Giới hạn của dãy số Phương pháp giải bài tập: BÀI TẬP MẪU: Bài 1.. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ: Nếu dãy số un tăng và bị chặn trên thì nĩ cĩ giới hạn.. Nếu dãy số un giảm và bị chặn d
Trang 1Bài1 Giới hạn của dãy số Phương pháp giải bài tập:
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1 Cho dãy (un) thoả mãn u n n với mọi n Chứng minh rằng lim n
n u
Giải:
lim vì vậy lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng
nào đó trở đi mặt khác u nên lớn hơn một số dương bất kì kể
từ một số hạng nào đó.
Vậy lim
n
n
u
Bài 2 Cho dãy số (un) cĩ 2 1
n
n u
n
Tìm lim n
n u
Giải:
Ta biến đổi: 2
1 Vậy lim 2 vì lim 0
n
n u
n
Bài 3 Biết dãy số (un) thỗ mãn 21
n
n u n
với mọi n Chứng minh rằng lim n 0
n u
Giải Đặt
1.Ta có lim lim 1 0 Do đó, có thể nhỏ hơn một số dương
tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)
Mặt khác, theo giả thiết ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra
n n n
có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim 0
n n
u
u
CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN
Dạng 1: Tìm giới hạn của một dãy:
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa để tìm giới hạn của một dãy
n u
khi và chỉ khi |un| cĩ thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý,
kể từ số hạng nào đĩ trở đi
lim n
n u
khi và chỉ khi un cĩ thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ
ý, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi
lim n lim ( n)
Trang 2BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 Biết dãy số (un) thỗ mãn u n n2 với mọi n Chứng minh rằng lim n
n u
Giải:
2
Vì lim nên n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi Mặt khác, theo giả thiết với mọi n, nên cũng có thể lớn hơn một số dương tùy , k
n
ý
ể từ số hạng nào đó trở đi Vậy limu n
Bài 2 Cho biết lim n
n u
và v n u n với mọi n Cĩ kết luận gì về giới hạn vn
Hướng dẫn:
Vậy lim
n
n
v
Bài 3 Cho dãy số (un) hội tụ, dãy (vn) khơng hội tụ Cĩ kết luận gì về sự hội tụ của dãy
u nv n
Hướng dẫn: Kết luận dãy u nv n khơng hội tụ
Thật vậy:
Xét dãy , giả sử nó hội tụ nghĩa là lim và lim
Khi đó lim lim
Vậy lim lim
Vì lim lim
Vậy( ) là hội tụ, điều này kho
n
v
Vậy dãy u n v n không hội tụ.
Bài 4 Cho dãy (un) xác định bởi: 3 2
1
n
n u n
a) Tìm số n sao cho 3 1
1000
n
u
b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy (un) đều nằm trong khoảng (2,999;3,001)
Hướng dẫn:
1 1000
n
n
Bài 5 Biết rằng dãy số (un) cĩ giới hạn là 0 Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn=|un| cũng cĩ giới hạn là 0 Chiều ngược lại cĩ đúng khơng?
Hướng dẫn:
Trang 3Vì (u ) có giới hạn là 0 nên có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng
nào đó trở đi.
Mặt khác, Do đó, cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y
u
từ một số hạng nào đó trở đi Vậy (u ) có thể nhoe hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi Vậy (v ) cũng có giới hạn là 0.
(Chứng minh tương tự
n n
, ta có chiều ngược lại cũng đúng).
Bài 6 Vì sao dãy ( )u n với u n 1 n khơng thể cĩ giới hạn là 0 khi n ?
Hướng dẫn:
Vì ( 1) 1, nên không thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi Chẳng hạn, không thể nhỏ hơn 0,5 với mọi n.
Do đó, dãy số (u ) không thể
n
n n
u
có giới hạn là 0.
Bài 7 Cho biết dãy số (un) cĩ giới hạn hữu hạn, cịn dãy (vn) khơng cĩ giới hạn hữu hạn Dãy u n v n cĩ thể cĩ giới hạn hữu hạn khơng?
Hướng dẫn: Xem nội dung lời giải bài 3.
Bài 8.
a) Cho hai dãy (un) và (vn) Biết
lim n và n với mọi n Có kết luận gì về giới hạn của dãy ( ) khi nn n + ?
b) Tìm lim với n n !
Bài 9 Biết 2 1
3
u Cĩ kết luận gì về giới hạn của dãy số (un)?
Bài 10 Dùng định nghĩa giới hạn cảu dãy số Chứng minh:
2
sin
n
n
Trang 4BÀI TẬP MẪU:
Bài 1 Tính
lim
n
Giải:
Phương pháp 2: Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các
bài tốn tìm giới hạn dãy.
1 Các giới hạn đặc biệt:
k
k
C
n
2 Định lý về giới hạn hữu hạn:
*
Giả sử lim và lim Khi đó:
1 lim
2 lim
3 lim , 0
4 lim (với 0 với mọi n N )
n n n
n n n
n n
n
n
u v a b
u a b
v b
3 Định lý về giới hạn
*
1.Nếu lim và lim thì lim 0
2.Nếu lim 0, lim 0 và 0, thì lim
3.Nếu lim và lim 0 thì lim
n
n
n
n
u
v
u
v
Nếu biểu thức cĩ dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất
Nếu biểu thức chứa căn thức ( dạng A B; 3 A3 B) cần nhân
một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản
Trang 53 2 3
5 1 3
Bài 2 Tính
2 2
lim
1 3
n
n
Giải:
2
2
n
n
Bài 3 Tính lim 2 7 2 5
Giải
Bài 4 Tính lim 2 3 2
Giải:
2 2
2 3
n
n
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 Tính các giới hạn sau:
2
1
1
2
Tổng
1
Tính giới hạn: lim
Tính giới hạn sau:
d) lim
q
)
uát:
n
n
n
3 2
5
lim
1 4
n
n n n
Đáp số:
27
4
Bài 1.1 Tính: lim 2 1
2
n n
Trang 6Bài 2 Tính các giới hạn:
2
) lim
2
n
n
n n
d
n
Đáp số:
3 2
2
Bài 3 Tình giới hạn sau:
5 1
n n
n
Đáp số:
1
3
Bài 4 Tính các giới hạn sau:
3
2
2
2 1
Đáp số:
Bài 5.Tính các giới hạn sau:
1
2 2
2
) lim
n n
n
n
e
n n f
Trang 7
4
*
) lim
n
n
n
n
n
g
h
i
n k
l
2n
n
Hướng dẫn và đáp số:
2
1 2
n
n n
a
b) 1
2
c
d)
1
1 1
lim
1
n
b a
S
a b
e)
1 2 1
2
n
S
f)
Sử dụng:
2
g)
2 1 2
Ta thấy: 1
Trang 8
Vậy lim 1 1 1
n
n
1 1 1 nên lim 1
n
n n
h S
S
2
2 2
)Ta có: 2.1 3.2 1 1 1 1 2 1 2 1
1 2 1 2
lim lim
4
n
n
n
S
)Ta có:
n
n n
k
S
S
1
1 1
1
2
Suy ra: 1
n
n
S
n
Trang 9BÀI TẬP MẪU:
Tính lim 21 22 2
n
n
Giải:
Ta thấy:
2
2
1
1
lim
2
2
n
n
n n
Và
n n n
Vậy
n n
Mà
n
n Vậy
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 Tính giới hạn của các giới hạn sau:
2
n
n
n
n
n c
f
Đáp số:
Bài 2 Cho 2 dãy số (un) và (vn) Chứng minh rằng nếu limv n 0 và u v n với mọi n thì limu n 0
Phương pháp 3 Dùng nguyên lí kẹp.
Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn) Nếu
với mọi n
n n n
u v w
Và limu n limw n L L( ) thì limv n L
Trang 10Hướng dẫn:
lim 0 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó
Vì và với mọi n, nên với mọi n (2)
Từ (1) và (2) suy ra cũng có
n
u
thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là limu n 0
Áp dụng: Tính giới hạn của các dãy số cĩ số hạng tổng quát như sau:
2
n
) (0,99) cosn ) 5n cos
Đáp số:
DẠNG 2: Chứng minh một dãy số cĩ giới hạn:
Phương pháp:
1 Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:
Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nĩ cĩ giới hạn
Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nĩ cĩ giới hạn
2 Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị
chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên
của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đốn chiều tăng (chiều giảm)
và số M
3 Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:
* Phương pháp 1:
Đặt lim n
n u a
Từ lim n 1 lim ( )n
n u n f u
ta được một phương trình theo ẩn a
Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình Nếu phương trình cĩ nghiệm duy nhất thì đĩ chính là giới hạn cảu dãy cần tìm cịn nếu phương trình cĩ nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm
Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu cĩ là duy nhất
Phương pháp 2:
Tìm cơng thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đốn./
Chứng minh cơng thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp tốn học
Tính giới hạn của dãy thơng qua cơng thức tổng quát đĩ
Trang 11BÀI TẬP MẪU:
Bài 1 Chứng minh dãy (un) bởi cơng thức truy hồi 1
1
2
u
Chứng minh dãy cĩ giới hạn, tìm giới hạn đĩ
Giải:
Ta cĩ: u1 2 và u n1 2u u n, n 0 với n N
Ta chứng minh : u n 2 với n N (1)
1
Với n=1, ta có 2 2 thì (1) đúng
Giả sử bất bất đẳng thức đúng với n=k thì 2.
2,
k n
u
u Vậy u n N
Chứng minh dãy (un) tăng:
2 1
1
Mà 0 2 nên Vậy (u ) là dãy tăng (2)
Từ (1) và (2) suy ra (u ) có giới hạn
n
Đặt lim n thì 0 a 2
n u a
Ta cĩ:
2
Vì 0 nên lim 0.Vậy lim =2
Trong lời giải trên, ta đã áp dụng tính chất sau:
" Nếu
Lưu ù
l
y:
1
im n thì lim n "
n u a n u a
Bài 2 Cho dãy (un) bởi cơng thức truy hồi
1
1
2 1 2
n
n
u u
u
Chứng minh rằng dãy số (un) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ
Giải:
Ta cĩ :
1
1; 2; 3; 4.Từ đó ta dự đoán: (1)
Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp:
Với n=1, ta có: (đúng)
1 1 2 Giả sử đẳng thức (1) đúng với n=k (k 1), nghĩa là
1
n
k
n
n
u
k u k
Trang 12*
Khi đó ta có ,nghĩa là đẳng thức (1)
1 cũng đúng với n=k+1.
1 Từ đó ta có lim u lim 1
1
k
k
n
n
k u
k
k n
n
n n
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 Chứng minh dãy (un) với
n dấu căn
n
là dãy hội tụ.
Phương pháp: Xét dãy (un) tăng (hoặc giảm), xét (un) bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới)
Chú ý: Để tìm giới hạn của dãy cho bởi cơng thức truy hồi ta dùng các phương pháp.
1 Tìm cơng thức tổng quát ( dựa vào phương pháp đã được nêu ở phần kiến thức dãy số)
Tính giới hạn un
2 Tìm lim n 1 lim n
n u n f u
Giải phương trình tìm lim n
n u a
Tìm giới hạn
Bài 2 Cho dãy truy hồi
1
1
0 3 ( 2) 4
n n
u u
Tìm giới hạn của dãy.
Hướng dẫn và đáp số:
1
1
2
2
2
1
1
1
0
15 1 1
1
1
4
1 bằng phương pháp quy nạp chứng minh 1
4 1
4
n
n
n n
n n
u
u
u
u
u
Trang 13Bài 3 Cho dãy truy hồi
1
1
2 1 ( 2) 2
n n
u u
u n Chứng minh dãy (un) cĩ giới hạn, tìm giới hạn đĩ
Hướng dẫn và đáp số:
Cách 1:
1
1
Dự đoán
2 1
2 1
n
n n
n
u
u
Cách 2:
Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới
lim , tìm a
1
2
n n
n n
u a
a
u
Bài 4.
a) Cho dãy truy hồi
1
1
2 1 ( 1) 2
n
u u
u n Chứng minh dãy (un) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ
b) Cho dãy (un) xác định bởi:
1
1
4
n
u
cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ
Hướng dẫn và đáp số:
) * Chứng minh (u ) là dãy tăng và bị chặn trên
Ta có: 0 1,
Áp dụng bất đẳng thức cối:
1
4 Vậy ( ) là dãy tăng và bị chặn trên thì ( ) thì d
n n
b
ãy có giới hạn
* Đặt lim , 0
1 Vậy lim
2
n
n
n
n
u a a
u
Trang 14Bài 5 Cho dãy (un) xác định bởi 1 1 2 và 01
2
n
u
a) Chứng minh rằng u n 2 với mọi n 2
b) Chứng minh dãy (un) cĩ giới hạn và tìm giới hạn đĩ
Hướng dẫn và đáp số:
*
1
2 dụng bất đẳng thức Cô si:
2
Suy ra u 2, 2,
)Ta có: u 2, 2, nên là dãy bị chặn dưới
Xét
n
n
u Áp
2
*
2
* Đặt lim , 2.Ta có:
2
Vậy
n
n
n
u
u
u a a
a
lim n 2
n u
Bài 6 Chứng minh dãy (un) được cho bởi cơng thức u n cos n n* Chứng minh dãy khơng cĩ giới hạn
Hướng dẫn:
2
Giả sử lim lim cos lim cos 2 lim cos 2 cos 0
2 lim sin 1 sin1 0 lim sin 1 0 lim sin 0
mặt khác: sin 1 sin os1 cos sin1,Suy ra lim cos 0
Suy ra : lim cos
n
n n
n
sin 2 0, vô lý
Vậy dãy số ( ) với n n cos không có giới hạn.
n
Bài 7 Chứng minh các dãy sau hội tụ:
2 3
2 3
n
n
n
Hướng dẫn:
a) Ta thấy
Trang 152 2 2
Dãy 1 là dãy tăng, ta chỉ cần chứng minh dãy bị chặn.
2 3
1.2 2.3 ( 1)
2 3
Vậy dãy hội tụ.
n
b)
Dãy 1 là dãy tăng, ta chỉ cần chứng minh dãy bị chặn
Vậy dãy bị chặn trên nên hội tụ
n
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1 Viết số thập phân m=0,030303 ( chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ.
Giải:
3
1
100
n
Bài 2 Tính tổng 2 2 1 1 1
2 2
Giải:
Xét dãy: 2,- 2 ,1, 1
2
, là cấp số nhân
2
2
1
2
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 Hãy viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng một phân số.
34,1212
Dạng 4: Sử dụng cơng thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vơ hạn tuần hồn thành phân số.
Phương pháp:Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và cĩ cơng bội là
|q|<1
Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vơ hạn (un)
1
1
n
u
q
Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10
3
n
a
X N a a a a N
Trang 16Đáp số: 1134
33
Bài 2 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
1
Hướng dẫn :
q S b) 2 2 ; 4 3 2
2
q S
Bài 3 Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S=3 và công bội
2
3
q Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1;
1
2 4; ; 2
n
Bài 4 Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S=6 Tính hai số hạng đầu 1 2 41
2
u u
Hướng dẫn:
1
1
1
1 1
1 1
2
u
u u q
Bài 5 Giải phương trình sau: 2 1 2 3 4 5 1 13
6
n n
1
x
Hướng dẫn: Dãy số x2,x x3, ,4 x5, , 1 n x n là một cấp số nhân với công bội
q x ĐS: 1; 7
x x
Bài 6.
a) Tính tổng S 1 0,9 0,9 2 0,9 3 0,9 n 1
4
Tính tổng S 1 tan tan2 tan3
c) Viết số thập phân vô hạn tiần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ
a = 0,272727 b = 0,999999999
n
2 k
Tìm giới hạn dãy bn
Hướng dẫn:
1 0,9
1 tan
S
Trang 172 3 4
3
11
1
10 1
10
n a
b
d) lim sin
1 sin
n
Bài 9 Tính
số hạng
lim
10
n
n n
a aa aaa a
Hướng dẫn:
Ta cĩ:
số hạng
10 1 100 1 10 1
10 10 1 9 81 10 10 1 9 10 Vậy lim
n
n
n
n
n
n a