Ứng dụng tích phân giải bài toán về công của lực tác dụng vào vật

Nếu một lực không đổi F tác dụng lên vật M dọc theo một khoảng cách độ dời d, thì công W sinh ra trong quá trình dịch chuyển bằng tích của lực F và độ dài khoảng cách d mà nó đã tác dụng[r]

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TOÁN VỀ CÔNG CỦA

LỰC TÁC DỤNG VÀO VẬT

1 Phương pháp

 Nếu một lực không đổi F tác dụng lên vật M dọc theo một khoảng cách (độ dời) d, thì công W sinh ra trong quá trình dịch chuyển bằng tích của lực F và độ dài khoảng cách d mà nó đã tác dụng, ta có

công thức

WF d

trong đó, lực F được hiểu là tác dụng dọc theo hướng (phương) chuyển động

 Định nghĩa trên luôn đúng khi lực F không đổi Tuy nhiên, nhiều trường hợp lực F biến thiên trong

suốt quá trình thực hiện công Trong các tình huống như vậy, người ta thường chia quá trình này thành nhiều phần nhỏ và tính công toàn phần nhờ lấy tổng các công tương ứng với các phần được chia (được tính nhờ phép tính tích phân)

 Giả sử f(x) là lực tác dụng lên vật tại vị trí x, đường đi của

lực tác dụng(quỹ đạo của vật được tác dụng lực) tương ứng

với trục tọa độ Ox Khi đó, công toàn phần sinh ra trong cả

quá trình chuyển động của vật từ vị trí x a đến vị trí x b

là:

 

b

a

W f x dx

Ví dụ: Một lực 40N cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm Hãy tính

công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 15cm đến 18cm

Hướng dẫn giải

 Ban đầu, lò xo có độ dài tự nhiên 10cm Dùng một lực 40N kéo giãn lò xo có độ dài 15cm thì lò xo bị kéo dãn một đoạn có độ dài 5cm = 0,05m Vậy ta có f0,05400,05.k40 k 800 Suy ra

 800

f x x

 Vậy công sinh ra khi kéo căng lò xo từ 15cm đến 18cm là

0,08

2

x

2 Bài tập

Bài 1: Người thợ hồ nâng một xô nước bị rỉ lên cao 20m với tốc độ cố định Cho trọng lượng của xô là

3N, trọng lượng ban đầu của nước là 2N Biết rằng xô nước bị rỉ nên lượng nước trong xô sẽ chảy ra với tốc độ không đổi trong thời gian nâng xô nước lên Người ta ước tính rằng lượng nước trong xô sẽ thay

đổi theo đồ thị là hình bên Hỏi người thợ hồ đã dùng một công là bao nhiêu để nâng xô nước lên cao

20m, với giả sử rằng bỏ qua trọng lượng sợi dây ?

f(x)

x

y

W

Hướng dẫn giải

 Vì trọng lượng của xô là 3N không thay đổi nên công để đưa xô lên cao 20m là

 

 3.20 60

xô xô

 Trọng lượng của nước thay đổi tùy thuộc vào độ cao của xô so với mặt đất Gọi x là độ cao của xô so

với mặt đất, khi đó f x ax b là trọng lượng của nước tương ứng với độ cao x

 Đồ thị hàm số f x ax b đi qua 2 điểm A(0;2) và B(20;0) nên

 

 

 

2

2 1

10

b

 Công sinh ra khi đưa nước từ mặt đất lên cao 20 là:

            

20

2

 Vậy công toàn bộ để đưa cả xô và nước lên cao 20m là 60 20 80 Nm    

Bài 2: Một lực có độ lớn 40 N (newton) cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 10 cm

lên 15 cm Biết rằng theo định luật Hooke trong Vật lý, khi một chiếc lò xo bị kéo căng thêm x (đơn vị

độ dài) so với độ dài tự nhiên của lò xo thì lò xo trì lại (chống lại) với một lực cho bởi công thức

   

f x kx N , trong đó k là hệ số đàn hồi (hoặc độ cứng) của lò xo Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo

có độ dài từ 15 cm đến 20 cm ? (kí hiệu J Jun  là đơn vị của công)

Hướng dẫn giải

 Khi kéo lò xo từ 10 cm đến 15 cm nó bị kéo căng thêm 5 cm = 0,05 m

 0 05 400 05 40 800 Do đó f x 800x

,

W 0 1 f x dx

0 05

x

0 1

2

Bài 3: Một lực 12 N nén lò xo từ chiều dài tự nhiên là 18 cm xuống còn 16 cm Hỏi công sinh ra là bao

nhiêu nếu ta tiếp túc nén lò xo từ 16 cm xuống 14 cm ?

Hướng dẫn giải

 Đầu tiên ta sẽ xác định hằng số lò xo (theo đơn vị m) Ta có F kx

 

 Do đó ta có F600x Nên công sinh ra được xác định A0,04 f x dx  0,04 xdx

0,02 0,02

 

0,02

Bài 4 : Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đến lúc kết thúc thở ra,

thường kéo dài trong 5s Vận tốc cực đại của khí là V l / s ,vì thế nó được mô hình hoá bởi

t v(t) V sin 3

5 Tính thể tích khí hít vào phổi sau thời gian 2s

Hướng dẫn giải

 Vận tốc của khí hít vào được mô hình bởi công thức ( ) sin3

5



giây là :



Bài 5: Một mạch kín gồm một nguồn điện có suất điện động biến thiên theo thời gian

e 10cos 100t V và điện trở trong không đáng kể, nối với mạch ngoài có một điện trở R  50 Tính điện lượng chuyển qua điện trở trong thời gian từ t0 đến t 1 s

600 ?

Hướng dẫn giải

 0,02 cos 100 (A) Ta có i t q t' 

t

q 2i t dt

1

Xét điện lượng từ t0 đến t 1 s

600

1 600

5 0

Bài 6: Trong mạch điện của thiết bị điện tử, cường độ dòng điện (đơn vị mA) là một hàm số theo thời

gian t là i t  0 3 0 2,  , t mA  Tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong giây 0,05s là bao nhiêu,

biết rằng tại thời điểm ban đầu thì lượng điện tích chạy qua dây dẫn bằng 0 ?

Hướng dẫn giải

 Ta biết rằng cường độ dòng diện là lượng điện tích đi qua tiết diện vật dẫn trong một đơn vị thời gian Nếu gọi hàm i t  biểu thị cho cường độ dòng điện thì lượng điện tích q t  là nguyên hàm của i t 

 Ta có biểu thức điện tích q t i t dt     t dt  t t2 C

 Ta có khi q 0   0 C 0 Do đó tổng điện tích đi qua một điểm trong 0,05 s là:

     

0,05 0,3 0,05 0,1 0,05 0,015

Bài 7: Hiệu điện thế đi qua tụ điện có điện dung C8 5, nF đặt trong mạch thu sóng FM gần bằng 0 Nếu

có cường độ dòng điện i 0 042, t mA  nạp vào tụ Tìm hiệu điện thế sau 2s, biết rằng hiệu điện thế tại

thời điểm t được tính theo công thức    q t

U t

C

 với q t  là điện lượng qua tiết diện dây dẫn trong thời gian t

Hướng dẫn giải

 Lưu ý nF  9F s  6s

 Ta biết rằng điện tích q t là nguyên hàm của cường độ dòng điện   i t  

C





9

2

 Theo giả thiết ta có U 0   0 K 0

 Do đó U C t  3 2t

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí