Phuong trinh luong giac LTDH

Chuyên đề phương trình lượng giác PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A... Chuyên đề phương trình lượng giác..[r]

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A Một số công thức lượng giác

1.Công thức cơ bản:

tan sin

cos

x x

x









x k

2

cos cot

sin

x x

x

 xk tanx.cotx =sin2cos2=1

2

2

1

1 tan

cos

x

x









x k

2

2

2

1

1 cot

sin

x

x

  xk

sin cos 2 sin 2 cos

x x x  x 

x x x   x 

sin4xcos4x 1 2sin2xcos2x

sin6xcos6x13sin2xcos2x

a.Cung đối:

cos(-x) = cosx sin(-x) = -sinx tan(-x)= -tanx cot(-x)= -cotx

b.Cung bù

sin( )sin cos( )cos

tan( )tan cot( )cot

c.Cung hơn kém 





cos(   sin( )sin





tan(   cot( )cot

d.Cung phụ

x

x sin 2









 

2









 

x

x cot 2









 

2









 

e.Cung hơn kém

2



x

x cos 2









2

cos 









x

x cot 2

tan 









2

cot 









 

2.Công thức cộng

sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny sin(x – y) = sinx cosy – cosx siny

cos(x + y) = cosx cosy – sinx siny cos(x – y) = cosx cosy + sinx siny

 

y x

y x

y x

tan tan 1

tan tan

tan







2

x y x y  k k

 

y x

y x

y x

tan tan 1

tan tan

tan







2

x y x y  k k

3.Công thức nhân đôi

sin 2x2sin cosx x

cos2x = cos2xsin2x2cos2x112sin2x

x

x

tan 1

tan 2 2 tan











k k a

2 2

;  

x

x x

cot 2

1 cot 2

cot



Đặt   2

2 tanx x k

t

t

1

2 sin





t

t

2

1

1 cos







t

t

1

2 tan





4.Công thức hạ bậc

2

2 cos 1 sin2 x  x

2

2 cos 1 cos2 x  x

x

x x

2 cos 1

2 cos 1 tan2













k k



4

3 sin sin 3 sin3 x x x

4

3 cos cos

3 cos3x x x

5.Công thức biến đổi tích thành tổng

y

x  cos  cos 

2

1 sin

sin

y

x  sin  sin 

2

1 cos sin

y

x  cos  cos 

2

1 cos cos

6.Công thức biến đổi tổng thành tích

2

cos 2 sin 2 sin sinx y xy xy

2

sin 2 cos 2 sin





2

cos 2 cos 2 cos cosx y xy xy

2

sin 2 sin 2 cos







 

y x

y x y

x

cos cos

sin tan











k k b

2

;  

 

y x

y x y

x

cos cos

sin tan











k k b

2

 

y x

y x y

x

sin sin

sin cot

y x

x y y

x

sin sin

sin cot

7.Công thức nhân ba

x x

x 3sin 4sin3 3

sin   cos3x4cos3x3cosx

3 2

3 tan tan tan 3

3 tan 1

x

x







B Phương trình lượng giác

+)s inx s

2



 



   





 ( kZ)

2



 



    



+)t anxtan  x  k ( kZ )

+)cotxcot   x  k (kZ)

Tập giá trị của hàm sin va cos là 1;1

I) Phương trình bậc 2 một ẩn đối với 1 hàm lượng giác:

Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2sin2 x2sinx 5 0 b)2cos2 x3cosx 1 0

c) 4cos 4x10sin 2x 7 0 d)2sin 32 x (4 2)sin 3x2 20

e) cos2xsinx 1 0  f) 4cos2 x( 3 1) cos x 30

g)2cos2 x3cosx 1 0 h) cos4x7 cos 2x 7 0

i) 3sin2x7 cosx 7 0 j) 5sin2x4sinx 1 0

k) cos2x3cosx 4 0 l) 4cos2 x( 3 1) cos x 30

Bài 2 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) tan 22 x (1 3) tan 2x 30 b) 32 4 tan 2 0

cos x x  c) 3tan2x2 tanx 2 0 d) 3 cot2x4cotx 30

e) 3 tan 2 3 tan 5 0

2

x x  f) 2

cot xcotx 1 0

II) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Bài 3 Giải phương trình lượng giác sau:

a) s inx+ 3 cosx1 b) 3 s in3x+cos3x 2

c) 3 sinx cos x 2 0 d) 3sinx 1 4sin3x 3 os3c x

e) 2sin 4x3cos 2x16sin3x.cosx 5 0 f) 5sinx9cosx5

) os7 3 sin 7 2

2 6

5 7

 

2 sin 2

3

x

i) cos7 os5x c x 3 sin 2x 1 sin 7 sin 5x x

j) 2 2(sinx cos ) cos x x 3 cos2x

Bài 4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

a) m.sin 3x(m1) os3c x5

b) sin2 1sin 2 3cos2 4

2

m

Bài 5 Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau:

a) 1 cos

s inx cos 2

x y

x





  b)

3sin 2 cos 7 2sin 3cos 5

y



III) Phương trình bậc cao đối với sinx, cosx

Bài 6 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 4 4

sin x c os xcos2x b) 4 4 1

sin sin ( )

c) sin6 os6 1sin 22

4

x c x x d) sin6 os6 5(sin4 os )4

4

x c x x c x

16

x c x c x

sin 4xcos sin 3x xsin x c os3x f) 3 3 2

os os3 sin 3 sin

4

c x c x x x

g) sin3x c os3x c os sin 33x xsin 43 x h) sin3 cos 1 os s inx3

4

x x c x

IV) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

Phương trình lượng giác mà chỉ gồm 2 biểu thức lượng giác :

sinx cos x và s inx.cos x thì ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ:

Đặt tsinx cos x , t  2 s inx.cos 2 1

2

t

Bài 7 Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx cos ) sinx.cos x  x1 b) (1 s inx.cos )(s inx cos ) 2

2

c) sin3 os3 2

2

x c x d) 1 sin3 os3 3sin 2

2

e) 2sin 2x2(sinx cos ) 1 0 x   f) sinx.cosx2(sinx cos ) x 2

g) 4 2(s inx cos ) 3sin 2 x  x 11 0 h) (sinx cos ) x 3sinx.cosx 1 0 i) cos3xsin3xcos2x j) 1 t anx 2 2 sinx

k) s inx cos 1 1 10

s inx cos 3

x

x

    l) sin 2 2 sin( ) 1

4

x x 

m) s inx cos x 4sin 2x1 n) s inx cos 2 3 1 s inx.cos

3

Bài 8 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3(t anxcot )x 4 b) 2(s inx cos ) x t anx cot x

c) 2(2 sin 2 ) x 3(t anx cot ) x d) tan 2xcotx8cos2x

e) cotxt anx2 tan 2x f) t anx cot x2(sin 2x c os2 )x

h) tan2xt anx.tan 3x2 i) 2 tan cot 3 2

s inx

x x 

j) 3( 12 12 ) 12 2 3(t anx-cotx)

sin xcos x  

k)

(t anx cot )

x c x

x x



V) Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

Bài 9 Giải các phương trình sau:

a) 6sin2x3sin cosx x c os2x1 b) sin2x4sin cosx x1

c) sin2x2sin cosx x3cos2x 3 0 d) 4sin 6 cos 1

cos

x

e) 4 3 s inx.cos 4 cos2 2sin2 5

2

x x x f) 3sin2x4sin 2x4cos2 x3

Bài 10 Giải các phương trình sau:

a)4sin3x3cos3x3sinxsin2x.cosx0

b) cos3xsinx-3sin cos2x x0

c) cos3x4sin3x3cos sinx 2xsinx0

d) 4cos3x2sin3x3sinx0

e) sin2x(t anx 1) 3sin (cosx xsinx) 3 f) 2cos3xsin 3x

g) 1 3sin 2 x2 tanx h) 2 sin (3 ) 2sin

4

x  x

i) 2sin 2 3 cos 3 1

cos s inx

x

  

j) 6sin 2 cos3 5sin 4 cos

2 cos 2

x x

x

VI) Phương trình lượng giác đưa về dạng tích:

Bài 11 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx sin 2 xsin 3xsin 4x0 b) cosx c os2x c os3x c os4x0

c) cos2x c os8x c os6x1 d) cos3x c os2x2sinx 2 0

e) (2sinx1)(2cos 2x2sinx  1) 3 4cos2 x

f) sin 4xt anx g) sinx sin 3 x4cos3x0 h) 1 sinx cos  xsin 2x c os2x0

i) sinx sin 2 xsin 3x 1 cosx c os2x

j) 3

2cos x c os2xsinx0 k) cosx c os3x2cos5x0

sinx sin x c os x0

m) (cosxsinx) cos sinxx cos os2x c x

n) 4cos3x3 2 sin 2x8cosx

o) os4 sin4 sin 2

c   x p) 2 2 sin( ) 1 1

4 cos s inx

x

x



Bài 12 Giải các phương trình sau:

a) sin 3 sin 5

x  x b) sin 5 1

5sin

x

x c) sin2xsin 32 xcos 22 x1 d) os2 os 22 os 32 3

2

c x c x c x

e) os2 os 22 os 32 os 42 3

2

c x c x c x c x f) sin2xcos 22 x c os 32 x

g)

4

sin 2 os 2

os 2 tan( ).tan( )

      h) cosxtan2x1

i) sin4 sin (4 ) sin (4 ) 9

x x  x 

j) 2sin 3 1 2 cos 3 1

x

k) cos2x 5 2(2 cos )(sinx cos ) x  x

l) t anx 3cot x4(s inx 3 cos )x

m) cos os os3 s inx.sin sin3 1

n) (s inx 3 cos )sin 3x x2

VII) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá, đưa về tổng bình

Phương

Bài 13 Giải phương trình lượng giác sau:

a) sin3x c os4x1 b) sin2011x c os2012x1

c) sin2010x c os2010x1 d) cos4xsin4x cosx s inx

e) cos 42 x c os 82 xsin 122 xsin 162 x2 f) 8sin sin 2 os3x x c x1 g) cos2x c os6x4(3sinx4sin3x 1) 0 h) cos cos os( ) 3

2

x y c xy 

tan xtan ycot (xy) 1 j) 8cos os2 os3x c x c x 1 0

Bài 14 Giải phương trình sau:

a) cos2x c os6x4(3sinx4sin3x 1) 0 b) cos cos os( ) 3

2

x y c xy 

c) 3 sin2x-2sin2x4cosx 6 0

d) 2sin 2x c os2x2 2 sinx 4 0 e) tan2xtan2 ycot (2 xy) 1

f) cos os3 os4 3

2

x c x c x g) 8cos os2 os3x c x c x 1 0

VII Phương trình lượng giác có điều kiện

Bài 15 Giải các phương trình sau:

a)

2

2

os2 tan

os

c x c x

c x

  b) cos3 tan 5x xsin 7x

c) s inx sin 2 sin 3 3

cos os2 os3

  d) t anxtan 2xtan 3x0

e)

sin os

1 s inx

c



cosxsin 2xsin 4x g) 8sin 3 1

cos s inx

x

x

h) cos 1 s inx 1 10

x

x

1 s inx

x



 j) 6sin 2 cos3 5.sin 4 cos

2 cos 2

x

os2

2 cos s inx

x c x

c x x



l) 2 tan cot 2 2sin 2 1

sin 2

x

   m) 2sinxcotx2sin 2x1

VIII Phương trình lượng giác trong một số đề thi ĐH

3

sin

2

x x

x



(ĐH A-2008)

2 sin3x 3 cos3xsin cosx 2x 3 sin2x.cosx (DH B-2008)

3 2sinx1 cos 2 xsin 2x 1 2cosx (ĐH D-2008)

1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin 2x (ĐH A - 2007)

5 2

2sin 2xsin 7x 1 sinx (ĐH B - 2007)

6

2

x

7  6 6 

2 cos sin sin cos

0

2 2sin

x



8 cot sin 1 tan tan 4

2

x

x x  x 

9 cos3xcos 2xcosx 1 0 (ĐH D - 2006)

10 cos 3 cos 22 x xcos2x0 (ĐH A - 2005)

11 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0 (ĐH B - 2005)

12 cos4 sin4 cos sin 3 3 0

x x x   x  

13 Tam giác ABC không tù thỏa mãn đk: cos 2x2 2 cos BcosC3

Tính các góc của tam giác (ĐH A - 2004)

5sinx 2 3 1 sin x tan x (ĐH B - 2004)

15 2cosx1 2sin xcosxsin 2xsinx (ĐH D - 2004)

16 cot 1 cos 2 sin2 1sin 2

x

x

17 cot tan 4sin 2 2

sin 2

x

18 sin2 tan2 cos2 0

x



19 Tìm các nghiệm thuộc (0;2π) của pt: 5 sin cos 3 sin 3 cos 2 3

1 2sin 2

x



(ĐH A - 2002)

20 sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x (ĐH B - 2002)

21 cos3x4cos 2x3cosx 4 0 (ĐH D - 2002)

22 sin 2 sin 1 1 2 cot 2

2sin sin 2

2cos x2 3 sin cosx x 1 3 sinx 3 cosx

     

25 sin 2 cos 2 tan cot

cos sin

26 2 2 sin cos 1

12

27

cot 2

x

28

2 4

4

(2 sin 2 ) sin 3

cos

x

x



 

29 Cho phương trình 2sin cos 1

sin 2 cos 3

m

  (m là tham số)

a Giải phương trình với m = 1

3

b Tìm m để pt có nghiệm

30 12 sin

8cos x  x

31

2 3 cos 2sin

2 4

1

2 cos 1

x x

x





 CHÚC CÁC EM THI TỐT TRONG KÌ THI ĐH 2012 