Một số phương pháp tính giới hạn dãy số

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ

1 Dạng 1: Tính giới hạn dãy đa thức

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của n ra làm nhân tử chung

- Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân các giới hạn để tính giới hạn

Ví dụ: Tính giới hạn  3 2 

lim n n  n 1

         

2 Dạng 2: Tính giới hạn dãy số hữu tỉ

Phương pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu

- Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn

Ví dụ: Tính giới hạn lim2 1

1

n n





Ta có:

1 2

1

n

n





3 Dạng 3: Giới hạn của dãy số chứa căn thức

Phương pháp:

- Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không

+) Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1

+) Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:

- Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng 1

Ví dụ: Tính giới hạn  2 

Ta có:

 2 

2

lim

2

2

2 lim

2



2 lim

2

n



1 1 2

n



 

4 Dạng 4: Dãy số chứa lũy thừa, mũ

Phương pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với cơ số lớn nhất

- Bước 2: Sử dụng nhận xét limq n 0 với q 1

Ví dụ:

2 1

2 3.1 5

n

n n

n

  

 

 

5 Dạng 5: Tính giới hạn bằng chứng minh hoặc dùng định nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số      u n , v n , w n

Nếu u n v n w n,n và limu n limw n  L limv n L

Ta thường sử dụng phương pháp này cho việc tính giới hạn các dãy số có chứa sin, cos

Ví dụ: Tính limsin 3n

Ta có: 1 sin 3n 1 1 sin 3n 1



   

sin 3

6 Bài tập

Câu 1 Tính giới hạn của dãy số

1

2

n

k

k u





 .:

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: 1 1 1 12 11 2 11

n

      

1

n

Câu 2 Tính giới hạn của dãy số 2

1

n n k

n u







Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: 2 2 2 1 21

2

1

n

n

Câu 3 Tính giới hạn của dãy số 2

n

u  q q  nq với q 1.:

1

q q

1

q q



Hướng dẫn giải Chọn C

1

1 (1 )

1

n n n

q

q





 Suy ra lim  2

1

n

q u

q



Câu 4 Biết 3 3 3 3 3  

1 2 3

1

a b

2a b là:

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 5 Tính giới hạn của dãy số 1 1 1

n

u

Hướng dẫn giải Chọn D

1

n



Câu 6 Tính giới hạn của dãy số

3

( 1) 1 2

n

u



Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

2

1 2

3

n n

Suy ra

2 3

lim

n n



Câu 7 Cho các số thực a,b thỏa a 1;b 1 Tìm giới hạn

2 2

lim



   

n n

I

1





b

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có 1, ,a a2, ,a là một cấp số nhân công bội n a

1

1







n

a

Tương tự

1

1







n

b

Suy ra lim

1

1

1

1 1

lim

1













n

n

a

b a

I

b

( Vì a 1,b1 lim n1lim n10

Câu 8 Cho dãy số (u n) được xác định bởi:

0

2011 1

n

u

u









3

limu n

n

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta thấy u n 0, n

Ta có: 3 3

3

n n

     (1)

Suy ra: 3 3 3 3

u u   u u  n (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

Do đó: 3 3

3

n

      (3)

Lại có: 2

1

n

k k      n n   n



2

n

n

Hay

9 3

n

Vậy

3

limu n 3

n 

Câu 9 Cho dãy số  u n được xác định bởi

1

1

3

u





 Tính limu n.

A limu n 1 B limu n 4 C limu n 3 D limu n 0

Hướng dẫn giải Chọn A

Câu 10 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi:

1

1

1 2 1 , 1 2

n

n

u

u



 









Tìm kết quả đúng của limu n

A 0 B 1 C 1 D 1

2

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: 1 1; 2 2; 3 3; 4 4; 5 5.;

Dự đoán

1

n

n u n



 với

*

n

Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp

Từ đó lim lim lim 1 1

1 1

1

n

n u

n

n

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí