Chúng ta hãy bắt đầu từ bài toán quen thuộc sau: Cho tứ giác ABCD có AD = BC gọi N, M lần lợt là trung điểm của DC và AB EF cắt AD ; BC kéo dài tại K và I.. Lấy điểm E là trung điểm của
Trang 1“đặc biệt hóa một bàI toán để có nhiều cách giảI”
*******************************************
Việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán cũng là một cách tốt cho việc rèn luyện t duy, tính sáng tạo cho học sinh.Thực tế ta có thể đặc biệt hóa đợc nhiều bài toán để đợc bài toán mới có nhiều cách giải hơn.Sau đây tôI xin trình bày một ví dụ
Chúng ta hãy bắt đầu từ bài toán quen thuộc sau:
Cho tứ giác ABCD có AD = BC gọi N, M lần lợt là trung điểm của DC và AB
EF cắt AD ; BC kéo dài tại K và I Chứng minh rằng AKM = BIM
Bài giải:
K
I
A M
B
D C
N
Gọi M, N, E lần lợt là trung điểm của AB , CD, BD Khi đó:
EM =
2
1AD, EN =
2
1 BC và EM // AD, EN // BC Do đó tam giác MNE cân tại E ⇒ EMN = ENM (1)
Mặt khác: EMN = AKM (đồng vị), ENM = BIM (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AKM = BIM
*Bây giờ ta đặc biệt hóa bài toán trên ta có bài toán sau:
Cho tam giác ABC (AB > AC) có góc A = α Trên cạnh AB lấy D sao cho BD
= AC Lấy điểm E là trung điểm của AD, F là trung điểm BC
Tính góc BEF
Ta sẻ giaie bàI toán trên bằng nhiều cách nh sau:
Cách1(hình1):
Gọi A,là điểm đối xứng của A qua tâm F
thế thì ACB,B là hình bình hành
.Suy ra AC // BA, ⇒AC = BD = BA, ⇒ ∆DBA cân
Từ đó chú ý rằng:è // DA, và góc A bù với góc ABA,
⇒ BEF = BDA,=
2
2
α (Hình 1)
Cách2(hình2):
Gọi C, là điểm đối xứng của C qua tâm E
Thế thì ACDC, là hình bình hành
⇒ AC // DC B1 = C2 và DB = DC, = AC
⇒ ∆DBC, cân ⇒B1 = C2và B1 + C2= C,DA
nhng C,DA = Â (Do C,D // AC)
⇒ B1=
2
1 C,DA =
2
2
α
Trang 2Chú ý trong tam giác CBC, có EF
là đờng trung bình
⇒ EF // BC, ⇒ BEF = B1 =
2
α (hình2)
Cách3(hình3):
Gọi D, đối xứng với D qua tâm F
Tứ giác DBD,C là hình bình hành
⇒ DB = AC = CD, ⇒ ∆ACD, cân
Xét tơng tự nh cách1 ta cũng có
BEF =
2
α (hình3)
Cách4(hình4):
Nối DC gọi I là trung điểm của DC
Dể thấy EI // AC và EI =
2
1AC
FI // DB và FI =
2
1 DB
Mà AC = BD ⇒ EI = FI
Do đó tam giác EFI cân
⇒ IFE = IEF
Dể thấy A bù với EIF ⇒ EFI =
2
2
α (hình4)
Cách5(hình5):
Đặt AC = b; AB = c
Kẻ FK // AC ⇒ FK =
2
1AC =
2
b
Ta có KE = BE - BK =
2 2 2
b c c
⇒ KE = FK ⇒ ∆FKE cân
⇒ BEF =
2
α (hình5)
Cách6(hình6):
Kẻ phân giác AK
Đặt BC = a, AB = c, AC = b
Ta có:
b
c KC
b c
c KB KC
KB
+
=
b c
c
+ ⇒ KB = c b
ac
+ Vậy
AB
b c
a
+ (1) Mặt khác BE = b +
2
b
2
c
b+ ; FB =
2
a
Vậy
BE
c b
a
+ (2)
Trang 3Từ (1) và (2) ⇒
AB
BE
BF ⇒ ∆EBA ~∆ABK
⇒ BEF =
2
α (hình6)
Nh vậy ta đã có đợc 6 cách giải cho bài toán trên