TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Công thức lượng giác: a Công thức cơ bản: 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 1, tan , cot cos sin 1 1 1 tan , 1 cot cos sin a a a a a a a a a a a a b Công thức nhân đôi: 2 2 2 2 2 sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin 2 tan tan 2 1 tan a a a a a a a a a a a c Công thức nhân ba: 3 sin 3 3sin 4sin a a a 3 cos 3 4 cos 3cos a a a d Công thức hạ bậc: 2 2 3 3 1 1 1 cos 1 cos 2 ; sin 1 cos 2 ; sin .cos sin 2 2 2 2 1 1 cos 3cos cos 3 , sin 3sin sin 3 4 4 a a a a a a a a a a a a a e Công thức tổng thành tích: cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2 sin cos 2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b f Công thức tích thành tổng: 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 1 cos .sin sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 2 g Đặt tan 2 a t thì 2 2 2 2 1 sin , cos 1 1 t t a a t t Một số hằng đẳng thức lượng giác phải thuộc: sin cos 2 sin 4 a a a sin cos 2 cos 4 a a a 2 1 sin 2 sin cos , a a a 2 1 sin 2 sin cos a a a 3 3 sin cos sin cos 1 sin cos a a a a a a , 3 3 sin cos sin cos 1 sin cos a a a a a a 4 4 cos sin cos 2 a a a 4 4 2 2 2 1 sin cos 1 2sin cos 1 sin 2 2 a a a a a 6 6 2 2 2 3 sin cos 1 3sin cos 1 sin 2 4 a a a a a . 2 Cung liên kết a Cung đối nhau: cos đối b Cung bù nhau: sin bù c Cung khác 2 cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot a a a a a a a a sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot a a a a a a a a sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos tan( 2 ) tan cot( 2 ) cot a a a a a a a a d Cung khác : hơn kém pi tan e Cung phụ nhau: phụ chéo sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot a a a a a a a a sin cos ; cos sin 2 2 tan cot ; cot tan 2 2 a a a a a a a a 3 Phương trình lượng giác mẫu mực a Phương trình cơ bản 2 sin sin 2 u v k u v u v k cos cos 2 u v u v k tan tan u v u v k cot cot u v u v k b Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Dạng: sin cos a x b x c . Đi ều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2 a b c . Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 2 2 a b rồi đặt: 2 2 cos a a b ; 2 2 sin b a b . Đưa phương trình về dạng: cos sin sin cos sin sin( ) sin x x x . c Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 3 Dạng: 2 2 sin sin cos cos a x b x x c x d . Nếu cos 0 x . Thế vào phương trình thử nghiệm. Nếu cos 0 x . Chia 2 vế phương trình cho 2 cos x rồi giải phương trình bậc 2 đối với tan x . d Phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sinx và cosx Dạng: 3 2 2 3 sin sin cos sin cos cos sin cos 0 a x b x x c x x d x m x n x Nếu cos 0 x . Thế vào phương trình thử nghiệm. Nếu cos 0 x . Chia 2 vế phương trình cho 3 cos x rồi giải phương trình bậc 3 đối với tan x . e Phương trình đối xứng hoặc gần đối xứng đối với sinx và cosx. Dạng: (sin cos ) sin cos 0. a x x b x x c . Cách giải: Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x , ĐK: | | 2 t . 2 1 2sin cos 1 sin 2 t x x x . Thay vào phương trình rồi giải ra t. 4 Phương trình lượng giác không mẫu mực: Sử dụng công thức lượng giác biến đổi đưa về các dạng mẫu mực, phương trình tích hay đặt ẩn phụ. Kinh nghiệm là: Biến đổi không được thì đổi biến (đặt ẩn phụ). Bậc cao thì tìm cách hạ bậc. Tích thì đưa về tổng. Tổng thì đưa về tích. Gặp ngoặc trong hàm thì phá ngoặc. Dùng máy tính đoán nhân tử chung. II. BÀI TẬP 1 2 2sin 1 2 sin 3 1 3 4 cos x x x 2 1 tan 1 sin 2 1 tan x x x 3 3 tan 2 sin 2 cot 2 x x x 4 tan 2 cot 2 sin 2 x x x 5 4 6 cos – cos 2 2sin 0 x x x 6 2 2 2 2 cos cos 2 cos 3 cos 4 2 x x x x 7 3 2 4sin 4sin 3sin 2 6 cos 0 x x x x 8 1 1 tan 2 sin cos x x x 9 2 2 2 (2sin 1) tan 2 3(2 cos 1) 0 x x x 33 2 cos 1 2 sin cos sin 2 sin x x x x x 34 2 cot tan 4sin sin 2 x x x x 35 3 2 2 cos ( 4) 3cos sin 0 x x x 36 4 4 cos sin 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2 x x x x x 37 2 2 2 4sin ( ) tan cos 0 2 4 2 x x x 38 2 cos 2 cos 2 tan 1 2 x x x 39 3 sin tan 2 2 1 cos x x x TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 4 10 sin(3 ) sin 2 .sin( ) 4 4 x x x 11 2 2 cos 2 2(sin cos ) 3sin 2 3 0 x x x x 12 sin 2 2 cos 2 1 sin 4 cos x x x x 13 3 3 2sin sin 10 2 10 2 x x 14 2 cos 3 sin 3 4cos 2 5 4sin 2 x x x x 15 2 3 2 3 tan tan tan cot cot cot 0 x x x x x x 16 2 2 2 cos 2 sin cos sin cos 2 sin cos x x x x x x x 17 3 3 4sin cos 3 4 cos sin 3 3 3 cos 4 6 cos 6 x x x x x x 18 3 3 3 sin sin 3 cos cos 3 cos 4 x x x x x 19 3 sin cos 2 sin 2 1 sin cos 2 0 x x x x x 20 3 3 3 1 sin 2 cos 2 sin 4 2 x x x 21 5 3 sin cos 2 cos 2 4 2 4 2 x x x 22 1 1 sin 2 sin 2 cot 2 2 sin sin 2 x x x x x 23 2 3 4 2sin 2 2 3 2(cot 1) cos sin 2 x x x x 24 2 cos 1 2(1 sin )(tan 1) sin cos x x x x x 25 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x 26 3 3 4sin sin ( ) 3sin 0 3 x x x 27 2 cos 4 1 sin 2 cos (1 tan ) x x x x 28 1 1 7 4sin( ) 3 sin 4 sin( ) 2 x x x 29 2sin 1 cos 2 sin 2 1 cos 2 x x x x 30 3 3 2 2 sin 3 cos = sin cos 3 sin cos x x x x x x 31 2 2sin 2 sin 7 – 1 sin x x x 32 cot sin 1 tan .tan 2 4 x x x x 40 2 2 cos 2 1 tan( ) 3 tan 2 cos x x x x 41 9 11 sin(2 ) cos( ) 1 sin 2 2 4 x x x 42 2 2 cos 2 1 3 7 tan( ) 3cot ( ) cos 2 2 x x x x 43 3 3 3 sin 2sin 4 2 4 2 x x 44 3 1 8sin cos sin x x x 45 2 2 1 sin 2 cos sin 2 2 cos 4 x x x x 46 4 cos – 2 cos 2 – cos 4 1 x x x 47 2 sin tan 1 3sin cos sin 3 x x x x x 48 cos os3 1 2 sin 2 4 x c x x 49 2sin 2 4cos 1 0 6 x x 50 2 cos . cos 1 2 1 sin . sin cos x x x x x 51 5cos 3 3cos 5 0 6 10 x x 52 2 cos 6 2 cos 4 3 cos 2 sin 2 3 x x x x 53 1 2(cos sin ) tan cot 2 cot 1 x x x x x 54 2 2 cos (2 ) cot tan 2 4 x x x 55 2 2 4 4 (2 sin 2 )(2 cos cos ) cot 1 2sin x x x x x 56 2 5sin 2 3 1 sin tan x x x 57 5 2 2 os sin 1 12 c x x 58 2 2 2 3 sin sin sin 3 3 2 x x x TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Trang 5 59 cos 2 1 2 cos sin cos 0 x x x x 60 2 17 sin(2 ) 16 5 3.s in cos 20sin ( ) 2 2 12 x x x x 61 1 sin cos sin 2 cos 2 0 x x x x 62 4 4 3 cos sin cos( ) sin(3 ) 0 4 4 2 x x x x 63 2 2 3 4sin 3 cos 2 1 2 cos ( ) 2 4 x x x 64 2 2 cos 3xcos2x – cos x 0 65 2 2cos cos – 2 3 – 2 cos sin 0 x x x x 66 sin 3 3sin 2 cos 2 3sin 3cos 2 0 x x x x x 67 6 cos 2 sin 1 3 sin 2 cos 2 x x x x 68 2 2 cos 3 .cos 3(1 sin 2 ) 2 3 cos (2 ) 4 x x x x 69 sin 3 cos 3 sin cos 2 cos 2 x x x x x 70 3 sin 2 cos 2 2cos 1 x x x 71 sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x 72 3 3 sin sin cos cos 1 x x x x 73 3 3 sin cos sin 2 sin cos x x x x x 74 5(sin cos ) sin 3 cos 3 2 2(2 sin 2 ) x x x x x 75 2 2 2(tan cot ) 5(tan cot ) 6 0 x x x x 76 2 2 1 cot 4(tan cot ) 0 cos x x x x 77 cos 4 cos 2 3(sin 4 sin 2 ) x x x x 78 cos 2 5 2(2 cos )(sin cos ) x x x x 79 3cos cos 2 cos 3 2sin sin 2 x x x x x 80 1 2 cos 2 tan 0 x x 81 1 sin tan . 2.cos 4 2 sin x x x x 82 3 3 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2 x x x x x 83 2 2 1 cos sin 2sin 3 6 2 x x x 84 2 sin 2 2 3cos sin 4 x x x 85 1 1 sin 2 cos 2 cot 2 0 2 cos sin 2 x x x x x 86 2 cos 1 cos 2 sin 2 1 2sin x x x x 87 2 2 cos 3 sin 2 1 3(sin 3 cos ) x x x x 88 2 sin (2 cos ) (1 cos ) 1 cos x x x x 89 2 cos 3 sin cos cos 3 sin 1 x x x x x 90 2 1 sin 2 cos 2 2 sin sin 2 1 cot x x x x x 91 sin 2 cos sin cos cos 2 sin cos x x x x x x x 92 2sin sin 3 (3 2 1) cos 2 3 0 x x x 93 2 sin 2 2 cos tan 3 x x x 94 3 6sin 2 cos 5sin 2 cos x x x x 95 3 4cos sin cos 0 x x x 96 3 sin 2 cos 5 cos 9 x x x 97 sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos 3 x x x x x x 98 1 sin cos 2 sin cos 2 x x x x 99 2 (sin 3 cos ) 5 cos( ) 6 x x x 100 tan tan 2 tan 3 tan .tan 2 .tan 3 x x x x x x
Trang 1Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Công thức lượng giác:
a/ Công thức cơ bản:
b/ Công thức nhân đôi:
2
sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin
2 tan tan 2
1 tan
a a
a
c/ Công thức nhân ba:
3 sin 3a3sina4 sin a
3 cos 3a4 cos a3cosa
d/ Công thức hạ bậc:
cos 1 cos 2 ; sin 1 cos 2 ; sin cos sin 2
e/ Công thức tổng thành tích:
cos cos 2 cos cos
cos cos 2sin sin
sin sin 2 sin cos
sin sin 2 cos sin
f/ Công thức tích thành tổng:
1 cos cos [cos( ) cos( )]
2 1 sin sin [cos( ) cos( )]
2 1 sin cos [sin( ) sin( )]
2 1 cos sin [sin( ) sin( )]
2
Trang 2Trang 2
g/ Đặt tan
2
a
t thì
2
Một số hằng đẳng thức lượng giác phải thuộc:
sin cos 2 sin
4
1 sin 2 a sinacosa
sin acos a sinacosa 1 sin cos a a , 3 3
sin acos a sinacosa 1 sin cos a a
sin cos 1 2sin cos 1 sin 2
2
sin cos 1 3sin cos 1 sin 2
4
2/ Cung liên kết
a/ Cung đối nhau: cos đối b/ Cung bù nhau: sin bù c/ Cung khác 2
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot
sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos tan( 2 ) tan cot( 2 ) cot
d/ Cung khác : hơn kém pi tan e/ Cung phụ nhau: phụ chéo
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
sin cos ; cos sin
3/ Phương trình lượng giác mẫu mực
a/ Phương trình cơ bản
2 sin sin
2
u v k
cosucosvu v k2
tanutanvu v k cotucotvu v k
b/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- Dạng: asinx b cosxc
- Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2 c2
- Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 2 2
a b rồi đặt:
2 2
;
2 2
Đưa phương trình về dạng:
cos sin xsincosxsin sin(x)sin
c/ Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx
Trang 3Trang 3
- Dạng: asin2x b sin cosx x c cos2xd
- Nếu cosx 0 Thế vào phương trình thử nghiệm
- Nếu cosx 0 Chia 2 vế phương trình cho cos x rồi giải phương trình bậc 2 đối với 2 tan x
d/ Phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sinx và cosx
- Dạng: asin3x b sin2xcosx c sin cosx 2x d cos3x m sinx n cosx0
- Nếu cosx 0 Thế vào phương trình thử nghiệm
- Nếu cosx 0 Chia 2 vế phương trình cho cos x rồi giải phương trình bậc 3 đối với 3 tan x
e/ Phương trình đối xứng hoặc gần đối xứng đối với sinx và cosx
- Dạng: a(sinxcos )x bsin cosx x c 0
- Cách giải: Đặt sin cos 2 sin
4
, ĐK: | |t 2 2
1 2 sin cos 1 sin 2
Thay vào phương trình rồi giải ra t
4/ Phương trình lượng giác không mẫu mực:
Sử dụng công thức lượng giác biến đổi đưa về các dạng mẫu mực, phương trình tích hay đặt ẩn
phụ Kinh nghiệm là:
- Biến đổi không được thì đổi biến (đặt ẩn phụ)
- Bậc cao thì tìm cách hạ bậc
- Tích thì đưa về tổng
- Tổng thì đưa về tích
- Gặp ngoặc trong hàm thì phá ngoặc
- Dùng máy tính đoán nhân tử chung
II BÀI TẬP
2sinx1 2 sin 3x1 3 4 cos x
2/ 1 tan x1 sin 2 x 1 tanx
3/ tan 2 sin 2 3 cot
2
4/ tanx2 cot 2xsin 2x
5/ cos4x– cos 2x2sin6x0
6/ cos2xcos 22 xcos 32 xcos 42 x2
7/ 4sin3x4 sin2x3sin 2x6 cosx0
8/ 1 tan 2 sin 1
cos
x
(2sin x1) tan 2x3(2 cos x1)0
33/ 2 cosx1 2 sin xcosxsin 2xsinx
34/ cot tan 4sin 2
sin 2
x
35/ 2 2 cos (3 x / 4) 3cos xsinx0
36/
cot 2
x
4sin ( ) tan cos 0
x
cos 2xcosx 2 tan x1 2
x x
x
Trang 4Trang 4
10/ sin(3 ) sin 2 sin( )
11/ cos 22 x2(sinxcos )x 23sin 2x 3 0
12/ sin 2x2 cos 2x 1 sinx4 cosx
14/ cos 3 x sin 3 x 4 cos 2 2 x 5 4sin 2x
15/ tanxtan2xtan3xcotxcot2 xcot3x0
2 cos 2xsin xcosxsin cosx x2 sinxcosx
4sin xcos 3x4 cos xsin 3x3 3 cos 4x6 cos 6x
18/ sin3xsin 3xcos3xcos 3xcos 43 x
19/ sinxcosx3 2 sin 2 x1sinxcosx 20
20/ 1 sin 23 cos 23 3sin 4
2
22/ sin 2 sin 1 1 2 cot 2
2 sin sin 2
23/ 32 4 2 sin 2 2 3 2(cot 1)
x
x
2(1 sin )(tan 1)
sin cos
x
x
x
26/ 4sin3 sin (3 ) 3sin 0
3
27/ 2 cosx/ 4 1 sin 2 xcos (1 tan )x x
3
2
x
29/ 2sinx1 cos 2 xsin 2x 1 cos 2x
30/ sin3x 3 cos3x = sin cosx 2x 3 sin2xcosx
31/ 2 sin 2 sin 7 – 1 2 x x sinx
32/ cot x sinx1 tan tan x x/ 2 4
40/ tan( ) 3 tan2 cos 22 1
x
x
41/ sin(2 9 ) cos( 11 ) 1 sin 2
2
tan( ) 3cot ( )
x
x
43/ sin 3 2sin3 3
cos sin
x
45/ 1 sin 2 cos sin 22 2 cos2
4
46/ 4 cos – 2 cos 2 – cos 4x x x 1
sin x tanx1 3sinx cosxsinx 3
48/ cos os3 1 2 sin 2
4
49/ 2sin 2 4 cos 1 0
6
2 cos cos 1
2 1 sin sin cos
x
52/ 2 cos 6x2 cos 4 - 3 cos 2x xsin 2x 3
54/ 2 cos (22 ) cot tan 2
4
55/
4
4
(2 sin 2 )(2 cos cos )
2 sin
x
x
5sin x 2 3 1 sin x tan x
57/ 2 2 os 5 sin 1
12
c x x
x
Trang 5Trang 5
59/ cos 2 x 1 2 cos xsinxcosx0
60/ sin(2 17 ) 16 5 3.s in cos 20sin (2 )
x
61/ 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
62/ cos4 sin4 cos( ) sin(3 ) 3 0
4sin 3 cos 2 1 2 cos ( )
x
64/ cos 3xcos2x – cos x2 2 0
2 cos xcos – 2x 3 – 2 cosx sinx0
66/ sin 3x3sin 2xcos 2x3sinx3cosx 2 0
67/ 6 cosx 2 sinx 1 3 sin 2xcos 2x
68/ 2 cos 3 cos 3(1 sin 2 ) 2 3 cos (22 )
4
69/ sin 3x cos 3x sinx cosx 2 cos 2x
70/ 3 sin 2x cos 2x 2cosx 1
71/ sin 2 2cos sin 1 0
x
72/ sin3xsin cosx xcos3x1
73/ sin3xcos3xsin 2xsinxcosx
74/ 5(sinxcos ) sin 3x xcos 3x2 2(2 sin 2 ) x
75/ 2(tan2 xcot2 x) 5(tan xcot ) 6x 0
76/ 2
2
1
cos
x
77/ cos 4xcos 2x 3(sin 4xsin 2 )x
78/ cos 2x 5 2(2 cos )(sin x xcos )x
79/ 3cosxcos 2xcos 3x2sin sin 2x x
80/ 1 2 cos 2 xtanx0
81/ tan 1 sin 2.cos
4 2 sin
x x
1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin 2x
84/ 2 sin 2 2 3cos sin
4
85/ sin 2 cos 1 1 2 cot 2 0
2 cos sin 2
86/ 2 cosx1 cos 2 xsin 2x 1 2sinx
87/ 2 cos2x 3 sin 2x 1 3(sinx 3 cos )x
sin (2 cos ) x x (1 cos ) 1 cos x x
89/ 2 cos x 3 sinxcosx cosx 3 sinx 1
90/ 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2
1 cot
x
91/ sin 2 cosx x sin cosx x cos 2x sinx cosx
92/ 2sin sin 3x x(3 2 1) cos 2 x 3 0 93/ sin 2x2 cos2 xtanx3
94/ 6sinx2 cos3x5sin 2 cosx x
95/ 4 cos3xsinxcosx0 96/ 3 sin 2xcos 5xcos 9x
97/ sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos 3x
98/ 1 sin cos 2 x xsinxcos 2x
99/ (sin 3 cos )2 5 cos( )
6
100/ tanxtan 2xtan 3xtan tan 2 tan 3x x x