§©y lµ hai líp cã rÊt nhiÒu häc sinh yÕu vµ trung b×nh, ®èi t−îng th−êng gÆp rÊt nhiÒu lóng tóng víi d¹ng bµi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.. Qu¸ tr×nh thùc hiÖn.[r]
Trang 1Phòng GD-ĐT Quốc Oai Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
đề tài sáng kiến kinh nghiệm
I Sơ yếu lý lịch
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Phú Cát-Quốc Oai-Hà Tây Chuyên ngành đào tạo: Toán-Tin
Bộ môn được phân công giảng dạy: Toán 8A+8B
II Nội dung đề tài
1 Tên đề tài: “Một số gợi ý trong phân tích đa thức thành nhân tử đối với học sinh lớp 8”
lớp các bài toán là một việc làm rất quan trọng Đặc biệt, đối với dạng bài có nhiều ứng dụng trong đại số như “ phân tích đa thức thành nhân tử” việc làm đó càng trở nên cần thiết
trình đại số 8, tôi nhận thấy học sinh (chủ yếu là các học sinh yếu và trung bình) gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài tập thuộc dạng này nếu chỉ dựa vào những gì SGK cung cấp Chính vì vậy, tôi đX suy nghĩ và mạnh dạn đưa ra một vài gợi ý cho các em trong khi sử dụng từng phương pháp cũng như áp dụng tổng hợp các phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân tôi trong khi giải các bài toán Và rất mừng là nó đX thu được những kết quả nhất định
- Đề tài này tôi thực hiện khi dạy các tiết 14, 15 trong chương trình đại số lớp 8, với nội dung là luyện tập giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử Trên cơ sở nội dung chính là các kiến thức trong SGK, ở mỗi phương pháp tôi
có đưa ra thêm một vài gợi mở dưới dạng các chú ý khi sử dụng phương pháp
đó
Đây là hai lớp có rất nhiều học sinh yếu và trung bình, đối tượng thường gặp rất nhiều lúng túng với dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử
III Quá trình thực hiện
pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm để phân tích đa thức
Trang 2thành nhân tử (các bài này tôi dạy các kiến thức đảm bảo như sách giáo viên đX hướng dẫn), tôi cho học sinh làm một bài kiểm tra 10’ với nội dung :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1 A = 8x3 + 1
2 B = x + y + xy+ y2
Kết quả như sau:( lớp 8A: 39 bài/ 39 học sinh, lớp 8B: 38 bài/38 học sinh ) Điểm
là biết cách phân tích, nhóm và tìm ra đáp số cuối cùng, còn đa phần các em không biết phải dùng phương pháp nào, nhóm các hạng tử nào với nhau, dùng hằng đẳng thức nào, có em nhóm được nhưng lại không biết đặt nhân tử chung của các nhóm Điều này cho thấy các em chưa tự hình thành được thuật toán để giải bài phân tích đa thức thành nhân tử qua các ví dụ và bài tập trong SGK Do
đó, người thầy cần phải chỉ ra con đường giúp các em đi đến kết quả của bài toán một cách tất yếu, nhanh và chính xác
a Mục đích của đề tài
dụng nhanh và chính xác các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử : đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm, trên cơ sở đó phối hợp tốt nhất các phương pháp để giải một bài toán thuộc dạng này
b Các bước tiến hành
Sau khi dạy các tiết 10, 11, 12, 13 cho kiểm tra và thu được kết quả như trên, tôi nhận thấy trong hai tiết luyện tập tiếp sau đó, cần phải hệ thống lại tất cả các phương pháp đX học và đưa ra những lưu ý cần thiết đối với mỗi phương pháp, nhằm giúp các em sử dụng chính xác và có hiệu quả các phương pháp đó, tránh những sai sót đáng tiếc trong khi làm bài tập
• Chú ý:
một hạng tử có hệ số là ±1 thì phần hệ số của đa thức đó không có nhân
tử chung
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
a A = 12x + 18y - 24z
b B = 25x + 75y - z
Hướng dẫn:
UCLN(12;18;24) = 6
Trang 3Hệ số của hạng tử thứ 3 bằng -1
Giải:
Ta có: A = 6.2x + 6.3y - 6.4z
= 6(2x + 3y - 4z)
B không phân tích được thành nhân tử
hạng) với số mũ nhỏ nhất là nhân tử chung
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
c C = x3 + x4 - x5
d D = xy3 + x2y - x3yz
Hướng dẫn
Trong đa thức C cả ba số hạng đều là đơn thức và có biến chung là x với số mũ nhỏ nhất là 3 nên nhân tử chung là x3
Tương tự, trong đa thức D nhân tử chung là xy
Giải:
Ta có: C = x3(1 + x - x2 )
D = xy(y2 + x - x2z)
cả các số hạng) với số mũ nhỏ nhất là nhân tử chung
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
e E = x(x+y) + 2(x+y)
f F = 2(x-y)2 - 4(x-y)
Hướng dẫn
Đa thức E có hai hạng tử mà mỗi hạng tử là một biểu thức có chứa cùng một đa thức là x+y với cùng số mũ là 1, do vậy có thể đặt (x+y) làm nhân tử chung
Tương tự ,đa thức F có nhân tử chung là 2(x-y)
Giải:
E = (x+y)(x+2)
F = 2(x-y)[(x-y)-2]
= 2(x-y)(x-y-2)
• Bài tập áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp
đặt nhân tử chung
a 15x + 25y
b x2y - xy2
c 24x5y3z - 8x2yz3
d 56x2y + 7x4 - 14xy
e x(2y+1) - 2(2y+1)
f x4(5y - z) - x2(5y - z)
g 36x2y(3y-2) + 12x(6y-4)
h x(4x + 2y)-2(2xy + y2)
• Chú ý:
a2 - b2 = (a+b)(a-b)
Trang 4a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab +b2)
a3 +b3 = (a+b)(a2 - ab +b2)
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng
đẳng thức:
a A = x2 - 25
b B = 27 + y3
c C = 8x3-1
Hướng dẫn
Ta nhận thấy rằng ba đa thức trên đều có hai hạng tử, đa thức A các hạng tử đều có số mũ chẵn nên ta tìm cách chuyển về dạng a2 - b2 để phân tích:
Đa thức thứ hai có số mũ lẻ và là tổng hai đơn thức nên ta tìm cách chuyển về dạng a3 +b3 để áp dụng:
Đa thức thứ ba có số mũ lẻ và là hiệu hai đơn thức nên ta tìm cách chuyển về dạng a3 - b3 để áp dụng:
Giải
Ta có: A = x2 - 52 = (x+5)(x-5)
B = 33 + y3 = (3+y)(9 - 3y +y2)
C = (2x)3- 13 = (2x-1)(4x2 +2x +1)
a2 + 2ab + b2 = (a+b)2
a2 - 2ab + b2 = (a-b)2
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng
đẳng thức:
d D = x2 - 4x + 4
e E = 25 + 20y + 4y2
Hướng dẫn
Hai đa thức trên đều có 3 số hạng, ta tìm cách biến đổi để áp dụng được hằng đẳng thức tương ứng, muốn vậy ta tìm cách đưa số hạng có bậc cao nhất và thấp nhất về dạng luỹ thừa bậc hai, rồi tách số hạng trung gian thành hai lần tích của cơ số có dạng luỹ thừa bậc hai vừa rồi, nếu được thì áp dụng hằng đẳng thức tương ứng là xong
Giải
Ta có: D = x2 - 2.x.2 + 22 = (x-2)2
E = 52 + 2.5.(2x) + (2x)2 = (5+2x)2
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a+b)3
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a- b)3
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng
đẳng thức:
f F = x3- 3x2 + 3x - 1
g G = 8 + 12y + 6y2 + y3
Trang 5Hướng dẫn
Tương tự cách làm với đa thức có hai số hạng ta cũng tìm cách đưa số hạng có bậc cao nhất và thấp nhất về dạng luỹ thừa bậc 3 rồi tách các số hạng trung gian thành 3a2b và 3ab2 tương ứng với các hằng đẳng thức
Giải
Ta có: F = x3- 3.x2.1 + 3.x.12 - 13 = (x-1)3
G = 23 + 3.22.y + 3.2.y2 + y3 = (2+y)3
• Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức:
a 9x2 + 30x +25
b 0.25x4 - 16y2
c 27x3 - a3b3
d 9x2y2-18xy + 1
e 8x3 + 60x2y +150xy2 + 12y3
f x3 - 9x2 + 27x - 27
• Chú ý:
nhân tử chung với nhóm khác hoặc sử dụng được hằng đẳng thức với nhóm khác Do đó sau khi nhóm mỗi nhóm phải:
Hoặc là đặt được nhân tử chung:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
A = 2x - 2y + x2 - xy
Hướng dẫn
Ta có nhiều cách nhóm khác nhau, chẳng hạn:
1) A = (2x - 2y) + (x2 - xy)
2) A = (2x + x2 ) +(- xy- 2y)
3) A = (2x - xy) + (-2y + x2)
Hai cách đầu đều cho kết quả là A = (x-y)(2+x)
Tuy nhiên cách thứ ba sẽ đưa ta vào bế tắc bởi nhóm 2 không có nhân tử chung với nhóm 1
Giải
Ta có: A = (2x - 2y) + (x2 - xy)
= 2(x - y) + x(x - y)
= (x-y)(2+x)
Hoặc là áp dụng được hằng đẳng thức:
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
B = x2 - 2xy + y2 -1
Hướng dẫn
Rõ ràng cách gộp hai hạng tử thành một nhóm là không hiệu quả bởi lẽ
nó không tạo ra nhân tử chung Song ta nhận thấy ba hạng tử đầu có vẻ quen thuộc, và cách nhóm này đX đem lại kết quả:
Giải
Ta có: B = (x2 - 2xy + y2 ) - 1
Trang 6= (x-y)2 - 12 = [(x-y)-1][(x-y)+1]
= (x-y-1)(x-y+1)
Hoặc chính là nhân tử chung của nhóm khác:
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
C = x3 - 2x2 + x -2
Hướng dẫn
Hiển nhiên ta có nhiều cách nhóm, trong đó có một cách nhóm là:
C = (x3 - 2x2 )+ (x - 2) Cách nhóm này có vẻ không hợp lý vì nó không dùng được hằng đẳng thức
mà nhóm thứ hai cũng không có nhân tử chung Tuy nhiên, nếu ta đặt nhân
tử chung của nhóm một xong, ta sẽ thấy khác:
Giải
Ta có: C = x2(x - 2 )+ (x - 2) = (x-2)( x2+1)
• Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
a x2 - y2 - 2yz - z2
b x3 - 2x2 - x + 2
c 8x2 + 4xy - 2ax - ay
d 1 - 2a + 2bc + a2 - b2 - c2
• Chú ý:
Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = 8x2 - 4xy - 8x - 2y + 2
Hướng dẫn
Đầu tiên ta dễ dàng nhận ra các hạng tử có nhân tử chung là 2, từ đó ta có:
A = 2(4x2 + 2xy - 4x - y + 1)
Sau khi đặt nhân tử chung ra, ta thấy rằng đa thức bên trong có năm số hạng không có nhân tử chung mà cũng không có hằng đẳng thức nào có dạng như vậy, do vậy ta nghĩ đến việc nhóm các hạng tử với nhau, rõ ràng việc nhóm hai số hạng với nhau là không được vì sẽ dư ra một hạng
tử, từ đó ta đem tách thành hai nhóm, một nhóm ba số hạng và một
hằng đẳng thức (2x-1)2, ta có thể thử các cách nhóm để đi tới kết quả
Giải
Ta có: A = 2[(4x2 - 4x + 1) +( 2xy - y)
= 2[(2x-1)2 + y(2x - 1)]
Trang 7= 2(2x-1)(2x-1+y)
• Bài tập áp dụng:
1 Tính nhanh:
2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a 4x2 + 8xy-3x-6y
b 2x2 + 2y2 - x2z + z - y2z - 2
c xy2- x3 - xz2 - 2xy + x - 2x2z
d 6x - 4x2 + 3y - 4xy + y2
3 Tìm x biết:
biến:
A = (x+y-z-t)2 - (z+t-x-y)2
B = (2n + 3)2 - 9
IV Kết quả thực hiện đề tài có so sánh đối chứng
Sau khi cung cấp cho học sinh một số chú ý khi sử dụng các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử kết hợp với các bài tập minh hoạ và củng cố trong các giờ luyện tập (tiết 14, 15), cuối tiết 15, tôi có ra một đề kiểm tra như sau cho học sinh hai lớp 8A, 8B:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1 A = 4x + 4y + x2 - y2
2 B = x2 - y2 + 2y - 1
Kết quả như sau:( lớp 8A: 39 bài/ 39 học sinh, lớp 8B: 38 bài/38 học sinh ) Điểm
Kết quả trên cho thấy, việc định hướng đối với mỗi bài toán, dạng toán đối với học sinh, đặc biệt là các em có lực học trung bình đX đem lại những kết quả nhất
định Điều này đX tạo cho tôi sự lạc quan, giúp tôi có thêm niềm tin để tích cực tìm tòi trong dạy học
V Bài học kinh nghiệm
Qua việc đưa ra một số chú ý trong giờ luyện tập về phân tích đa thức thành nhân tử (tiết 14, 15-đại số 8), với những kết quả nhất định Tôi cho rằng, đối với những dạng toán khó như phân tích đa thức thành nhân tử, việc định hướng tổng quát cho các em khi sử dụng các phương pháp là một việc làm hết sức cần thiết, nó không chỉ giúp học sinh tìm ra con đường đi đến kết quả cuối cùng của bài toán
mà còn giúp các em giải quyết bài toán đó một cách nhanh chóng Do đó, theo tôi, khi dạy hai tiết 14, 15 (đại số 8), hoặc tốt nhất là kết hợp ngay vào các bài về phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên nên đưa ra một số chú ý
Trang 8sau, kết hợp với việc lựa chọn bài tập nhằm giúp học sinh có kĩ năng tốt để giải các bài toán thuộc dạng này
• Chú ý:
một hạng tử có hệ số là ±1 thì phần hệ số của đa thức đó không có nhân
tử chung
hạng) với số mũ nhỏ nhất là nhân tử chung
cả các số hạng) với số mũ nhỏ nhất là nhân tử chung
• Chú ý:
• Chú ý:
tử chung với nhóm khác hoặc sử dụng được hằng đẳng thức với nhóm khác
Do đó sau khi nhóm mỗi nhóm phải:
Hoặc là đặt được nhân tử chung:
Hoặc là áp dụng được hằng đẳng thức:
Hoặc chính là nhân tử chung của nhóm khác:
• Chú ý:
Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
VI Phạm vi áp dụng
Là người thầy, việc chỉ ra con đường đúng đắn và chính xác giúp học sinh giải quyết các bài tập là một công việc cần thiết nhưng không phải dễ dàng, đặc biệt là
đối với môn toán, môn học mà hệ thống các bài tập vô cùng phong phú, việc làm
đó càng trở nên khó khăn Với những suy nghĩ còn rất hạn chế trên đây, tôi mong
có thể phần nào giúp các em học sinh tháo gỡ những trở ngại khi giải quyết các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình “ phổ thông”, tôi cũng
hy vọng nó có thể là tài liệu tham khảo để các bạn đồng nghiệp có thể dạy tốt hơn các bài về phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đại số
8, với đối tượng chủ yếu là những học sinh mà khả năng nhận thức và tư duy ở mức trung bình
VII Kiến nghị
Trang 9Tôi cho rằng, phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng bài cơ bản và rất quan trọng trong chương trình đại số phổ thông, vì vậy làm thế nào để học sinh có thể làm đúng, làm thành thạo các bài toán thuộc dạng này là trăn trở không chỉ của riêng tôi mà còn là câu hỏi lớn của rất nhiều thầy cô Do vậy tôi mong muốn, các cơ quan chuyên môn có thể phát động một cuộc thi nhằm huy động trí tuệ của
đông đảo các nhà giáo tâm huyết về lĩnh vực này
Do trình độ của bản thân còn nhiều yếu kém, nên những ý kiến của tôi đưa ra trên đây không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tôi rất mong nhận được ý kiến góp ý chân tình của Hội đồng khoa học và các bạn đồng nghiệp, giúp tôi có thêm những kiến thức quý báu, phục vụ ngày một tốt hơn sự nghiệp giáo dục đào tạo của địa phương
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Tài liệu tham khảo:
1 Sách giáo khoa Đại số 8
2 Để học tốt Đại số 8 ( Hoàng Chúng - chủ biên)
3 Phương pháp giải toán cấp II
Quốc Oai, ngày 13 tháng 04 năm 2004
Hà Danh Hưng