Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Chuyên đề ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH Huỳnh Chí Hào I... Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại
Trang 1Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Chuyên đề
ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào
I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Các định lý
• Cho hàm số y f (x)= có đạo hàm trên khoảng (a b; )
a) Nếu f ' x( )>0 với mọi x∈(a; b)thì hàm số f (x) đồng biến trên (a b; )
b) Nếu f ' x( )<0 với mọi x∈(a; b)thì hàm số f (x) nghịch biến trên (a b; )
• Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f '(x)>0 trên khoảng (a; b)thì hàm số f đồng
biến trên đoạn [a; b]
• Nếu hàm số liên tục trên đoạn đọan [a; b] và có đạo hàm f '(x)<0 trên khoảng (a; b)thì hàm số f
nghịch biến trên đoạn [a; b]
2 Các tính chất
• Tính chất 1: Giả sử hàm số y=f x( ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b) và
u; v∈ a; b khi đó: f u( )=f v( )⇔u=v
• Tính chất 2: Nếu hàm số y=f x( ) đồng biến trên (a; b) và y=g x( ) làm hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch biến trên (a; b) thì phương trình f x( )=g x( ) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)
Dựa vào tính chất trên ta suy ra:
Nếu có x0∈(a; b) sao cho f x( )0 =g x( )0 thì phương trình f x( )=g x( ) có nghiệm duy nhất x0
trên (a; b )
Chú ý: Khoảng (a; b nêu trong tính chất có thể thay bởi các miền )
(−∞;a) (; −∞;a] [; a b; ];(a b; ] [; a b; ) (; b;+∞); ;[b +∞) (; −∞ +∞; )
II ÁP DỤNG
Thí dụ 1 Giải phương trình 15−x+ 3−x =6 (1)
Lời giải
• TXĐ: D = −∞( ;3]
• Xét hàm số ( )f x = 15−x+ 3−x với x ∈ −∞( ;3], khi đó:
( )1 ⇔ f x( )= f ( )−1 (2)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên nữa khoảng (−∞;3]
• Do f liên tục trên nữa khoảng (−∞;3] và f '( )x <0 ∀ ∈ −∞x ( ;3) nên f đồng biến trên nữa
khoảng (−∞;3]
• Suy ra: ( )2 ⇔x= −1
• Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = −1.
Thí dụ 2 Giải phương trình 3 x−5+ 2x+3=2+ 12−x (1)
Lời giải
3
=
Trang 2Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Ta có: ( )1 ⇔ 3x−5+ 2x+3− 12−x =2 (2)
• Xét hàm số ( )f x = 3x−5+ 2x+3− 12−x với 5;12
3
∈ , khi đó:
( )1 ⇔ f x( )= f ( )3 (3)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên đoạn 5;12
3
3
Do f liên tục trên đoạn 5;12
3
3
nên f đồng biến trên đoạn
5
;12 3
• Suy ra: ( )3 ⇔x=3
• Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x =3.
Thí dụ 3 Giải phương trình 3x7− 5 4− x= −3 x3 (1)
Lời giải
4
= −∞
Ta có: ( ) 7 3
1 ⇔3x +x − 5 4− x=3 (2)
4
∈ −∞
, khi đó:
( )1 ⇔ f x( )= f ( )1 (3)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên nữa khoảng ;5
4
−∞
4
5 4
x
Do f liên tục trên đoạn ;5
4
−∞
4
> ∀ ∈ −∞
nên f đồng biến trên nữa khoảng ;5
4
−∞
• Suy ra: ( )3 ⇔x=1
• Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x =1.
2x +23=4x− +2 2x +7 (1)
Lời giải
• Ta có: ( )1 ⇔ 2x2+23− 2x2+7 =4x−2 (2)
Do VT(2) luôn dương với mọi x nên với 1
2
x ≤ thì (1) vô nghiệm
• Điều kiện: 1
2
x >
• Xét hàm số f x( )=4x− +2 2x2+7− 2x2+23 với 1;
2
∈ +∞
, khi đó:
2 ⇔4x− +2 2x +7− 2x +23=0⇔ f x = f 1 (3)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên khoảng 1;
2
+∞
Trang 3Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Ta có:
2
Do đó f đồng biến trên khoảng 1;
2
+∞
• Suy ra: ( )3 ⇔x=1
• Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x =3.
4x +x− x+1 2x+ =1 0 (1)
Lời giải
2
= − +∞
1 ⇔ x + x= x+ + x+1 (2)
( )
f t =t +t với t ∈ » , khi đó:
( )2 ⇔ f(2x)= f ( 2x+1) (3)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên »
Ta có: f t'( )=3t2+ >1 0 ∀ ∈t »
Do đó f đồng biến trên »
0
4
4
x x
≥
≥
• Vậy phương trình (1) có nghiệm là 1 5
4
x= +
2x+1 2+ 4x +4x+4 +3x 2+ 9x +3 =0 (1)
Lời giải
• TXĐ: D = »
• Ta có: ( )1 (2x 1)2 (2x 1)2 3 ( 3x)2 ( 3x)2 3
f t =t + t + với t ∈ » , khi đó:
( )2 ⇔ f(2x+1)= f(−3x) (3)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên »
Ta có:
2 2
2
3
t
t
Do đó f đồng biến trên »
5
• Vậy phương trình (1) có nghiệm là 1
5
x = −
Trang 4Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1 3x+ = −1 8 x+1
2. x+9+ 2x+4 =5
3−x + 2−x =
4. (x+2 2)( x−1)−3 x+6=4− (x+2 2)( x−1)+3 x+2
5 8x3−36x2+53x−25= 33x−5
x + x + x+ = x+ x+
7 log2x+log3(2x−1)+log5(7x−9)=3
8
2
2
x
2
1 ( 3 2 1 2
2
8
1
1 2
+
+
+
+
x x
x x
x x
-Hết -
Trang 5Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Chuyên đề
ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Huỳnh Chí Hào
x 1 y 2 (2)
Lời giải
• Điều kiện {0 x 1
• Khi đó: ( )1 ⇔ x − 1 x− = y− 1 y − (a)
• Xét hàm đặc trưng: f t( )= t− 1 t− với t∈[0;1]
Ta có: f ' t( ) 1 1 0 t (0;1)
− và f liên tục trên đoạn [0;1] Suy ra: f t( ) đồng biến trên đoạn [0;1]
• Do đó: ( )a ⇔f x( )=f( )y ⇔x=y
• Thay x y= vào phương trình (2) ta được phương trình:
2
• Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) 1 1;
2 2
.
Thí dụ 2 Giải hệ phương trình
8 6 6 9 2 0 (1)
Lời giải
• Khi đó: (1)⇔8x3−6x= y3−6y2+9y−2⇔(2x)3−3(2x)=(y−2)3−3(y−2) (a)
− ≤ ≤ nên 1− ≤2x≤1 và 1≤ y≤3 nên 1− ≤y−2 1≤
• Xét hàm đặc trưng f t( )=t3−3t, với t ∈ −[ 1; 1]
Ta có f t'( )=3t2− =3 3(t2−1)≤0, với mọi t ∈ −[ 1; 1]
Suy ra f t( ) nghịch biến trên đoạn [−1; 1]
• Do đó: ( )a ⇔ f(2 )x = f y( −2)⇔2x=y−2⇔y=2x+2
• Thay y 2x 2= + vào phương trình (2) ta được phương trình:
2
• Vậy nghiệm của hệ phương trình là
.
Trang 6Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Thí dụ 3 Giải hệ phương trình
1 (1)
Lời giải
1 ⇔x −x y=x − +x y+ ⇔1 x x−y + x−y =x + ⇔1 x−y x +1 =x +1 ⇔x−y− =1 0 (vì x2+ >1 0,∀x)
• Thay y x 1= − vào phương trình (2) ta được phương trình
• Xét hàm đặc trưng f t( )=t3+3t , với t ∈ »
f t = t + > , với mọi t ∈ »
Suy ra f t( ) đồng biến trên »
a ⇔ f x− = f x + ⇔x− = x + ⇔x − x + x− =
3
3
2 1
2 1
−
x= + ⇒y=
• Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( )
3
Thí dụ 4 Giải hệ phương trình
3
2
2 4 23 (2)
Lời giải
• Điều kiện
2
2 5 2 0
2
x
− +
(1)⇔ 2x+12 3+ 2x+1 = y 2 3+ y (a)
f t =t + t = t + t, với t ∈[0;+∞)
Ta có f t'( )=9t2+2>0, với mọi t ∈[0;+∞)
Suy ra f t( ) đồng biến trên [0; +∞ )
• Do đó: ( )a ⇔ f( 2x+1)= f y( )⇔ 2x+ =1 y
• Thay y= 2x 1+ vào phương trình (2) ta được phương trình:
2
2 2
2 2 2 24 0
4
x
x
=
= −
• Với x=4⇒y=3
• Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x y =; ) (4;3).
Trang 7Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Lời giải
• Điều kiện 3, 5
x≤ y≤
(1)⇔ x +1 x= − y+1 5 2− y (a)
f t = t + t=t +t , với t ∈ »
f t = t + > , với mọi t ∈ »
Suy ra f t( ) đồng biến trên »
0
2
x
y
≥
=
• Thay y 5 4x2
2
−
= vào phương trình (2) ta được phương trình:
2
2
• Nhận thấy x=0 và 3
4
x = không là nghiệm của phương trình (b)
• Xét hàm số
2
2
3 0;
4
, khi đó:
( ) ( ) 1
2
(3)
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g trên khoảng 0;3
4
Do đó f đồng biến trên khoảng 0;3
4
• Suy ra: ( )3 1
2
x
2
x= ⇒y=
• Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ; ) 1; 2
2
.
Thí dụ 6 Giải hệ phương trình
( )2
1 2 8
2 (2)
y x
x y
x y
+ +
+
(*)
Lời giải
• Điều kiện: 0
0
x y
≥
≥
= + +
+
= +
⇔
+ +
+ +
7 3
2
4 3 2
3 2
1 2
1 2 ) 4 ( 1
2
y x
y x
y x
y x
• Xét hàm số f t( )=2t2 1+ +3 t với t ∈[0 ;+ ∞)
Trang 8Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
2
t
t
+
Do đó f đồng biến trên khoảng [0 ; + ∞)
• Suy ra: (1)
=
=
⇔
= +
=
⇔
= +
=
⇔
5 1 5 4 1
4 )
1 ( ) (
) 4 ( ) (
y
x y
x
y x f
y x f
y f x f
• Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( ; ) 4 1;
5 5
.
2
1 (1)
Lời giải
• Điều kiện 5
4
x ≥ −
• Nhận thấy y =0 không thỏa mãn hệ
• Khi đó:
3
3
(a)
( )
f t =t +t , với t ∈ »
Ta có f t'( )=3t2+ >1 0, với mọi t ∈ »
Suy ra f t( ) đồng biến trên »
• Thay x=y2 vào phương trình (2) ta được phương trình:
1
41
x
x x
x
=
• Với x= ⇒1 y= ±1
• Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x y; ) (= 1; 1− ) (∨ x y; ) (= 1; 1).
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
2. ( )
=
− +
− +
−
−
=
−
−
0 4 1 2 2
2
3 2
2
2 2 2
2
2 1
x y
x x y x
xy
y
x x
4
−
=
+
2 2 2
2
1 1
e
y
-Hết -