MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ - SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2017 new

MOT SO DE THI HSG VE DAY SO luyện thi đại học

1) CMR dãy u có giới hạn hữu hạn n

1) Cho 2004 số nguyên dương u u1, 2, ,u2004 thỏa mãn

2004 3 1

2025

k k

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x y sao cho , y 1 chia hết cho x và x 1 chia hết cho y

Từ điều kiện đề bài ta có: x 1 y y; 1 x x 1 y x 1 y x 1 y x y x 1 (do x, y là các số tự nhiên) Ta xét 3 trường hợp sau:

TH1: Nếu y x 1 thì y là ước của x – 1 và x + 1, suy ra y là ước của x – 1 – (x + 1) = - 2, suy ra

1 2

+ Với y = 1 thì x = 2 (thỏa mãn)

+ Với y = 2 thì x = 3(thỏa mãn)

TH2: y = x thì y là ước của x và x + 1, suy ra y là ước của x + 1 – x = 1, suy ra y = 1, lúc đó x = 1 (thỏa mãn)

TH3: y = x + 1 thì x là ước của x + 2 suy ra x là ước của 2, suy ra x = 1 hoặc x = 2

6 QUẢNG BÌNH 2010-2011

7 QUẢNG BÌNH 2011-2012

8 BÌNH ĐỊNH 2010-2011

9 HÀ TĨNH 2010-2011

+)TH2: Nếu x0 1,

10 BÌNH ĐỊNH 2011-2012

Vì: 2011 là số nguyên tố và 0 < m < 2011 nên ƯCLN(m, 2011) = 1, từ đó: ƯCLN(m + 2011, 2011)= 1

Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011 Chứng minh rằng (m + 2010)!

m!2011! là một số nguyên

14 LONG AN 2011-2012

Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 3 un2 2 với mọi n 1

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số un

3 2012

15 ĐỒNG THÁP 2009-2010

16 ĐỒNG THÁP 2011-2012

18 TP HCM 2011-2012

19 LẠNG SƠN 2011-2012

20 VĨNH LONG 2009-2010

Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi 0

1 1

Ta thấy y là cấp số cộng với số hạng đầu n y0 101 và công sai d 1

Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng y , ta có: n y n y0 nd 101 n x n 101 n 7n

Theo Viét, ta có: a b 1, ab 1

n

R a b a b , n * Ta chứng minh R n là số nguyên chia hết cho 5 bằng quy nạp

-Với n = 1, ta có R1 a b a b 3 3ab a b 5 R là số nguyên chia hết cho 5 1

- Giả sử R k là số nguyên chia hết cho 5, ta có:

Theo giả thiết quy nạp R k, R k 1 chia hết cho 5 nên R k 1 chia hết cho 5

Vậy R n là số nguyên chia hết cho 5, n *

Do đó, 2007 2007 2009 2009

n

R a b a b là số nguyên chia hết cho 5

21 ĐỒNG NAI 2009-2010

22 OLYMPIC ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG TẠI SÓC TRĂNG

23 VÒNG QUỐC GIA 2011-2012

24 VÒNG QUỐC GIA 2010-2011

25 DÃY SỐ CÓ TÍNH CHẤT SỐ HỌC_VÒNG QUỐC GIA 2011-2012

27 TP HCM 2005-2006

28 TP HCM 2004-2005

29 TP HCM 2003-2004

(Giống đề thi HSG BÌNH PHƯỚC 2008-2009)

5)