Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN *********** NGUYỄN THỊ THU THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa

Trang 1

KHOA TOÁN

***********

NGUYỄN THỊ THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội – Năm 2017

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

***********

NGUYỄN THỊ THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:

ThS TRẦN THỊ THU

Hà Nội – Năm 2017

Trang 3

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn cô giáo ThS Trần ThịThu đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Với những lờichỉ dẫn, sự tận tình hướng dẫn của Cô đã giúp em vượt qua nhiều khókhăn trong quá trình hoàn thành đề tài nghiên cứu.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giảitích và các thầy giáo, cô giáo trong khoa toán đã quan tâm tạo điềukiện giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thiện khóa luận.Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và các bạn bè đãgiúp đỡ, động viên em rất nhiều trong suốt quá trình học tập

Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên khóa luận không tránh khỏinhững thiếu sót Em rất mong có được những đóng góp, nhận xét quýbáu của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đọc quan tâm để đề tài đượchoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Thủy

Trang 4

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Các phươngpháp tìm giới hạn dãy số” là công trình nghiên cứu của em, kết quảkhông trùng với kết quả nào Nếu sai em xin hoàn toàn chịu tráchnhiệm, kỷ luật của khoa và nhà trường đề ra

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Thủy

Trang 5

LỜI NÓI ĐẦU 1

1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số 4

1.2 Các định lý về giới hạn dãy số 7

1.3 Một số kiến thức khác có liên quan 9

2 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số 14 2.1 Phương pháp 1 Sử dụng định nghĩa 14

2.2 Phương pháp 2 Sử dụng các tính chất, giới hạn quen thuộc 17

2.3 Phương pháp 3 Sử dụng dãy đơn điệu 22

2.4 Phương pháp 4 Sử dụng định lý Stolz 25

2.5 Phương pháp 5 Sử dụng tích phân 29

2.6 Phương pháp 6 Khảo sát độ lệch 35

2.7 Phương pháp 7 Phương pháp hàm số cho các dãy sinh bởi phương trình 38

2.8 Phương pháp 8 Sử dụng dãy phụ để tính giới hạn 40

2.9 Phương pháp 9 Giới hạn của các dãy tổng 46

Trang 6

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

2.10 Phương pháp 10 Phương trình sai phân để xác định số

hạng tổng quát của dãy 50

Trang 7

LỜI NÓI ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Giải tích là một phần rất quan trọng của Toán học Douglas (1986)viết: “Giải tích là nền tảng của Toán học, Giải tích là con đường, làtrung tâm của Toán học, là cở sở cho việc nghiên cứu của nhiều ngànhKhoa học và kỹ thuật khác” Ta thấy lý thuyết giới hạn là một trongnhững chủ đề quan trọng của Giải tích Đề cập đến vai trò của giớihạn, SGK Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) đã viết: “Không có giớihạn thì không có Giải tích Hầu hết các khái niệm của Giải tích đềuliên quan tới giới hạn” Hơn nữa, trong các đề thi công chức, giới hạndãy số xuất hiện nhiều và nó khiến cử nhân mới tốt nghiệp gặp lúngtúng Ngoài ra các bài toán giới hạn dãy số còn được đưa vào các cuộcthi Học sinh giỏi và cuộc thi Olympic toán hàng năm cho sinh viên vàhọc sinh Các bài toán này được xem là dạng toán khó, đòi hỏi ngườilàm toán phải nắm chắc và hiểu rõ bản chất các kiến thức về giới hạnbiết vận dụng linh hoạt chúng để giải quyết dạng toán này

Xuất phát từ nhận thức trên và mong muốn bồi dưỡng Học sinhgiỏi THPT, em chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định giới hạndãy số” để thực hiện khóa luận của mình

II Mục tiêu nghiên cứu

Củng cố kiến thức về giới hạn cho học sinh Từ đó, cung cấp một

số các phương pháp xác định giới hạn dãy số đề học sinh có thể vận

Trang 8

dụng giải quyết các bài toán tìm giới hạn dãy số một cách linh hoạt,sáng tạo

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Sinh viên ngành Toán và học sinh cấp THPT

- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức trong chương trình Đại học,một số kiến thức nâng cao ở THPT, mở rộng một số tài liệu bên ngoài

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan tới giới hạn dãy số

Từ đó

- Nắm được những định nghĩa, tính chất và định lý về dãy số vàgiới hạn dãy số

- Tìm ra một số phương pháp xác định giới hạn dãy số và nêu được

ví dụ minh họa cụ thể cho từng phương pháp

V Phương pháp nghiên cứu

Đọc, tra cứu tài liệu

VI Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo cấu trúc khóaluận gồm 2 chương:

Chương 1 "Các kiến thức cơ bản có liên quan" trình bày các địnhnghĩa, định lý và các kiến thức liên quan đến dãy số và giới hạn dãysố

Trang 9

Chương 2: "Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số" trình bàymột số phương pháp tìm giới hạn dãy số Ở mỗi phương pháp em đưa

ra phương pháp vận dụng, ví dụ minh họa và các bài tập đề nghị Nộidung chương 2 được tham khảo trong các tài liệu số [1,2,3,4,5,6] mà

em đã nêu tại mục "Tài liệu tham khảo" ở trang cuối của khóa luận

Trang 10

Chương 1

Các kiến thức cơ bản có liên quan

Trong chương này em sẽ hệ thống các khái niệm, định lí và cáccác kiến thức liên quan đến dãy số và giới hạn dãy số

Phần tử an được gọi là số hạng tổng quát của dãy

Nhận xét Một dãy hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quáthoặc công thức truy hồi an = f (an−1, )

4

Trang 11

Định nghĩa 1.2

Dãy {an} gọi là bị chặn trên nếu ∃M : an ≤ M, ∀n ∈ N

Dãy {an} gọi là bị chặn dưới nếu ∃M : an ≥ M, ∀n ∈ N

Dãy {an} gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặndưới Tức là, dãy {an} bị chặn nếu tồn tại số tự nhiên K > 0 sao cho

đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngoài lân cận đó chỉ cóthể có một số hữu hạn các phần tử an)

Hình 1.1

Trang 12

Cho dãy {an} và nk ∈ N : nk+1 > nk, ∀k ∈ N Khi đó, dãy {ank} =

an1, an2, , ank, được gọi là dãy con của dãy {an}

Tính chất

i, Nếu dãy {an} có giới hạn là a khi n → ∞ thì mọi dãy con {ank}cũng có giới hạn là a

ii, Mọi dãy số đều là dãy con của chính nó

Trang 13

iii, Nếu dãy {amn} là dãy con của dãy {an} và dãy namnk

o

là dãycon của dãy {amn} thì dãy namnk

ocũng là dãy con của dãy {an}.Định nghĩa 1.7

Cho dãy {an} ∈ R, nếu tồn tại một dãy con {an k} ∈ {an} sao cholim

k→+∞ank = a (a có thể bằng ±∞) thì a được gọi là một giới hạn riêngcủa dãy {an}

Tính chất Mọi dãy {an} đều có một giới hạn riêng lớn nhất và mộtgiới hạn riêng bé nhất

Định lý 1.2 Giả sử các dãy {an} và {bn} hội tụ Khi đó

i, Dãy {an+ bn} cũng hội tụ và lim

Trang 14

Định lý 1.4 Nếu dãy số {an} hội tụ thì dãy {|an|} cũng hội tụ vàlim

n→∞|an| =

lim

n→∞an

n→∞cn = lim

n→∞an = lim

n→∞bn.Định lý 1.9 (Sự hội tụ của dãy đơn điệu)

i, Một dãy {un} tăng và bị chặn trên thì hội tụ và lim

n→∞un = sup un

ii, Một dãy {vn} giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và lim

n→∞vn = inf vn.Chú ý

i, Một dãy {un} tăng và không bị chặn trên thì lim

n→∞un = +∞

ii, Một dãy {vn} giảm và không bị chặn dưới thì lim

n→∞vn = −∞.Định lý 1.10 (Nguyên lý Cauchy) Điều kiện cần và đủ để dãy số{an} hội tụ là: với mọi số ε dương nhỏ tùy ý, tồn tại số tự nhiên µ saocho nếu n, m ∈ N; n, m > µ thì |an − am| < ε

Định lý 1.11 (Nguyên lý Bolzano - Weierstrass)

Từ một dãy bị chặn bất kỳ {an} ta đều có thể tách ra được mộtdãy số con {ank} hội tụ

Trang 15

Chú ý Nếu dãy không bị chặn thì tồn tại ít nhất một dãy con hội

tụ hoặc không có dãy nào hội tụ

a = x0 < x1 < x2 < < xn = b (1)Khi đó, tổng δf (T, ε) =

n

X

i=1

f (εi) ∆xi, trong đó xi−1 ≤ εi ≤

xi ∀i = 1, n ; ∆xi = xi− xi−1 được gọi là tổng tích phân của hàm

f (x) trên [a; b] ứng với cách chia (1) và cách chọn điểm ε = (ε1,ε2, )

λ = max

[1,n] |∆xi| là đường kính của T

Trang 16

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn không phụ thuộc vào cách chọn T, ε

∆xn = xn+1− xn gọi là sai phân cấp 1,

∆2xn = ∆xn+1− ∆xn = ∆ (∆xn) gọi là sai phân cấp 2,

Trang 17

hay Lk[xk] = f (n), trong đó Lk là toán tử tuyến tính tác động lênhàm xn và a0, a1, , ak, f (n) đã biết, còn xn, xn+1, , xn+k là các giátrị chưa biết.

• Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tínhcấp k

• Hàm số xn = g (n) phụ thuộc k hằng số thỏa mãn (1.3) được gọi

là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính (1.3)

• Một nghiệm x∗n thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm riêng của (1.2)

Áp dụng lý thuyết của phương trình sai phân ta có

i, Giả sử xn là nghiệm tổng quát của (1.2) thì xn = xn+ x∗n với xn lànghiệm tổng quát của (1.3), x∗n là nghiệm riêng của (1.2)

ii, Giả sử xn1, xn2, , xnk là hệ k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3)

Trang 18

Vì vậy, phần tiếp theo, em sẽ trình bày sơ lược cách giải phương trìnhsai phân (1.3) Việc giải phương trình sai phân (1.2), độc giả quantâm, có thể đọc trong tài liệu số [4]

Cách giải phương trình sai phân

Trường hợp 1: Nếu (1.4) có k nghiệm thực phân biệt λ1, λ2, , λk ⇒

ta có k nghiệm riêng độc lập tuyến tính x1n = λn1, x2n = λn2, , xkn = λnk.Nghiệm tổng quát xn = C1λn1 + C2λn2 + + Ckλnk

Trường hợp 2: Nếu (1.4) có nghiệm bội, chẳng hạn λ1 có bội s và

k − s nghiệm thực phân biệt: λ1 = λ2 = = λs, ta thay thế s nghiệmriêng x1n, x2n, , xsn tương ứng bằng x1n = λn1, x2n = nλn1, , xsn = ns−1λn1.Nghiệm tổng quát xn = C1 + nC2 + + ns−1Cs λn

1 + Cs+1λn1 + + Ckλnk

Trang 19

Trường hợp 3: Nếu (1.4) có nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r (cos α + i sin α)thì sẽ có nghiệm phức liên hợp λ2 = r (cos α − i sin α) và k − 2 nghiệm

thực phân biệt, khi đó tương ứng ta thay thế x1n = rncos nα và

x2n = rnsin nα trong nghiệm tổng quát

Nghiệm tổng quát xn = rn(C1cos nα + C2sin nα) + C3λn3 + +

Ckλnk

Trang 21

Như vậy, nếu chọn n0 =

hlogε|q|

i

Trang 31

Bài 1: Khảo sát tính đơn điệu và tìm giới hạn của dãy

Bài 3: Cho s > 0, p > 0 Chứng minh rằng

lim

n→∞

ns(1 + p)n = 0.

Phương pháp 4 sử dụng định lý Stolz để tìm hoặc chứng minhgiới hạn dãy số phức tạp chứa hàm căn thức hoặc hàm mũ

Ta có thể tiến hành các bước sau

Bước 1: Chọn xn, yn sao cho chúng thỏa mãn các điều kiện định lýStolz thứ I hoặc Stolz thứ II

Bước 2: Khi đó nếu tồn tại giới hạn lim

n→∞

xn+1 − xn

yn+1 − yn = A thì cũngtồn tại giới hạn lim

1

Lời giải

Trang 32

1

√2n − 1 − √ 1

√2n +

1

√2n − 1 − √ 1

√2n − 1 −

√n

√

n − 1 +

r

n − 12n +

r n − 12n − 1 − 1)

1

√

n + +

1

√2n

Trang 34

Vậy theo định lý Stolz, dãy đã cho có giới hạn bằng 2a

Ví dụ 2.16 Cho k ∈ Z, xác định dãy {xn} như sau:

Trang 35

Bài 1: Áp dụng định lý Stolz để chứng minh

Theo định nghĩa về tích phân xác định thì nếu hàm f (x) khả tíchtrên đoạn [a, b] thì với mọi phép phân hoạch π của đoạn [a, b] và mọicách chọn các điểm εi ∈ [xi−1, xi] , (i = 1, 2, , n) ta luôn có

Trong đó d = max (xi − xi−1) , (1 ≤ i ≤ n)

Như vậy biểu thức dưới dấu giới hạn chính là tổng tích phân củahàm f (x) trên đoạn [a, b] nào đó Vậy để tính giới hạn của một tổngnhờ tích phân xác định về cơ bản ta thường thực hiện theo ba bước

Trang 36

+ Biến đổi tổng dưới dấu giới hạn về biểu thức dưới dạng:

+ Chọn được hàm f (x) khả tích trên [a, b]

1 + 2n

1 + 3n

Lời giảiĐặt Sn =

1 + 1n

1 + 2n

; n = 1, 2, Khi đó ta có

ln Sn = 1

nln

1 + 1n

1 + 2n

n ∈ [xi, xi+1] Khi đó, ta lập tổng tích phân của hàm

Trang 37

f (x) với phép phân hoạch trên

1 + 2n

1p2n (2n + 1)

1p2n (2n + 1).

Trang 38

Ta có

1

n + 1 + · · · +

12n + 1 < Sn <

hay un+ 1

2n + 1 < Sn <

1

n + un.Trong đó

un = 1

n + 1 + · · · +

12n =

1n





1

1 + 1n

+ · · · + 1

1 + nn





 = 1n

Lời giải

Trang 39

3# =

1n

Trang 40

12

Biểu thức trong ngoặc vuông là tổng tích phân của hàm f (x) =1

1 + x trên đoạn [0; 1] với cách chia đều đoạn [0; 1] làm n đoạn điểm

ξi là trung điểm đoạn i − 1

n ;

in

, từ đó

n n

n + 1n

Trang 41

Bước 2: Chuyển qua giới hạn ta giải l = f (l) từ đó suy ra l.

Bước 3: Chứng minh |un− l| < ε bằng định nghĩa Tức là, dãy{un} được gọi là hội tụ nếu tồn tại một số a sao cho dãy {un− a} vôcùng bé, tức là với mọi ε > 0, luôn tồn tại N = N (ε) sao cho với mọi

n > N các phần tử của dãy này thỏa mãn bất đằng thức: |un− a| < ε

Ví dụ 2.20 Khảo sát dãy {un} cho bởi

Trang 42

Trang 43

cn + 2

cn + 1 −√2

=

cn+ 2 −√

2cn−√2

cn+ 1

...

hạn quen thuộc

Phương pháp sử dụng cơng cụ định lý 1.2, định lý 1.8

nó áp dụng tốn tính giới hạn dãy số

Ngồi ra, ta áp dụng số giới hạn đặc biệt, chẳng hạn+ lim... Toán

Phương pháp sử dụng định nghĩa 1.2, định nghĩa 1.4, định lý1.9 áp dụng chứng minh dãy số hội tụ tìm giới hạn dãy số Tatiến hành bước sau

Bước 1: Chứng minh dãy đơn điệu:... tính đơn điệu tìm giới hạn dãy< /p>

Bài 3: Cho s > 0, p > Chứng minh

lim

n→∞

ns(1 + p)n = 0.

Phương pháp sử dụng

Định dạng
Số trang	60
Dung lượng	326,83 KB