PHÂN LOẠI BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂNI.
Trang 1PHÂN LOẠI BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.(y= f ( x ), y g( x )= liên tục trên đoạn [ ]a;b )
1 Diện tích S của miền giới hạn 1 0
y f ( x )
x a; x b
=
là =∫b ( )
a
S f x dx
2 Diện tích S của miền giới hạn 2
y f ( x )
D : y g( x )
x a; x b
=
=
là =∫b ( )− ( )
a
S f x g x dx
3 Diện tích S của miền giới hạn 3
x f ( y )
D : x g( y )
y a; y b
=
=
là =b∫ ( )− ( )
a
S f y g y dy
II THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY.(y= f ( x ), y g( x )= liên tục trên đoạn [ ]a;b )
1.Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn 1 0
y f ( x )
x a; x b
=
quanh Ox một vòng là : 2( )
b
a
V = π∫ f x dx.
2 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn 2
y f ( x )
D : y g( x )
x a; x b
=
=
quanh Ox một vòng là : 2( ) 2( )
b
a
V = π∫ f x −g x dx.
Chú ý:
+ Nếu f ( x ) không đổi dấu trên đoạn [ ]a;b thì =∫b ( ) = ∫b ( )
S f x dx f x dx .
+ Miền phẳng ( )
( )
4
y f ( x )
D : y g x
y h x
=
=
=
trong đó f ( x ) g( x )= có nghiệm x1,h( x ) g( x )= có nghiệm
3
x
f ( x ) h( x )= có nghiệm x2,( Giả sử x1 <x2 <x3)
Khi đó diện tích miền D4 là: 2 ( ) ( ) 3 ( ) ( )
x x
Trang 2IV.BÀI TẬP
Loại 1.Miền phẳng:
0
y f ( x )
y
x a; x b
=
hoặc 0
y f ( x ) y
x a
=
hoặc
0
y f ( x ) y
=
y f ( x )
y g( x )
x a; x b
=
=
hoặc
y f ( x )
y g( x )
x a
=
=
hoặc y f ( x )
y g( x )
=
=
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x= 2−2x−3,y=0,x=0,x=4 b) 3
y x= − x y , = , x= − , x=
c) ( ) 2
y= +x e , y= , x= , x= d) 2 3 0 0
2
y sin x cos x y= , = , x= , x=π
2
x
x
= = = = f)y x x= ( +1) (x−3), y=0
Bài 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y=2 1−x y2, =2 1( −x) b)
c) y x= 3−12 , x y x= 2 d) y= −1 1−x y x2, = 2
e) y x y= , = −2 x2 f) = 4− 2, = 2
g) y= − 4−x x2, 2+3y=0 h) y= −4 4 ,y y2 = −1 x4
Loại 2: Miền phẳng
( ) ( ) ( )
y f x
D y g x
y h x
:
=
=
=
Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
−
2
x b) y= x y, = −2 x y, =0
c) = 2+3 −3 , =
y x x y x d) y= −8 3x−2 ,x y2 = +2 9x−2 ,x y x2 = +10
e) y x= 2−4 ,x y= 2x− +7 1,x= −1;x=2 f) y x= 2−4x+3 ,y= − +x 3
27
x
x
= = = h) y=2 ,x y x2 = 2−4x−4,y=8
i) y2=2 , 2x x+2y+ =1 0,y=0 k) y= − +x2 6x−5, y= − +x2 4x−3, y=3x−15 l) y x y= , = −2 x2 m) y x= 2−4x+3 ,y x= +3
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) ( ) :C y x= 3+3x2+3x+1, tiếp tuyến với (C) tại A(0; 1)
−
1
x
x , tiếp tuyến với (C) tại A(-2; 1).
Trang 3c) ( ) :P y x= 2−4x+5 và hai tiếp tuyến với (P) tại A(1;2) và B(4;5).
+
( ) :
1
C y
x , trục Ox và tiếp tuyến của (C ) vẽ từ O.
Loại 3: Tính thể tích vật thể
Bài 1. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: a) y=cos2 ,x y=0,x=0,x= π b) 2 − 2 =1, =0,
x y y tiếp tuyến với (H) tại A(2;-1)
c) sin6 cos ,6 0, 0,
2
+
2
1
x
x
e) y x x y= ln , =0,x=1, x e= f) x2+ −(y 2)2≤1
g) y2= −(4 x)3,y2 =4x h) y= − +x2 4 ,x y x= +2
i) y= −1 1, 0, 2y= y= x
2
Bài 2. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Oy: a) y= 2x x y− 2 , =0,x=3 b) y=(2x+1)13,y=3,x=0
c) y=ln ,x y=0,x e= d) x y= 2+3,x=4y
Bài 3. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục O a) y= x−1,y=1,x=1
1
x
e) y cosx ,y=0, x=0,x=
4
π
2
1
x
y x e y x x h) y2 =x y3, =0,x=1
y e y= , = , x= , x= k) y=2 2x x y− 2, = −4 2x
l) y=2 ,x y x2 = 3 m) (x−2) (2+ −y 3)2 =1