Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

Trong các kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinhgiỏi lại có xu hướng sử dụng các bài tập về tìm giới hạn dãy số, đòi hỏi học sinhphải có tư duy tốt và có sự phân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

BÁO CÁO KẾT QUẢ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

Tác giả sáng kiến: TRẦN VĂN LONG

Mã sáng kiến: 28.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

Tác giả sáng kiến: TRẦN VĂN LONG

Mã sáng kiến: 28.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2021

MỤC LỤC

Trang

1. Lời giới thiệu 2

2. Tên sáng kiến 2

3.Tác giả sáng kiến 2

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……… 2

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……… ………… 2

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử………….… 2

7. Mô tả bản chất của sáng kiến……… ……….… 3

7.1 Nội dung của sáng kiến……… ……… 3

Phần I Đặt vấn đề……… 3

Phần II Nội dung……….……… …… 5

I. Cơ sở lý luận……… … 5

1. Cơ sở lý luận của đề tài……….…… 5

2. Cơ sở thực tiễn……… ……….……… 5

II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu……… ……… 5

1. Khái quát về phạm vi nghiên cứu……… ……… 5

2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu……….……… 5

III. Biện pháp và giải pháp thực hiện……… ……… 5

1. Cơ sở đề suất giải pháp……… 5

2. Giải pháp chủ yếu……….……… 6

Chương 1 Khái niệm giới hạn của dãy số……… ………… 6

Chương 2 Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số………… 7

I Dùng định nghĩa tính giới hạn của dãy số……

………

7

II Phương pháp sử dụng các giới hạn dặc biệt và ……… 10

III Phương pháp dùng nguyên lý kẹp….…… ………

Chương 3 Một số bài toán liên quan đến giới hạn dãy số………

14 16 IV Kết quả sau khi thực hiện………

Phần III Kết luận và kiến nghị……… ………

Tài liệu tham khảo………

7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến

8 Những thông tin cần được bảo mật………

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến………

10 Kết quả thu được sau khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy……

23 24 26 27 27 27 27

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp

dụng sáng kiến lần đầu

28

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán giới hạn là vấn đềkhó và trừu tượng đối với học sinh Thường học sinh thấy lúng túng khi đứng trướccác bài toán giới hạn, không biết lựa chọn phương án nào và bắt đầu từ đâu?

Trong quá trình giảng dạy “Các bài toán tìm giới hạn dãy số ” trong sách giáokhoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao, tôi nhận thấy sách giáo khoa trìnhbày ngắn gọn và trừu tượng Vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi tiếp cận bàitoán Hơn nữa, sách giáo khoa và sách bài tập vẫn chưa hệ thống và phân dạngđược về các bài toán tìm giới hạn dãy số

Trong các kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinhgiỏi lại có xu hướng sử dụng các bài tập về tìm giới hạn dãy số, đòi hỏi học sinhphải có tư duy tốt và có sự phân dạng bài toán để giải quyết được bài toán

Vì vậy tôi sưu tầm một số tài liệu, bài tập về các bài toán tìm giới hạn dãy số vàchia các bài tập thành từng dạng để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toántìm giới hạn dãy số, từ đó có cách làm, cách giải bài toán phù hợp Với mong muốncho việc dạy và học về các bài toán đếm được tốt hơn, tôi quyết định chọn đề tài

“Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm.

2 Tên sáng kiến: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Trần Văn Long

- Địa chỉ tác giả sáng kiên: Giáo viên trường THPT Yên Lạc 2

- Số điện thoại: 0978097190 Email: longtv.yl2@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Cá nhân

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/01/2021

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Về nội dung của sáng kiến

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán trung học phổ thông, các bài toán tìm giới hạn dãy số

là vấn đề khó và trừu tượng đối với học sinh Thường học sinh thấy lúng túng khiđứng trước các bài toán tìm giới hạn dãy số, không biết lựa chọn cách nào và bắtđầu từ đâu?

Trong quá trình giảng dạy, bài toán tìm giới hạn dãy số trong sách giáo khoaĐại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao, tôi nhận thấy sách giáo khoa trình bàyngắn gọn và trừu tượng Vì thế học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi tiếp cận bàitoán Hơn nữa, sách giáo khoa và sách bài tập vẫn chưa hệ thống và phân dạngđược về các bài toán tìm giới hạn dãy số

Trong các kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia và thi học sinhgiỏi lại có xu hướng sử dụng các bài tập về bài toán đếm, đòi hỏi học sinh phải có

tư duy tốt và có sự phân dạng bài toán để giải quyết được bài toán

Vì vậy tôi sưu tầm một số tài liệu, bài tập về các bài toán tìm giới hạn dãy số vàchia các bài tập thành từng dạng để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toántìm giới hạn dãy số, từ đó có cách làm, cách giải bài toán phù hợp Với mong muốncho việc dạy và học về các bài toán tìm giới hạn dãy số được tốt hơn, tôi quyết định

chọn đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đề tài sáng kiến kinh

nghiệm

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một cách có hệ thống và chi tiết về các bài toán tìm giới hạn dãy số

để học sinh có cái nhìn tổng quát về các bài toán này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các khái niệm về giới hạn dãy số

Xây dựng, hệ thống và phân dạng các bài tập về “bài toán tìm giới hạn dãy số”

phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: là các bài toán tìm giới hạn dãy số trong chương trìnhtoán THPT, các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia của BộGiáo dục và Đào tạo hàng năm.

Khách thể nghiên cứu: là học sinh lớp 11 trường Trung học phổ thông Yên Lạc

2, huyện Yên Lạc, tỉnh Vĩnh Phúc

5 Phạm vi nghiên cứu

Các tài liệu sách báo, sách giáo khoa cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11, cácchuyên đề ôn thi TN THPT Quốc gia hàng năm về các bài toán tìm giới hạn dãy số

6 Phương pháp nghiên cứu

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trìnhgiải bài toán tìm giới hạn dãy số

Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên lớp giảng dạy trên cùng một lớp đối tượng

7 Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm

Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm gồm các phần sau:

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

1 Khái quát về phạm vi nghiên cứu

2 Thực trạng của vấn đê nghiên cứu

III Biện pháp và giải pháp thực hiện

1 Cơ sở đề xuất giải pháp

2 Giải pháp chủ yếu

Chương 1 Khái niềm về dãy số

Chương 2 Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số

I Dùng định nghĩa tính giới hạn của dãy số

II Phương pháp sử dụng các giới hạn dặc biệt và…

III Phương pháp dùng nguyên lý kẹp

IV Kết quả sau khi thực hiện

Phần III: Kết luận và kiến nghị

Tài liệu tham khảo

4

PHẦN II NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

1 Cơ sở lý luận của đề tài

Môn toán ở trường Trung học phổ thông là một môn khoa học tự nhiên, đòi hỏi

sự tư duy sáng tạo và cần nhiều kiến thức về giải bài tập để tự hệ thống được kiếnthức lý thuyết và hiểu thật sự được bản chất của bài toán Từ đó hình thành hứngthú học tập cho học sinh học tập bộ môn toán ở trường Trung học phổ thông

2 Cơ sở thực tiễn

Các kiến thức trong sách giáo khoa và sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (ban

cơ bản và nâng cao) do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành còn mang tính hàn lâm,

lý thuyết và ít thực tế

Trong các bài kiểm tra thường xuyên về bài toán tìm giới hạn dãy số, học sinhvẫn chưa hiểu được bản chất của bài toán, dẫn tới hiểu sai và có nhiều sai lầm khigiải toán

Trong các đề thi học kì, thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia hàng năm có xuhướng sử dụng các bài toán tìm giới hạn dãy số

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

1 Khái quát về phạm vi nghiên cứu

Các khái niệm và các bài tập về bài toán tìm giới hạn dãy số trong chương trìnhmôn toán ở trường Trung học phổ thông

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Các bài tập về bài toán tìm giới hạn dãy số trong sách giáo khoa và sách bài tậpcòn đơn điệu và chưa đưa ra được các dạng bài tập cụ thể

Học sinh khi học xong các bài toán tìm giới hạn dãy số và làm các bài tập trongsách giáo khoa và sách bài tập một cách cẩn thận vẫn không thể tự mình phân dạngbài tập được Vì thế khi gặp loại bài tập này học sinh thường bị lúng túng

III Biện pháp và giải pháp thực hiện

1 Cơ sở đề suất giải pháp

Theo yêu cầu cụ thể của việc dạy và học, phân phối chương trình bộ môn toán ởtrường Trung học phổ thông (gồm các tiết dạy chính khóa và tự chọn)

Theo các kiến thức về bài toán tìm giới hạn dãy số và các yêu cầu kỹ năng cầnphải đạt được trong các đề kiểm tra thường xuyên, đề thi THPT Quốc gia và thi họcsinh giỏi môn toán ở trường Trung học phổ thông

Nội dung cụ thể của đề tài như sau:

CHƯƠNG 1 KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ

Trong toán học khái niệm giới hạn được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm

số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào

đó Trong một khoảng không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác địnhmột điểm mới từ một dãy cauchy các điểm đã được xác định trước.giới hạn là kháiniệm quan trọng về giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, đạohàm và phép tính tích phân

Khái niệm giới hạn dãy số

b) Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

I Phương pháp Dùng định nghĩa để tìm giới hạn của một dãy

Bài 2: Cho dãy số ( u n) có un=2n 1

Từ (1) và (2) suy ra un có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hàng

nào đó trở đi nghĩa là lim un =0.

Vì |un|=|(-1) n |=1 nên |un| không thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,

kể từ một số hàng nào đó trở đi Chẳng hạn, un không thể < 0,5 với mọi n.

Do đó dãy số (un) không thể có giới hạn là 0.

Bài 5:

a, Cho hai dãy (un) va (vn), biết limn  un=-∞ và vn≤un với mọi n Có kết luận gì về giới hạn của dãy (vn) khi n +∞?

b, tìm limn  vn với vn=n!

Bài 6: Biết |u n-2| ≤ 3 n , có kết luận gì về giới hạn dãy số (un)?

Bài 7: Dùng định nghĩa giới hạn dãy số, chứng minh:

10

u v

2, Nếu limn  un=a>0 và limn  vn=0 và vn>0 thì lim

n n n

u v

3, Nếu limn  un=+ và limn  vn=a>0 thì limn  un vn=+

 Nếu giới hạn có dạng phân thức mà tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì chia

cả tử và mẫu cho n k với k là mũ cao nhất.

 Nếu giới hạn là biểu thức chứa dạng căn thức (dạng a b; 3a 3b ) cần nhânmột lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản

a b

III Phương pháp dùng nguyên lí kẹp

1 Phương pháp: Cho 3 dãy số (u n), (vn) và (wn) Nếu (un) ≤ (vn) ≤ (wn) với mọi n

và lim (un)=lim (wn)= L (L R) thì lim vn=L

 





14

vì |un| ≤ vn và vn ≤ |vn| với mọi n, nên |un| ≤ | vn| với mọi n (2)

Từ (1) và (2) suy ra |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y,kể từ số nào

đó trở đi Nghĩa là lim un=0

Áp dụng: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:

n

n n

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI GIỚI HẠN DÃY SỐ

I Chứng minh một dãy số có giới hạn:

1 Phương pháp

a, Áp dụng định lý Weierstrass;

 Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn

 Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn

b, Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số giảm và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sátmối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M

c, Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:

 Phương pháp 1:

+ Đặt limn  un =a

+ Từ limn  un+1=limn f(un)ta được một phương trình theo ẩn a

+ Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệmcủa phương trình Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạncần tìm, còn nếu phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy

số để loại nghiệm

 Chú ý : Giới hạn của dãy số (nếu có) là duy nhất.

 Phương pháp 2:

+ Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán

+ Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học

+ Tính giới hạn của dãy số thông qua công thức tổng quát

2 Bài tập mẫu:

Bài 1 Chứng minh dãy (un) bởi công thức truy hồi u 1 2, 1

1 2

 Chứng minh dãy (un) tăng:

Xét dãy un+1>un  u n 2>un  un2 -un -2<0  -1≤ un≤ 2

Ma 0<un <2 nên un+1>un .vậy un là dãy tăng (2)

    a2 –a -2=0 a=-1 hoặc a=2

Ta có vì un >0 nên limn un= a ≥0.vậy limn un =2

Bài 2: Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi u  n 2 và un+1=2- 1

với n=1 ta có u1= 1 1

1 1 2   ( đúng.)Giả sử đẳng thức (1) đúng với n k k   1 nghĩa là

1

k

k u k



 , mọi *

n  

   = limn  f(un) Giải pt tìm limn  un=a  tìm giới hạn.

Bài 2: Cho dãy truy hồi u1=0 và 1 3  

2 4

n n

n n

n n

n n





 ;limn  un= limn  2 1 1

1 2

n n





 =1+ Cách 2:

 Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới.limn  un=a ,tìm a

 Giả sử limn  un=limn  un-1=a= 1 1;

n n

Vậy (un) là dãy tăng và bị chặn trên thì dãy (un) có giới hạn

đặt limn  un=a, a>0 Ta có:

a, Chứng minh rằng un  2 với mọi n≥2.

b, Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó

Giả sử limn  un= limn  cosn =a lim

n  cos (n+2)=a lim cos 2 cos

n cosn=0

20

Suy ralimn  (cos2n+sin2n)=0, vô lý

Vậy dãy số (un) với un=cosn không có giới hạn

Bài 7: Chứng minh các dãy sau bị chặn (hội tụ).

2   n n N là dãy tăng, ta cần chứng minh dãy(an ) bị chặn

II Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới

hạn Biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số.

1 Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q,với |q|<1

+ Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un):

S=u1+u2+…+un+…= 1

1

u q



+ Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10

a Cho 0<α<4 Tính tổng s=1-tanα+tan2α-tan3α+…

b Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ:

IV Kết quả sau khi thực hiện

Sau khi áp dụng “Sáng kiến kinh nghiệm” trên vào giảng dạy, tôi đã tiến

hành kiểm tra với 10 học sinh ở lớp 11A1.1 trường THPT Yên lạc 2 và thu đượckết quả như sau:

Điểm lần 1 là điểm kiểm tra của học sinh sau khi đã học xong chương IV vàchưa được cung cấp phương pháp giải bài toán tìm giới hạn dãy số

Điểm lần 2 là điểm kiểm tra của học sinh đã được cung cấp thêm phươngpháp giải bài toán tìm giới hạn dãy số.

Stt Họ đệm Tên Điểm lần 1 Điểm lần 2

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

24

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi khi dạy bài toán tìm giớihạn của dãy số cho học sinh Trong thời gian ngắn và với sự hiểu biết còn hạn chếcủa cá nhân nên đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi không tránh khỏi thiếu sót, rấtmong bạn đọc và các đồng nghiệp góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn.

II KIẾN NGHỊ

Hằng năm giáo viên trong ngành giáo dục làm rất nhiều đề tài sáng kiến,tham gia các cuộc thi hội giảng, chiến sĩ thi đua cấp cơ sở, chiến sĩ thi đua cấp tỉnh.Ngành có kế hoạch chọn các đề tài có chất lượng phát hành về các trường để giáoviên và học sinh tham khảo

Trên đây là đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi trong năm học 2020 – 2021

Do còn hạn chế về kinh nghiệm và thời gian nên đề tài không tránh khỏi nhữngthiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp vàđộc giả để đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!