có nhiều cách để tính tổng một số tự nhiên , tùy theo đặc điểm xác định dãy số đó
Trang 1
TRUNG HOC CO SG
ó nhiều cách đề tính tổng một dãy số tự
nhiên, tùy theo đặc điểm xác định dãy số
đó Bài viết này giới thiệu phương pháp đi
tìm một đa thức thích hợp để từ đó tính tổng
của một số dãy số tự nhiên
I PHƯƠNG PHÁP
Để tính tổng $ = g(1) + g(2) + + g(), keÑ,
ø(z) là một đa thức, ta làm như sau:
e Tìm đa thức ƒtx) có bậc lớn hơn bậc của đa
thức g(x) la 1 don vi, sao cho
g(x) =f) — fx -1)
e Thay x lần lượt các giá trị từ 1 dén k, ta cé
s=#U)-/0) + 2)— #1) + +/@) -/fk-1)
=flk) -/0)
Việc xác định các hệ số của đa thức Hix) dua
vào định nghĩa hai đa thức một biến bằng
nhau
H MỘT SÓ THÍ DỤ MINH HOA
* Thi du 1 Tinh tong 1° +2?+ +K (k €N’)
Lời giải Ta cần tìm đa thức bac ba f(x) sao
Gia str f(x) = ax’ + bx? + cx + đ(a z0)
Thay vào (1) ta có
ax` + bà? + ex + d— (a(x— 1) + b(x- 1)
+cœx-—1) +đ)=zˆ
© ax’ + bx’ + ex + d— (ax — 3ax? + 3ax — a)
— (bx” — 2bx + b) — (cx— e)— d=+x?
Hai đa thức bằng nhau nếu các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x phải bằng nhau, từ đó
3a=1
—3a+2b=0 a= si b=53 c=c.Do đó
a-b+c=0
Kx) = setpetortd (de R) (2)
Cho x = 1; 2; .; k lan lượt thay vào (1), rồi cộng về theo về và áp dụng (2) ta được
1?+2?+ +#=/##) -/(0)
1 1 1
= —k34+—k?+—k
— (2k +3k+1) — k(k+1)(2k+1)
Vay 2 +224 +2 = VY) cap 0
* Thí dụ 2 Tinh tong
3+27+ +Kh(keEN )
Loi gidi Ta can tim da thire bac bén f(x) sao
Gia str f(x) = ax* + bx? + cx? + dx + e (a +0) Thay vào (3) ta được
ax’ + by) + cx? + đv +e— (a(x— L)! + b(x - I} +c(x-~ l+ đœx-— 1)+e)=+Ÿ
& ax + be + ox + dx t+ e— (ax! - 4a”
+ 6ax* — 4ax + a+ bx? — 3bx? + 3bx —
+ cx’ —2ex+et+dx—dt+e)=x
& 4a’? + (_— 6a + 3b)xˆ + (4a — 3b + 2c)x
-a+b-c+d=r'`
Trang 24a=l
=—: b=—; c=—; đ=0
—a+b—c+d=0
Do dé f(x) = x gs lye +e (e€ R)()
4 2.4
Cho x = 1; 2; .; & lần lượt thay vào (3), rồi
cộng về theo về và áp dụng (4) ta được
1+2?+ +# = fii) -fX0)
3
k alps pele = any :
k(k+1)
2
2
* Thi du 3 Tinh tong
1.2+23+ +kk+1)(k EN)
Loi gidi Ta can tim da thtrc bac ba f(x) sao
cho ƒ{x)—ƒx— l)=x(Œ + ]) (5)
Gia sit (x) = ax? + bx’+ cx +d (a #0)
Thay vào (Š) ta có
ax2 + bx2 + cx + d— ((a(œx — 1) + b(x— L +
c(x— 1)+ đ)=x( + ])
© a + bx? + cx + d— (ax — 3ax” + 3ax — đ)
~ (bx?— 2bx + b) — (cx—e)— d=x”+x
«©3ax?+(_—3a+2b)x+a—b+c=x”+x
<>4—3a+2b=l<>a=—; b=l; c=—
Do d6 fix) = sete tired (de R) (6)
Cho x = 1: 2; .; & lần lượt thay vào (5), rồi
cộng về theo về và áp dụng (6) ta được
1.2+2.3+ + k(& + 1) =/) - #0)
= Lg +k? 37%
— k(k?+3k+2)_ k(k+1)(k+2)
Vậy 12+2.3+ .+ X(Ra)
* Thi du 4 Tinh tong 13+3.5+ +(&— 1)(2 + 1) & EN’)
Lời giải Ta cần tìm đa thức bậc ba /fx) sao cho fx)—fx— 1) = Qx- 1)2x+ 1) (7)
Gia sir f(x) = ax’ + bx’+ cx + d(a #0)
Thay vào (7) ta được
ax? + bx? + ex + d—(a(x— 1) + b(x— 1y
+ e(x— 1) + d) = (2x - 12x + 1)
& ac + bx? + cx + d—(ax’ —3ax’ + 3ax- a)
— (bx? — 2bx + b) — (ex—c) —d=4x° = 1
& 3axr + (-3a+2b)x+a—b+c=4x -1
© -3a+2b=0 cha=.: b= 0a
a-b+c=-l
Do dé f(x) = 5304234 -x+d (4elR) (8)
Cho x = 1; 2; .; k lần lượt thay vào (7), rồi
cộng về theo về và áp dụng (8) ta được
13+3.5+ +(2&— 1)@k+ 1)= /## -/#0)
k(4k?+6k~1)
HA
Vậy 1.3+3.5 + + (2k— L(k + 1)
k (4k? +6k-1)
= 4j2+22_—}k =
(@& eNÑ `)
* Thí dụ 5 Tính tổng 1.274+2.37+ +k(k+ 1) (k EN’) Lời giải Ta cần tìm đa thức bậc bén fix) thoa
điều kiện f(x) —flx—1)=x(x + 1) (9)
Gia sir fix) = ax’ + bx’ + cx’ + dx + e (a = 0).
Trang 3Thay vao (9) ta duge
ad + be + oe + de +e — (atx — 1) + x —1)° | Dodd fix)= Viện và tệ vteứC &)(10)
+ e(x—1P +dix—l) tela +2 +x
1
4
Cho x = 1:2; .; & lần lượt thay vào (9), rồi
TT aaa cộng về theo về và áp dụng (10) ta được
em 4 7 3 Kệ z 5
4ax? + (- 6a + 3b) + (4a — 3b + 2e)x ge te te te"
-a+b—c+d=?+20+x | 6 k(34*+14&2+2I&+10)_ k{&+1)(&+2)(3k+5)
hà Dan ng (hệt ng | „ k2) XS +5) (AEN ).0 vụ
Để kết thúc bải viết, mời các bạn hãy luyện
tập thông qua các bải tập tương tự sau đây
BÀI TẠP Tính các téng sau, với & e Ñ”:
1 1+2+ +;
3, 1⁄2+2+31+ +*;
3, 1.2.3+2.3.4+ +&(k+l)(& + 2);
4 13.5+3.57+ +(2k— 1\(2&+ IX2& + 3);
5 12434+234.5+ +k(“+ lXk + 2X&+ 3);
6 1.22+2.3'+ +(+ l)`
1 122+213+ +#(k+ l);
8 123?7+243.47+ +k( + 1)(& + 2Ý.