Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.[r]
Trang 1PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức)
a) 25x2 - 10xy + y2 b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
c) 81x2 – 64y2 d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2
e) a2 b2 52 4ab22
f) (a+ b+c )3−a3−b3− c3 ( Dùng hằng đẳng thức số 3) ( Dùng hằng đẳng thức số 6 và 7)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử)
a) 2 x3 3 x2 2 x 3 b) x z x yz x z3 2 2 2 xyz2
c) x2y + xy2 – x – y d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 f) x3 + 3x2y+ x + 3xy2 + y + y3
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử)
a) x2 - 6x + 8 b) x2 – 8x + 12
c) a b c2 b c a2 c a b2 d) x3 – 7x – 6
( Tách c - a = c - b + b - a) ( Tách - 7x = -4x - 3x )
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử )
a) x4 + 4 b) a4 + 64
c) x5 + x + 1 d) x5 + x - 1
Bài 4 * : Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)
Bài giải mẫu : (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) – 12
Đặt: x2 + x + 1 = y , ta có x2 + x + 2 = y + 1
Ta có: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12 = y2 – 9 + y – 3 = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 4)
Thay x2 + x + 1 = y , ta được :
(x2 + x + 1 – 3)( x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5)
= [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5)
a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phối hợp nhiều phương pháp )
a) x2 + 4xy + 3y2 b) 2x2 - 5xy + 2y2 ( Tách -5xy = -4xx - xy) c) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) d) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm)
Định lí ( Bedu) : Dư trong phép chia f(x) cho x - a bằng số a.
Suy ra : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0 Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a
và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
Bài giải mẫu : Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 thành nhân tử
Với x = -1 ( Dùng MTBT để tìm 1 nghiệm)
Ta có : (-1)3 - 5.(-1)2 + 3.(-1) + 9 = -1 - 5 -3 + 9 = 0 Vậy x = -1 là một nghiệm của
đa thức nên đa thức chia hết cho x - (-1) = x + 1
Từ cơ sở trên, ta phân tích đa thức thành :
x3 – 5x2 + 3x + 9 = x3 + x2 – 6x2 - 6x + 9x + 9 ( Để làm xuất hiên nhân tử x + 1)
= ( x3 + x2) – ( 6x2 + 6x) + ( 9x + 9 ) = x2( x + 1) - 6x( x + 1) + 9( x + 1)
= (x + 1)( x2 - 6x + 9) = ( x + 1)( x - 3)2
a) x2 – 7x + 10 b) 4 x2 – 3x – 1
c) x2 x 12 d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
e) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b) f) x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz
Trang 2( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm và hoán vị vòng)
Bài giải mẫu : Phân tích đa thức a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) thành nhân tử Xem đa thức với ẩn a Thay a = b Ta có :
b(b2 – c2) – b(b2 – c2) + c(b2 – b2) = 0 Vậy a = b là một nghiệm của đa thức
nên đa thức chia hết cho a - b
Mặt khác: a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) nên vai trò của a, b và c là như nhau, suy ra đa thức cũng chia hết cho b - c; c -a + Bậc của đa thức đã cho bằng 3
Suy ra : a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = k(a-b)(b-c)(c-a) Với k Z
Cho a = 0; b = 1; c = 2 Ta có :
0 1 2 22 1 0 2 22 2 0 2 12 k0 1 1 2 2 0
2 = 2k k 1 Vậy a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = (a-b)(b-c)(c-a)
a) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 b) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) d) bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
BÀI TẬP VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Tìm x , biết :
a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0 b) 5x(x – 3) + 3 – x = 0
c) (5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2 d) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0
Bài 2: Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với mọi n Z
Bài 3: Cho a, b , c thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 4: Chứng minh rẳng :
a) 2 154n b) 55 n+1 – 55 2 chia hết cho 54
Bài 5: Cho x + y = -3 và x.y = -28 Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.
Bài 6: a) Cho a2 b2 c2 3 2a b c Chứng minh : a = b = c = 1.
b) Cho a b c 2 3ab ac bc Chứng minh : a = b = c ( nhân 2 vế cho 2)
Chuyển về dạng bình phương của tổng hoặc hiệu
Bài 7:
a) Cho a +b +c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị của : a4 + b4 + c4
b) Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện : x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0
Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2011 + (y - 1)2012 + (z +1)2013
Bài 8: Chứng minh rằng:
a) a2+b2+c2+d2≥ ab+ac +ad b) a2+4 b2+4 c2≥ 4 ab − 4 ac+ 8 bc
Bài 9: Chứng minh rằng:
Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z 3 = 3xyz
Bài 10: Chứng minh : a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc
( Viết về dạng bình phương của một tổng)
Trang 3ĐÁP ÁN
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng hằng đẳng thức)
a) 25x2 - 10xy + y2 = ( 5x - y)2
b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = ( 2x + 3y)2
c) 81x2 – 64y2 = (9x)2 - (8y)2 = ( 9x + 8y)(9x - 8y)
d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 = xy 4 2x2y xy 4 2x 2y
e) a2 b2 52 4ab22
= a2b2 52 2ab22
a b2 3 2 a b2 1 2 a b 3 a b 3 a b 1 a b 1
f) (a+ b+c )3−a3−b3− c3 = a b c 3 a3 b3c3
= a b c a a b c 2a b c a a 2 b c b 2 bc c 2
= b c a 2 b2 c2 2ab 2bc 2ac a 2 ab ac a 2 b2 bc c 2
= b c 3a2 3ab 3bc 3ac
= b c 3a a b 3b a b
= 3 a b b c a c
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử)
a) 2 x3 3 x2 2 x 3 = 2x3 2x 3x2 3 2x x 21 3x2 1
x2 1 2 x 3
b) x z x yz x z3 2 2 2 xyz2 xz x 2 xy xz yz
= xz x 2 xz xy yz
xz x x z y x z = xz x z x y
c) x2y + xy2 – x – y = x y xy2 2 x y xy x y x y = x y xy 1
d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
8xy3 24y2 5xyz 15z 8y xy2 3 5z xy 3
e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 x3 3x y2 3xy2 y3 x y x y 3 x y
= x y x 2 xy y 2 1
f) x3 + 3x2y+ x + 3xy2 + y + y3 x y 3x y x y x 2 xy y 2 1
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử)
a) x2 - 6x + 8 = x2 2x 4x 8 x x 2 4x 2 x 2 x 4
b) x2 – 8x + 12 = x 2 x 6
c) a b c2 b c a2 c a b2 a b c2 b c b b a2 c a b2
a b a b b c a b b c b c
a b b c a c
Trang 4– 7x – 6 = =
x 2 x2 2x 3
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử )
a) x4 + 4 x4 4x2 4 4x2 ( Thêm bớt hạng tử 4x2 )
= x2 22 2x2 x2 2x2 x2 2x2 b) a4 + 64 a4 16a2 64 16 a2 a4 16a2 64 16a2
a2 82 4a2 a2 4a 8 a2 4a 8
c) x5 + x + 1 x5 x2 x2 x 1 x x2 1 x2 x 1 x2 x 1
= x2 x 1 x3 x2 1
d) x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1)
Bài 4 * : Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)
a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 ( *) Đặt t = x2 + x Ta có :
(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 = t2 - 2t - 15 = ( t + 3)( t - 5)
( *) x2 x 3 x 2 x 5
b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6
Giải bài 3:
Cách 1 : Từ a + b + c = 0 a + b = - c (a + b)3 = (- c)3
a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3
a3 + b3 + c3 = 3abc
Cách 2 :a + b + c = 0 a + b = - c - ab(a + b) = abc
- a2b – ab2 = abc Tương tự : - b2c – bc2 = abc ; - c2a – ca2 = abc
Do đó : 3abc = - a2b – ab2 – b2c – bc2 – c2a – ca2
3abc = - a2(b + c) – b2(a + c) – c2(a + b)
3abc = - a2(-a) – b2(-b) – c2(-c) a3 + b3 + c3 = 3abc
Cách 3 :a + b + c = 0 a + b = - c - c2(a + b) = c3
-a2c – bc2 = c3
Tương tự : -ab2 – cb2 = b3 ; -ba2 – ca2 = a3
Do đó : -ab2 – cb2 – ab2 – cb2 – ba2 – ca2 = a3 + b3 + c3
- ac( c + a) – bc(c + b) – ab(b + a) = a3 + b3 + c3
-ac(-b) – bc(-a) – ab(-c) = a3 + b3 + c3 a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 8: Chứng minh rằng:
a) a2+b2+c2+d2≥ ab+ac +ad b) a2+4 b2+4 c2≥ 4 ab − 4 ac+ 8 bc
Gi
ả i a) Ta cã: a2b2c2d2 ab ac ad
Trang 52 2 2 2
¿(2a −b)2+(a2− c)2+(2a − d)2+a2
4 ≥ 0
⇒ a2
+b2
+c2
+d2≥ ab+ac+ad (®pcm)
b) Ta cã: a2
+4 b2
+4 c2− 4 ab+4 ac −8 bc=(a2− 4 ab+4 b2
)+4 c2
+(4 ac − 8 bc )
¿ ¿ ¿ ¿
⇒ a2
+4 b2
+4 c2≥ 4 ab − 4 ac +8 bc (®pcm)
Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z 3 = 3xyz
Từ x + y + z = 0 x + y = - z nên x3 + y3 + z 3 = x3 + y3 - ( x+ y) 3
= x3 + y3 - x3 - y3 - 3xy(x + y) = - 3xy(-z ) = 3xyz