Câu 30: Nêu công thức tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng phần gạch sọc của hình vẽ xung quanh trục hoành Oxb. Câu 31: Nêu công thức tính thể tích vật thể tròn x[r]
Trang 1CHỦ ĐỀ 13: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH 1) Tính thể tích vật thể
Cắt một vật thể ( )H bởi hai mặt phẳng ( )P và ( )Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại
x=a x=b ab Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm x ( a ) cắt x b ( )H theo thiết
diện là S x (hình vẽ) Giả sử ( ) S x liên tục trên đoạn ( ) a b ;
Khi đó thể tích V của vật thể ( )H giới hạn bởi hai mặt phẳng ( )P và ( )Q được tính bởi công thức:
( )
b a
V = S x dx
2) Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox
Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
Trang 2Chú ý: Khi bài toán không cho hai đường thẳng giới hạn x = và x b a = thì ta giải phương trình ( ) ( )
f x =g x để tìm cận của tích phân, trong đó x = là nghiệm nhỏ nhất và x b a = là nghiệm lớn nhất của phương trình
3) Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi diện tích S quay quanh trục Oy
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi
Tương tự: Trong trường hợp V sinh ra bởi diện tích hình phẳng Oy
của hai đồ thị hàm số y= f x( ); y=g x( ) và hai đường thẳng
;
y=m y= ta có n 2( ) 2( )
n Oy m
V = f y −g y dy
Chú ý: Khi quay diện tích hình phẳng S quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V Khi quay Ox
quanh trục Oy ta được khối tròn xoay có thể tích V Oy
Hầu như V không bằng Ox V Chúng chỉ bằng nhau trong một số trường hợp đặc biệt Oy
4) Ứng dụng tính thể tích khối cầu, khối chỏm cầu và một số hình đặc biệt
a) Thể tích của khối cầu
Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình:
P + = với r0; y0 (hình vẽ) Quay nửa hình tròn đó
quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán kính r
Thể tích của mặt cầu này là: 4 3 ( )
3
V = r đvtt Thật vậy: Ta có x2+y2=r2y= r2−x2
Với y0 ta có: y= r2−x2 có đồ thị là nửa đường tròn phía
Trang 3Khi quay hình phẳng tô đậm quanh trục Ox ta được khối 3 chỏm
cầu bán kính r và chiều cao h
Trang 4Thể tích cần tính bằng 1( )2
2 0
Ví dụ 4: Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( )C :y=−x2+4x và đường thẳng d y: =x
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay do hình phẳng ( )H quay xung quanh trục hoành
−
=+
−
3
00
x x x x
Phương trình hoành độ giao điểm là: x ln(1+x3)=0 x=0
Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tìm ta có: 1 ( )
ln 1
V =x +x dx
Trang 5Đặt ( 3) 2 3 ( )1 1
3
3 2
0 0
3
ln 131
3
x du
11
ln
3 2
x dv x
dx du dx
x dv
x u
−
2
13
5
2
y
y y y
Trang 6Ví dụ 8: Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi ( )C :y= 2 ,x ( )d :y= − +x a và trục Oy. Biết rằng ( )C và
( )d cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ bằng 1 Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi ( )H
khi nó quay quanh trục Ox
Gọi V là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng 1 ( )S 1
được giới hạn bởi các đường ( ) ( )C , d ,Oy Ox như hình bên quanh ,
Gọi V là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường 2 ( )d ,Ox
như hình bên quanh trục hoành,
Ví dụ 9: Để tạo ra những chiếc chậu hoa hình quả lê, người ta dùng
một chiếc khuôn là đường cong có phương trình trong hệ trục tọa độ là
( ) ( )
y= x k−x k Biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy
tương ứng với chiều dài 1 dm Hãy xác định k để thể tích chậu hoa là
12,15 dm3
Lời giải:
Trang 7thẳng x= với k 1 k5 chia ( )H thành hai phần là
( )S và 1 ( )S2 quay quanh trục Ox ta thu được hai khối
tròn xoay có thể tích lần lượt là V và 1 V Xác đinh k để 2
V dx
dx x
thẳng x= với k 1 k7 chia ( )H thành hai phần là ( )S và 1
( )S2 quay quanh trục Ox ta thu được hai khối tròn xoay có
7 2 2
Trang 8Ví dụ 12: [Đề Tham khảo Bộ Giáo dục và Đào tạo 2017] Tính thể V của phần vật thể giới hạn bởi hai
mặt phẳng x = và 1 x =3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ x(1 thì được một thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và x 3) 3x2−2?
Trang 9Ví dụ 15: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017] Gọi V là thể tích khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y= x y= x= quanh trục Ox Đường thẳng x=a(0 a 4)
cắt đồ thị hàm số y = x tại M (hình vẽ bên) Gọi V1 là thể tích
khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox
V =xdx= V =
Gọi N là giao điểm của đường thẳng x= và trục hoành Khi đó a
1
V là thể tích tạo được khi xoay hai tam giác OMN và MNH
quanh trục Ox với N là hình chiếu của M trên OH
Trang 10Ví dụ 16: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một
cái ly như hình vẽ dưới đây: Người ta đo được đường kính của
miệng ly là 4 cm và chiều cao là 6cm Biết rằng thiết diện của
chiếc ly cắt bởi mặt phẳng qua trục đối xứng là một parabol Tính
Ví dụ 17: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt
nằm ngang và đặt trong một hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang Ban đầu lượng cát dồn
hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng
4
3chiều cao của bên
đó (xem hình) Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2,90 cm3/ phút Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8 cm (xem hình) Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Trang 11Khi đó mặt cắt là một hình tròn có bán kính là x nên diện tích hình tròn là 2 2
x R
S t = = Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình của parabol ( )P là y=ax2+bx+c
Vì ( )P đi qua điểm O( ) ( ) (0;0 , A 4; 4 , B 4; 4− )
Nên phương trình ( )P :
2 2
Trang 12Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào:
410163
22
2 2
2
x x
x R
x x
nông dân dùng cưa để cắt theo mặt cắt đi qua một điểm trên
đường sinh cách đáy 1 dm và đi qua đường kính của đáy
(như hình vẽ) để được một "khối nêm” Giúp bác nông dân
tính thể tích của "khối nêm” đó ?
cắt khúc gỗ bé theo thiết diện có diện tích là S x (xem hình) ( )
Dễ thấy NP= y và MN=NPtan= 9−x2tan
2
1
2
x PN
Trang 13Ví dụ 20: [Đề thi chuyên Đại học Vinh 2017] Bạn A có
một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc
là 6 cm, chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một
lượng nước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước
chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính
đáy Tính thể tích lượng nước trong cốc
Trang 14BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên đoạn [ ]a; Gọi b D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ),
y f x= trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b= , = ( < ) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay
D quanh trục hoành được tính theo công thức
Câu 2: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi
đồ thị hàm số y f x= ( ), trục Ox và hai đường thẳng x a x b a b= , = ( < ), xung quanh trục Ox
Câu 3: Cho ( )H là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường x a x b a b= , = ( < ) và đồ thị của hai hàm
sốy f x y g x= ( ), = ( ) Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay ( )H quanh Ox Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Trang 15Câu 6: Thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị của parabol ( )P y x: = 2
và đường thẳng d: =y 2x quay xung quanh trục Ox được xác định bằng công thức nào sau đây?
Câu 7: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y = và x2 y = x Khối tròn xoay tạo ra khi ( )H
quay quanh Ox có thể tích V được xác định bằng công thức nào?
Câu 9: Hình phẳng ( )H giới hạn bởi đường parabol ( )P :y=x2+1, trục tung và tiếp tuyến với ( )P tại
điểm M( )1;2 khi quay quanh trục Ox Công thức nào sau đây sử dụng để tính thể tích V của hình ( )H ?
Trang 16Câu 10: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x =1 và x =3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(1≤ ≤x 3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x − 2 2.
Câu 15: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng 0, ;
2
x= x=π biết rằng thiết diện của vật thể cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 0
Trang 17Câu 16: Tính thể tích V của khối tròn xoay trong không gian Oxyz, giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0, x=π
và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm (x;0;0) bất kỳ là đường tròn bán kính
x
sin
Câu 17: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x =0 và x =2, biết rằng thiết diện của vật thể
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0≤ ≤x 2) là một nửa hình tròn đường kính 5x 2
A V =8 5 π B V =2 5 C V =4 π D V =4 5 π
Câu 18: Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x =1 và x =4 biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1≤ ≤x 4) thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 2 x
Câu 20: Hình ( )H giới hạn bởi y x= 2−4x+4, y=0, x=0, x=1 quay xung quanh trục Ox Tính thể tích V
của khối tròn xoay tạo thành
Trang 18Câu 23: Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi y= e y x, =0, x=0,x=1 Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được sinh ra khi ta quay hình ( )H quanh trục Ox.
Câu 26: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y= x−1, trục
hoành và x =4 Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay
Câu 27: (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh 2017) Trong không gian với
hệ tọa độ Oxyz, cho vật thể ( )H giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x a= và x b a b= ( < ) Gọi ( )
S x là diện tích thiết diện của ( )H bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
với a≤x≤b Giả sử hàm số y S x= ( ) liên tục trên [ ]a b Thể tích ; V của vật thể ( )H được xác định bởi
Trang 192 0
Câu 29: Cho hai hàm số y f x= 1( ) và y f x= 2( ) liên tục trên đoạn [ ]a; và có đồ thị như hình vẽ bên Gọi b
S là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng x a x b= , = Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay S quanh trục Ox được tính
bởi công thức nào sau đây?
V =π∫f x − f x dx
Câu 30: Nêu công thức tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình
vẽ) xung quanh trục hoành Ox
Câu 31: Nêu công thức tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc
của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox
Trang 20Câu 32: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay
hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành
Câu 33: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình
phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox
y= x y= x= x k= với k >1 như hình vẽ Gọi V là thể tích k
khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H quanh trục Ox Biết rằng
Câu 35: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình
phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox
A V =2 π
B V e= π
C V = +(e 1 )π
D V =π
Câu 36: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay
hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox
Trang 21Câu 37: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình
phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox
A 24 π B 27 π
C 25 π D 26 π
Câu 38: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình
phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox
Câu 40: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi
quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh
trục hoành Ox
Trang 22Câu 41: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay
hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục hoành Ox
Câu 42: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi
quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục
Câu 43: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phân gạch sọc của hình vẽ)
xung quanh trục hoành Ox
A V =11 π
Trang 23Câu 45: Ký hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y= (x−1)e x2 − 2x, y=0, x=2 Tính thể tích
V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh Ox
A (2 3)
.2
e V
e
π −
.2
e V
e
.2
e V
Câu 48: Cho hình ( )H giới hạn bởi các đường y=xlnx,
trục hoành và đường thẳng x e= Tính thể tích khối tròn
Trang 24xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trục Ox.
A (5 3 2)
.25
e
B (5 3 2)
.27
e
C (5 3 2)
.25
e
D (5 3 2)
.27
−
= , trục Ox và đường thẳng x =1.Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh trục Ox
Trang 25Câu 58: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=3 ,x y x x= , =0, x=1 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng
A 8
3π B 4
3π C 2
Trang 26LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Thể tích khối tròn xoay cần tính là b 2( )
Câu 9: Ta có y'=x2+ 1 →y' 1 2( )= nên phương trình tiếp tuyến của ( )P là y=2 x
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và d là x2+ =1 2x⇔ =x 1
Trang 27Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là 1 ( 2 )2 2
Trang 28Câu 17: Bán kính đường tròn
2
52
2
x d
Trang 30Câu 35: Thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung
0
x
x x
x x
x x
x x
Thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục
3
3
x x
3
x
x x
x x x x
Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành là:
25
x
x x
x x x
Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành là: 2 ( 2)2 ( )2
Trang 31Câu 40: Lấy đối xứng đường thẳng y=− x+2 qua trục Ox ta được đường thẳng y= x+2
=+
1
22
2
x
x x
x Thể tích khối tròn xoay tạo thành là
1
x
x x
k k
Trang 32Câu 45: Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và Ox là (x−1)e x2 − 2x = ⇔ =0 x 1.
5 2.ln
2 2 0
6
5
V =π∫ x − x dx= π Chọn D
Trang 33Câu 52: Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và Ox là 2 0 0.
2 0
4ln