chẵn , vậy 2 số 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn
Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây
- 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị (y+3+x)
Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta có x= 5 , y= 0
Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta có x= 4 , y= -3
Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta có x= 5 , y= -6
Vì thế phơng trình đã cho có các nghiệm ( x,y) = (5, 0 ; 5, 6 ; 4, 3
0.5 0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu
4
a
b
Trong tam giác PAB ta có AC và BD là các
đờng cao nên N là trực tâm tam giác Do đó PN là đờng cao còn lại nên vuông
góc với cạnh AB
Gọi I là trung điểm của PN thì IC là trung tuyến của tam giác vuông PAC nên
IPC cân tại I Do đó : IPCICP.
Tam giác OAC cân tại O nên : CAOACO.
Mặt khác CAOIPC (do có các cạnh tơng ứng vuông góc)
nên ACOICP.
2
0,5 0,5 0.5 0.5 0.5
Trang 4Ta có AC PC nên OC IC Do đó IC là tiếp tuyến tại C của đờng tròn.
Tơng tự , ID là tiếp tuyến tại D của đờng tròn
Chứng tỏ I trùng với M nên P,M,A thẳng hàng
0.5
Câu
2
2 3 1999.2001 2 3 1998 2000 1
2 3 1998.2000 2 3 1997 1999 1
2 3 1997.1999 2.4 3
2 3 4 5 2000
1,0
1,0
Hết