Ôn tập Chương I. Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác

a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.. * Phương trình chứa tanx thì điều[r]

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



I – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình sinx = sin

a)

2

2





b)

arcsin 2

arcsin 2





 c) sinu  sinv  sinu  sin( ) v

2

u  v  u    v



2

u  v  u  v 



Các trường hợp đặc biệt:

2

x   x  k k Z



2

x   x   k k Z





2

x   x  x   x   x k k Z

  sinx  0  x k (kZ)

2 Phương trình cosx = cos

a) cosx cos  x   k2 ( kZ)

b)

c) cosu  cosv  cosu cos( v)

2

u  v  u    v



2

u v  u  v



Các trường hợp đặc biệt:

2

x   x  k k Z



 cosx 1  x k2 ( k Z )

 cosx  1  x  k2 ( kZ)

  cosx   1 cos2x 1 sin2x 0  sinx 0  x k  (kZ)

3 Phương trình tanx = tan

a) tanx tan  xk (kZ)

b) tanx a  x  arctana k k Z (  )

c) tanu  tanv  tanu tan( )v

2

u  v  u    v



e) tan cot tan tan

2

u v  u   v



Các trường hợp đặc biệt:

4

x   x   k k Z



4 Phương trình cotx = cot

cotx  cot  x k (kZ)

cotx a  x arccota k  (kZ)

Các trường hợp đặc biệt:

2

x   x k k Z



4

x   x  k k Z



5 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Có dạng at b 0 với a b,   , a 0 với t là một hàm số lượng giác nào đó

Cách giải: at b   0 t b

a đưa về phương trình lượng giác cơ bản

6 Một số điều cần chú ý:

a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( )

2

x k k Z



* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k  (k Z )

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

2

x k  k Z

* Phương trình có mẫu số:

 sinx 0  x k  (kZ)



2

x   x  k k Z





2

x   x k  k Z



2

x   x k  k Z

Câu 1: Phương trình

2x



  (với k ) có nghiệm là

k

x   

.

C x 3 k





3

k

x  

Câu 2: Nghiệm của phương trình sin 3xsinx là:

A x 2 k







C x k  2 D x 2 k k k; 2



Câu 3: Phương trình

2

x 

  có nghiệm là

k

 

B x  k C x k D xk 2 Câu 4: Số nghiệm của phương trình sinxcosx trong đoạn  ; 

là

Câu 5: Nghiệm của phương trình sin cosx x 0 là:

2

x  k 





6

x  k 

Câu 6: Các họ nghiệm của phương trình sin 2x cosx0 là

A

2



2





C

2





2



Câu 7: Nghiệm phương trình: 1 tan x0 là

A x 4 k





 





 

4

x  k 

4

x  k 

Câu 8: Phương trình tan tan

2

x

x



có nghiệm là

C x  k2 , k  D Cả A B C, , đều đúng.

Câu 9: Phương trình lượng giác: 3cotx  3 0 có nghiệm là

A x 6 k





 





 

3

x  k 

D Vô nghiệm.

Câu 10: Nghiệm của phương trình tan 4 cot 2x x 1 là

4 k 2 k

2

k k 

D Vô nghiệm.

II.PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Phương trình sinx1 sin  x 2 0

có nghiệm là:

2

x  k  k 

4

x  k 

x  k  

2

x  k 

2

x  k 

Câu 2: Phương trình (sinx1)(2 cos 2x 2) 0 có nghiệm là

2

x  k  k 

8

x  k k  

8

x k k  

D Cả A B C, , đều đúng.

Câu 3: Nghiệm của phương trình sin cos cos 2x x x 0 là:

A x k  B x k 2













Câu 4: Tất cả các nghiệm của phương trình

sin 2 1

0 2.cos 1

x x





A

3

2 , 4

x  k  k 

2 , 4

3

2 , 4





















C x 4 k k,









Câu 5: Nghiệm của phương trình

1 cos cos5 cos6

2



(với k ) là

A 8







k x



k x

 k x

Câu 6: Giải phương trình :sin4xcos4 x1

A x 4 k 2





 

, k .

C x 4 k2





 





, k  .

Câu 7: Số nghiệm của phương trình

sin 3

0 cos 1

x

x 

thuộc đoạn [2 ; 4 ]  là

Câu 8: Phương trình 3 4cos 2 x tương đương với phương trình nào sau đây?0

A

1 cos 2

2

x 

1 cos 2

2

x 

1 sin 2

2

x 

1 sin 2

2

x 

Câu 9: Trong nửa khoảng 0; 2

, phương trình sin 2xsinx0 có số nghiệm là:

A 4 B 3 C 2 D 1.

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

Nếu đặt:

2 sin

t x

đặt t sinx với   1 x 1

Câu 1: Nghiệm của phương trình sin2x– sinx0 thỏa điều kiện: 0  x 

A

2

x





Câu 2: Nghiêm của phương trình sin2x sinx2 là





C x 2 k2 ,k









Câu 3: Nghiệm của phương trình sin2x 4sinx 3 0 là :

A x 2 k2 ,k





B x 2 k2 ,k





C

2 , 2

x k  k 

D x k 2 , k 

Câu 4: Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình: cos2x 4cosx 3 0

A x  k2 ( k ) B x 2 k2 (k )





C x k 2 ( k ) D x k  (k )

Câu 5: Giải phương trình 2cos2x 3cosx 1 0

A x 3 k2 ,k







C x 3 k2 ,k





Câu 6: Họ nghiệm của phương trình 3cos 4x2 cos 2x 5 0 là

asin x b x c  t = sinx   1 t 1 2

a x b x c  t = cosx   1 t 1 2

2

x k k Z

 2

cotcot0axbxc t = cotx x k  (k Z )

A k2 B 3 k2











Câu 7: Trong 0; 2, phương trình sinx 1 cos2x có tập nghiệm là

A 2; ; 2 

  B 0; C 0; ;2 

Câu 8: Nghiệm của phương trình 5 5sin x 2cos2x0 là

A. k k,   B k2 , k  C 2 k2 ,k









Câu 9: Các họ nghiệm của phương trình cos 2x sinx là0

A

2



2



C

2





2





Câu 10: Phương trình sin2xsin 22 x1 có nghiệm là:

A

6

k

















  





4











  

C

3











  

Câu 11: Nghiệm của phương trình sin4x cos4 x0 là

4

x  k

x  k

C

3

2 4

x  k 

4

x  k 

Câu 12: Phương trình nào tương đương với phương trình sin2x cos2x 1 0

A cos 2x 1. B cos 2x 1. C 2cos2 x  1 0 D (sinx cos )x 2  1

Câu 13: Phương trình tan2 x5 tanx 6 0 có nghiệm là:

4

x k x x  k=k x =

4

x k  xx  k =k x =

4

x  k x x  k  =k 

D x k ;xxarctan( 6) k=k .

Câu 14: Giải phương trình 3 tan2x 1 3 tan x 1 0

A x 4 k , x 6 k ,k

C x 4 k2 , x 6 k2 ,k

Câu 15: Phương trình tanx3cotx4 (với k  .) có nghiệm là:

A 4 k2 ,arctan 3 k2











Câu 16 : Số nghiệm của phương trình 2 tanx 2cotx 3 0 trong khoảng 2;





  là :

IV.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN

Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)

Cách 1:

 Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

 Đặt:

sin sinx cos cosx c

a b



2 2

a b



 Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

2c 2 1 a b c

 (2)  x     k2 (k Z )

Lưu ý:







4



Cách 2:

2 2

x

x  k   k

có là nghiệm hay không?

2

x

x  k   

Đặt:

2



  ta được phương trình bậc hai theo t:

2 (b c t )  2at c b  0 (3)

Vì x  k2  b c 0, nên (3) có nghiệm khi:

'a  (c  b ) 0  a b c

 Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0

2

x t



 Note:

1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận

2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2 c2

Câu 1: Số nghiệm của phương trình sinxcosx trên khoảng 1 0; là

Câu 2: Nghiệm của phương trình sinx 3 cosx là:2

A

5

6

x  k

5 2 6

x  k 





 





Câu 3: Phương trình

2 x 2 x có nghiệm là

A

5

2 , 6

x  k  k 

5

, 6

x k k Z

.

6

x k  kZ

6

x k  kZ

Câu 4: Với giá trị nào của m thì phương trình (1)sincos5mxx có nghiệm

A 3   m 1 B 0  m 2 C

1 3

m m





 

Câu 5: Điều kiện để phương trình sinm x 3cosx có nghiệm là :5

A m  4 B 4   m 4 C m  34. D

4 4

m m





 

Câu 6: Cho phương trình 4sinx(m1) cosx m Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có nghiêm:

A

17

2

m 

17 2

m 

17 2

m 

17 2

m 

Câu 7: Phương trình: 3.sin 3x cos3x  tương đương với phương trình nào sau đây:1

A

1 sin 3x



sin 3x

1 sin 3x



1 sin 3x



Câu 8: Tìm m để pt

2

sin 2 cos

2

m

x x

có nghiệm là

A 1 3  m 1 3 B 1 2  m 1 2

Câu 9: Tìm điều kiện để phương trình sinm x12cosx13 vô nghiệm

5 5

m m





 

 C m   5 D 5 m 5

Câu 10: Cho phương trình

Tìm m để phương trình vô nghiệm.

A   ; 11; B   ; 11; C 1;1 D m .

V PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN

+ Là phương trình có dạng (sin ,cos ) 0f x x  trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk 0

x  (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan x

Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)

Cách 1:

 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?

Lưu ý: cosx = 0

2

2



 Khi cosx 0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x  ta được: 0

a x b x c d   x

 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

2 (a d t ) b t c d    0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

1 cos2 sin 2 1 cos2

.sin2 ( ).cos2 2

      (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)

Câu 1: Phương trình 6sin2x7 3 sin 2x8cos2x có các nghiệm là:6

A

2

6







  











4 3







  











, k  .

C

8

12







  











3 4 2 3

















, k  .

Câu 2: Phương trình 2sin2xsin cosx x cos2x có nghiệm là:0

A 4 k





1 ,arctan

 

 



, k  .

C

1 ,arctan

 

 



1

2 , arctan 2

 

 



, k  .

Câu 3: Một họ nghiệm của phương trình 2sin2 x 5sin cosx x cos2x2 là

A 6 k







, k  . B 4 k





 

, k  . C 4 k







, k  . D 6 k





 

, k  .

Câu 4: Phương trình 2cos2x 3 3 sin 2x 4sin2x có họ nghiệm là4

A

2

6















  

2

x k 

, k  .

C x 6 k





 





 

, k  .

Câu 5: Phương trình 2sin2xsin cosx x cos2 x0 (với k ) có nghiệm là:

A

1

2 ,arctan( ) 2







k

C

1 ,arctan( )



1 ,arctan( )



Câu 6: Giải phương trình cos3xsin3x2 cos 5xsin5x





 

B

1





 

C

1





 





 

Câu 7: Giải phương trình cos2x 3 sin 2x 1 sin2x

A

2

2 3













  



x k

B

1 2 1















  



x k

C

2 3 2















  



x k













  



x k

Câu 8: Giải phương trình 2 cos2x6sin cosx x6sin2x1

A

1



B

; arctan



C

; arctan



D

1

; arctan



Câu 9: Phương trình :sin2x ( 3 1)sin cos x x 3 cos2x0 có họ nghiệm là

A 4 k





3







, k  .

C 3 k











 , 3 k







, k  .

Câu 10: Trong khoảng

0 ; , 2



  phương trình sin 42 x3.sin 4 cos4x x 4.cos 42 x0có:

A Ba nghiệm B Một nghiệm C Hai nghiệm D Bốn nghiệm.

Câu 11: Giải phương trình cos2x 3 sin 2x 1 sin2x

A

2

2 3













  



x k

B

1 2 1















  



x k

C

2 3 2















  



x k













  



x k

Câu 12: Giải phương trình 2cos2x6sin cosx x6sin2x1

A

1



B

; arctan



C

; arctan



D

1

; arctan



VI PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN

Dạng 1: Là phương trình có dạng:

(sin cos ) sin cos 0

a x x b x x c  (3)

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

4

t  x  x  x t 

2 1 2sin cos sin cos 1( 2 1).

2

Thay và (3) ta được phương trình bậc hai theo t

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sinx cos )x bsin cosx x c 0 (3’)

Để giải phương trình này ta cũng đặt

2

2; 2 sin cos 2 sin

1

2

t

t

   



  

 Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t

Lưu ý:



x x  x   x 



x x  x   x 

Dạng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

 Đặt:

4

t  x  x  x  Ñk  t

  



2 1 sin cos ( 1)

2

 Tương tự dạng trên Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Câu 1: Phương trình

1 sin cos 1 sin 2

2

có nghiệm là:

A

4

x k









 

8 2

x k













 

 , k  .

C

4

x k















2 2 2

x k















Câu 2: Phương trình

sin cos 1 sin 2

2

có nghiệm là:

A

4

x k















2 2 2

x k















C

3

4

2

x k













 

3 2













Câu 3: Giải phương trình 2sin 2x sinxcosx 1 0



hoặc

1 arccos





B

,



hoặc

arccos





C

,



hoặc

arccos







hoặc

1





Câu 4: Giải phương trình

4



B

C

Câu 5: Giải phương trình

A

2 19







B

2 19







C

2 19 arccos







D

2 19







Câu 6: Giải phương trình cos3xsin3xcos 2x

B

2

C

Câu 7: Giải phương trình cos3xsin3x2sin 2xsinxcosx

A

3

2



k

x

B

5 2



k x



k x

Câu 8: Giải phương trình 1 tan x2 2 sinx

A

B

C

D

VII PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH

Câu 1: Phương trình sin 3x 4sin cos 2x x có các nghiệm là:0

A

2

3

x k













  

x k













  

 , k n  ,

C

2

4

x k















  

 ,k n  , D

2 3 2 3

x k















 , k n  , .

Câu 2: [1D1-2] Nghiệm của pt cos2x sin cosx x0 là:

x k x  k

B x 2 k





 

C

2

x k

D

x  k x   k

Câu 3: Số nghiệm thuộc

69

;

14 10





 của phương trình 2sin 3 1 4sinx  2x 0

là:

Câu 4: Phương trình 2sinxcosx sin 2x  có nghiệm là:1 0

A

6

5

6

x k













 













2 6 5 2 6 2

x k













 













C

2 6

2 6

2

x k













 





  









2 6 2 6

x k













 





  









Câu 5: Phương trình sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x tương đương với phương trình

A

sin 0

1 sin

2

x

x







sin 0 sin 1

x x





sin 0

x x





sin 0

1 sin

2

x x







Câu 6: Giải phương trình cos3x sin3xcos 2x

x k  x  k x   k

x k  x  k  x k 

, k  .

x k  x  k  x  k

x k x   k x  k

, k  .