Chuyên đề Lượng giác: Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình

Chú ý: Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm nếu có... Giải phươ[r]

ThS Đoàn Vương Nguyên toancapba.com

CHUYÊN ĐỀ

LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A Biểu diễn cung – góc lượng giác

Nếu cung (hoặc góc) lượng giác ¼AM có số đo là k2

n

p

a + (hoặc 0 k.360

a

n + o ) với k Î ¢, nÎ ¥+ thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau

Ví dụ 1. Nếu sđ ¼AM k2

3

p

= + p thì có 1 điểm M tại vị trí

3

p (ta chọn k = 0)

Ví dụ 2. Nếu sđ ¼AM k

6

p

= + p thì có 2 điểm M tại các vị trí

6

p

và 7 6

p (ta chọn k = 0, k = 1)

Ví dụ 3. Nếu sđ ¼ 2

= + thì có 3 điểm M tại các vị trí

4

p , 11 12

p

và 19 12 p (ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2)

AM 45 k.90 45

4

= o + o = o + o

thì có 4 điểm M tại các vị trí 450, 1350, 2250 và 3150 (ta chọn k = 0, 1, 2, 3)

Ví dụ 5. Tổng hợp hai cung x k

6

p

= - + p và x k

3

p

= + p

Giải

Biểu diễn 2 cung x k

6

p

= - + p

3

p

= + p trên đường tròn

lượng giác ta được 4 điểm

6

p

- ,

3

p

, 5

6

p

và 4

3

p

cách đều nhau

Vậy cung tổng hợp là:

= +

B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Hàm số lượng giác

1 Hàm số y = cosx

1) Miền xác định D = ¡

2) Miền giá trị G = [–1; 1]

3) Hàm số y = cosx là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T = p2

4) (cosx)/ = – sinx

5) Đồ thị hàm số y = cosx đối xứng qua trục tung Oy

2 Hàm số y = sinx

1) Miền xác định D = ¡

2) Miền giá trị G = [–1; 1]

3) Hàm số y = sinx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p2

4) (sinx)/ = cosx

5) Đồ thị hàm số y = sinx đối xứng qua gốc tọa độ O

3 Hàm số y = tgx

1) Miền xác định D \{ k , k }

2

p

= ¡ + p Î ¢ 2) Miền giá trị G = ¡

3) Hàm số y = tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p

4) (tgx)/ = 1 + tg2x = 12

cos x 5) Đồ thị hàm số y = tgx đối xứng qua gốc tọa độ O

4 Hàm số y = cotgx

1) Miền xác định D = ¡\ k , k{ p Î ¢ }

2) Miền giá trị G = ¡

3) Hàm số y = cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = p

4) (cotgx)/ = – (1 + cotg2x) = 12

sin x

5) Đồ thị hàm số y = cotgx đối xứng qua gốc tọa độ O

5 Chu kỳ của hàm số lượng giác

5.1 Định nghĩa

Hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa

f(x + T) = f(x)

Ví dụ 1. Hàm số y = sin5x có chu kỳ 2

T 5

p

= vì:

( 2 )

sin 5 x sin(5x 2 ) sin 5x

5

p

Hơn nữa, 2

T

5

p

= là số nhỏ nhất do hàm số y = sint, t = 5x có chu kỳ 2p

5.2 Phương pháp giải toán

5.2.1 Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx)

Hàm số y = sin(nx) và y = cos(nx), n Î ¢+ có chu kỳ 2

T n

p

=

Ví dụ 2. Hàm số y = cos7x có chu kỳ 2

T 7

p

=

5.2.2 Hàm số x

y sin

n

y cos

n

=

y sin

n

y cos

n

= , n Î ¢+ có chu kỳ T = n2p

Ví dụ 3. Hàm số x

y sin

3

= có chu kỳ T = p6

5.2.3 Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx)

Hàm số y = tg(nx) và y = cotg(nx), n Î ¢+ có chu kỳ T

n

p

=

Ví dụ 4. Hàm số y = cotg6x có chu kỳ T

6

p

=

5.2.4 Hàm số x

y tg

n

y cotg

n

= Hàm số x

y tg

n

y cotg

n

= , n Î ¢+ có chu kỳ T = pn

Ví dụ 5. Hàm số x

y tg

3

= có chu kỳ T = p3

5.2.5 Hàm số y = f(x)±g(x)

Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có chu kỳ lần lượt là 1

m T n

= p và 2

p T k

= p

Để tìm chu kỳ của hàm số y = f(x)±g(x) ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Quy đồngm mk

n = nk , p np

k = nkvà tìm bội số chung nhỏ nhất A của mk, np

Bước 2. Chu kỳ của y = f(x)±g(x) là A

T nk

= p

Ví dụ 6. Tìm chu kỳ của hàm số x

y cos 3x tg

3

Giải

Hàm số y = cos3x, x

y tg

3

= có chu kỳ lần lượt là 2

3

p

và 3p

Ta có:

BCNN(2; 9)

3

3

ìï =

ï p = ïïî

Vậy chu kỳ của hàm số x

y cos 3x tg

3

= - là T = p6

II Phương trình lượng giác cơ bản

1) cos x = cosa x k2 , k

= a + p é

ê

Û ê = -a + pêë Î Z

= a + p é

ê = p - a p

3) tgx = tga Û x = a + pk , k Î Z

4) cotgx = cotga Û x = a + pk , k Î Z

Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ

1) cos x 0 x k , k

2

p

= Û = + p Î Z

2) cos x= Û1 x = k2 , kp Î Z

3) cos x= - Û1 x = p +k2 , kp Î Z

4) sin x = 0 Û x = pk , k Î Z

5) sin x 1 x k2 , k

2

p

= Û = + p Î Z

6) sin x 1 x k2 , k

2

p

= - Û = - + p Î Z

Ví dụ 1. Xét số nghiệm của phương trình x

cos x+ = 0

p

Giải

cos x+ = 0 Û cos x =

Suy ra (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx và

x

y =

-p (đi qua điểm ( p ; – 1))

Dựa vào đồ thị, ta suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2. Giải phương trình:

(cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3)

0

2 cos x 1

Giải

3

p + ¹ Û ¹ ± + p

Ta có:

1

3

é

=

ê

ê

So với điều kiện và tổng hợp

nghiệm (hình vẽ), phương trình

(2) có họ nghiệm là:

2

Chú ý:

Các họ nghiệm 2

= - +

3

p

= p + cũng là các họ

nghiệm của (2)

III Các dạng phương trình lượng giác

1 Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác

1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0 3) atg2x + btgx + c = 0 4) acotg2x + bcotgx + c = 0

Phương pháp giải toán

Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu có)

Bước 2. Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0

Chú ý:

Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên

thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm (nếu có)

Ví dụ 1. Giải phương trình 2 sin x2 +sinx- 2 = (1) 0

Giải

Đặt t = sinx, 1- £ £ ta có: t 1

2

(1) Û 2t + -t 2 = 0 t 1 t 2

2

Û = Ú = - (loại) sin x sin

4

p

Û = + p Ú = + p

Vậy (1) có các họ nghiệm

3

4

p

é = + p ê

ë

¢

Ví dụ 2. Giải phương trình 5(1+cos x)= +2 sin x4 -cos x4 (2)

Giải

Ta có:

(2) Û +3 5 cos x = sin x-cos x Û 2 cos x+5 cos x+ = 2 0

Đặt t = cosx, 1- £ £ ta suy ra: t 1

2

(2) Û 2t +5t+ =2 0 t 1 t 2

2

Û = - Ú = - (loại)

cos x cos

3

p

3

p

Û = ± + p Vậy (2) có các họ nghiệm 2

3

p

= ± + p Î ¢

Ví dụ 3. Giải phương trình 32

2 3tgx 6 0 cos x + - = (3)

Giải

Điều kiện x k

2

p

¹ + p , ta có:

(3) Û 3(1+tg x)+2 3tgx- =6 0 Û 3tg x +2tgx- 3 = 0

Đặt t = tgx, ta suy ra:

2

(3) Û 3t +2t- 3 = 0 t 1 t 3

3

( )

tgx tg

3 3

ê = - + p

ë

(thỏa điều kiện)

Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau

Vậy (3) có họ nghiệm là x k , k

= + Î ¢

Ví dụ 4. Tìm m để phương trình sin x2 -sin x+m = (4) có nghiệm thuộc 0 đoạn 7

;

6 6

ë û

Giải

Đặt t = sinx, ta suy ra:

2

Xét hàm số y = - + , ta có bảng biến thiên: t2 t

t –1/2 1/2 1

y

1/4 –3/4 0 Suy ra (4) có nghiệm 7 3 1

Î ê ú Û - £ £

Cách khác:

( )2

Ví dụ 5. Tìm m để phương trình tgx-mcotgx = (5) có nghiệm 2

Giải

Cách giải sai:

Đặt t= tgx Þ ¹ , ta suy ra: t 0

2

m

t

Mặt khác: t ¹ 0 Þ m ¹ 0 (b)

Từ (a) và (b) ta suy ra (5) có nghiệm Û - £1 m ¹ (sai) 0

Cách giải đúng:

Đặt t= tgx Þ ¹ , ta suy ra: t 0

2

m

t

Xét hàm số y = t2 -2t, ta có bảng biến thiên:

t -¥ 0 1 +¥

y

+¥ +¥

0 –1 Vậy (5) có nghiệm Û m ³ - 1

2 Dạng bậc nhất theo sinx và cosx

asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0)

Phương pháp giải toán

Cách 1

Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt b

tg

a = a

sin x tg cos x sin(x ) cos

Cách 2

Bước 1. Chia hai vế (*) cho a2 +b2 và đặt:

Bước 2.

sin x cos cos x sin

+

2c 2

sin(x )

+

Chú ý:

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

a2 + b2 ³ c2

Ví dụ 1. Giải phương trình 3 sin x-cosx = 2 (1)

Giải

Cách 1

(1) sin x cos x sin x tg cos x

6

p

Cách 2

( )

p

Vậy (1) có họ nghiệm 2

x k2 , k 3

p

= + p Î ¢

Ví dụ 2. Giải phương trình sin 5x+ 3 cos 5x = 2 sin 7x (2)

Cách 1

(2) sin 5x tg cos 5x 2 sin 7x

3

p

sin 5x( ) 2 cos sin 7x

2

3

p

ê

ë

6 , k

18 6

p

é = + p

ê

ê

ê = +

êë

¢

Cách 2

( )

p

3 2

3

p

ê

ê

ë

6 , k

18 6

p

é = + p ê

ê

ê = + êë

¢

Vậy (2) có các họ nghiệm

6 , k

18 6

p

é = + p ê

ê = + êë

¢

Ví dụ 3. Giải phương trình 3 sin 2x- 3 cos 2x = -4 (3)

Giải

Do 32 + -( 3)2 < -( 4)2 nên phương trình (3) vô nghiệm

Ví dụ 4. Tìm m để phương trình:

2

2m cos x-2(m-1)sin x cos x-3m- = (4) có nghiệm 1 0

Giải

Ta có:

(4)Û m cos 2x-(m-1)sin 2x =2m+ 1

Suy ra:

(4) có nghiệm Û m2 +(m-1)2 ³(2m+1)2 Û - £3 m£ 0

3 Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx

3.1 Đẳng cấp bậc hai

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*)

Phương pháp giải toán

Cách 1

Bước 1. Kiểm tra x k

2

p

= + p có là nghiệm của (*) không

Bước 2. Với x k

2

p

¹ + p , chia hai vế của (*) cho cos2

x ta được:

(*) Û atg2

x + btgx + c = 0

Cách 2

Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x

và cos2x

Ví dụ 1. Giải phương trình:

2

( 3+1) sin x-( 3-1)sin x cos x- 3 = (1) 0

Giải

Nhận thấy x k

2

p

= + p không thỏa (1)

Với x k

2

p

¹ + p , chia hai vế của (1) cho cos2

x ta được:

(1) Û ( 3+1)tg x-( 3-1)tgx- 3(1+tg x)= 0

Û tg x2 -( 3 -1)tgx- 3 = 0

tgx 1

4

3

p

é = - + p

=

=

Vậy các họ nghiệm của (1) là

4 , k

3

p

é = - + p ê

êë

¢

Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + 2 3sinxcosx + 1 = cos2x (2)

Giải

( ) ( )

(2) 3 sin 2x cos 2x 1 sin 2x sin

2

ê

ë

Cách khác:

2

(2) Û sin x+ 3 sin x cos x = 0 Û sin x 0

sin x 3 cos x 0

= é

ê

êë

x k sin x 0

3

= p é

=

ê

= - + p ê

Vậy (2) có các họ nghiệm là

, k 2

3

= p é

ê

Î

êë

¢

Chú ý:

Đối với mỗi cách giải khác nhau, ta có thể thu được nghiệm ở các dạng khác nhau nhưng sau khi tổng hợp nghiệm thì chúng giống nhau

3.2 Đẳng cấp bậc cao

Phương pháp giải toán

Cách 1

Bước 1. Kiểm tra x k

2

p

= + p có là nghiệm của phương trình không

Bước 2. Với x k

2

p

¹ + p , chia hai vế cho cosn

x (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về phương trình bậc n theo tgx

Cách 2

Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc cos2x hoặc phương trình tích

Ví dụ 3. Giải phương trình 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3)

Giải

Cách 1

Nhận thấy x k

2

p

= + p không thỏa (3)

Với x k

2

p

¹ + p , chia hai vế của (3) cho cos5

x ta được:

(3) Û +2 2tg x = +1 tg x+tg x(1+tg x)

Û tg x5 -tg x3 -tg x2 + = 1 0

Û (tgx-1) (tgx2 +1)(tg x2 +tgx +1)= 0

Cách 2

(3) Û cos x(2 cos x-1)= sin x(1-2 sin x)

Û cos x cos2x3 = sin x cos 2x3 cos 2x 0

tgx 1

= é

ê

Û ê = ë

4

é = +

ê

ê = + p

êë

Vậy (3) có họ nghiệm là x k , k

= + Î ¢

Chú ý:

2 cos x+sin x = cos x+sin x

Û 2 cos x( 5 +sin x5 )=(cos x3 +sin x)(cos x3 2 +sin x)2

Û cos x5 +sin x5 -cos x sin x3 2 -cos x sin x2 3 = (đẳng cấp) 0

4 Dạng đối xứng đối với sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*)

Phương pháp giải toán

Bước 1. Đặt t = sinx + cosx = 2 sin x( )

4

p +

Þ - £ £ và

2

t 1 sin x cos x

2

Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t

Chú ý:

Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng cách đặt t = sinx – cosx

Ví dụ 1. Giải phương trình:

( 2 + 1)(sinx + cosx) + sin2x + 2 + 1 = 0 (1)

Giải

Đặt t = sinx + cosx Þ - 2 £ £t 2 và sin2x = t2 – 1

Thay vào (1) ta được:

2

t +( 2 +1)t+ 2 = 0 Û = - Ú = -t 1 t 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

(1)

5

3

Û ê + = + p Û ê = p + p

ê

ë

Vậy (1) cĩ các họ nghiệm:

2

p

= - + p , x 3 k2

4

p

= - + p (k Ỵ ¢ )

Ví dụ 2. Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2)

Giải

Đặt t = sinx – cosx Þ - 2 £ £t 2 và

2

1 t sin x cos x

2

Thay vào (2) ta được:

2

1 t

6t 6 t 12t 13 0

= -é

= - Û + - = Û ê = -êë (l oại)

( ) ( ) ( )

ê

ê = p + p

ë

Vậy (2) cĩ các họ nghiệm x = p +k2p, x k2

2

p

= - + p (k Ỵ ¢ )

Ví dụ 3. Tìm m để phương trình m(cos x-sin x)+sin 2x = (3) cĩ nghiệm 0 thuộc khoảng ( ; )

4

p p

Giải

Đặt t cos x sin x 2 cos x( ) sin 2x 1 t2

4

p

Ta cĩ:

Ỵ p Þ < + < Þ - £ + <

2 2 cos x( ) 0 2 t 0

4 p

Þ - £ + < Þ - £ <

Thay vào (3) ta được:

t + - = Û = - Û = - (do t < 0)

Xét hàm số f(t) t 1, t [ 2; 0)

t

= - Î - , ta có:

/

2

1

f (t) 1 0 t 2; 0

t

= + > " Î

-t 0

2

Vậy (3) có nghiệm 2

m

2

Chú ý:

Ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số f(t):

t - 2 0

/

f (t) +

f(t)

+¥

2 2

-5 Dạng phương trình khác

Không có cách giải tổng quát, tùy từng bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi

để đưa về các dạng đã biết cách giải

Ví dụ 1. Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1)

Giải

(1) cos 8x cos 6x cos 8x cos 2x

x k

cos 6x cos2x

4

p

é =

= - + p

Vậy (1) có họ nghiệm là x k , k

4

p

= Î ¢

Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2)

Giải

(2) Û 2 sin 3x cos x = 2 sin 3x cos 3x Û sin 3x(cos 3x-cos x)= 0

x k

cos 3x cos x 3x x k2 x k

2

p

é =

ê

Vậy (2) có họ nghiệm là x k

2

p

= , x k (k )

3

p

= Î ¢

C BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Bất phương trình lượng giác cơ bản

1 Bất phương trình cơ bản của cosx

1) cos x ³cosa Û -a +k2p £ x £ a +k2 , kp Î ¢ (hình vẽ) 2) cos x >cosa Û -a +k2p < x < a +k2 , kp Î ¢

3) cos x £cosa Û a +k2p £ x£ p - a +2 k2 , kp Î ¢ 4) cos x <cosa Û a +k2p < x< p - a +2 k2 , kp Î ¢

2 Bất phương trình cơ bản của sinx

1) sin x ³ sina Û a +k2p £ x £ p - a +k2 , kp Î ¢ (hình vẽ) 2) sin x > sina Û a +k2p < x < p - a +k2 , kp Î ¢

3) sin x £ sina Û -p - a +k2p £ x £ a +k2 , kp Î ¢

4) sin x < sina Û -p - a +k2p < x < a +k2 , kp Î ¢

3 Bất phương trình cơ bản của tgx

1) tgx tg k x k , k

2

p

³ a Û a + p £ < + p Î ¢ (hình vẽ)

2

p

> a Û a + p < < + p Î ¢

2

p

£ a Û - + p < £ a + p Î ¢

2

p

< a Û - + p < < a + p Î ¢

4 Bất phương trình cơ bản của cotgx

1) cotgx ³ cotga Û p <k x £ a + pk , k Î ¢ (hình vẽ) 2) cotgx > cotga Û p <k x < a + pk , k Î ¢

3) cotgx £ cotga Û a + p £k x < p + pk , k Î ¢ 4) cotgx < cotga Û a + p <k x < p + pk , k Î ¢

Chú ý:

Khi giải bất phương trình lượng giác ta nên vẽ đường tròn lượng giác để chọn nghiệm

Ví dụ 1. Tìm miền xác định của hàm số y= cos2x

Giải

Ta có:

³ Û - + p £ £ + p

k x k

Û - + p £ £ + p

Vậy miền xác định là D k ; k , k

= - + pê + pú Î

Ví dụ 2. Tìm miền xác định của hàm số y= sin 2x

Giải

Ta có:

sin 2x ³0 Û k2p £2x £ p +k2p k x k

2

p

Û p £ £ + p Vậy miền xác định là D k ; k , k

2

p

= ê p + pú Î

Ví dụ 3. Tìm miền xác định của hàm số y= tg3x

Giải

Ta có:

2

p

Û £ < + Vậy miền xác định là D k ; k ), k

é

Ví dụ 4. Giải bất phương trình 2

sin x

2

Giải

2

p

Û + p £ £ + p Î ¢

Ví dụ 5. Giải bất phương trình 3

cos x

2

< -

Giải

p

Û + p < < + p Î ¢

Ví dụ 6. Giải bất phương trình tgx > – 1

Giải

( )

tgx 1 tgx tg

4

p

Û + p < < + p Î ¢

Ví dụ 7. Giải bất phương trình cotgx £ 3

Giải

cotgx 3 cotgx cotg

6

p

6

p

Û + p £ < p + p Î ¢

Ví dụ 8. Giải bất phương trình sin x+(1- 2)cos x> 0

Giải

Ta có :

sin x+(1- 2)cos x > 0 Û sin x+cos x- 2 cos x > 0

( ) ( ) ( )

Û - > Û + p < < + p

Chú ý:

Cách giải sau đây sai:

sin x+(1- 2)cos x > 0 Û sin x+cos x > 2 cos x

( ) x 2 k

cos x cos x

4

p

ìï > + p ï

Û - > Û ípïï + p >

ïïî

x k , k 0, k

2

p

Û > + p ³ Î ¢ (*)

Nhận thấy 3

x

2

p

= không thỏa bất phương trình

Ví dụ 9. Giải bất phương trình 3 1

cos x

Giải

Ta có:

3 1

cos x

5

cos cos x cos

5

ê

ê

Û ê pê + p £ £ p+ p

êë

Ví dụ 10. Giải bất phương trình 1 2

sin x

Giải

Ta có:

sin x

( )

sin sin x sin

3

5

é + p < < + p

ê

ê

Û ê pê-êë + p £ £ - +p p

Ví dụ 11. Giải bất phương trình (2 cos x-1)(2 cos x- 3)³ 0

Giải

Ta có:

(2 cos x-1)(2 cos x- 3)³ 0

cos x cos cos x cos

5

é- + p £ £ + p

ê

ê

ê

ë

Ví dụ 12. Giải bất phương trình ( 2 sin x+1)(2 sin x- 3)> 0

Giải

Ta có: