Phương trình lượng giác-LTĐH

Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác 1A/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1.. Công thức biến đổi: a... B/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.

Đỗ Minh Tuấn – THPT Mường Bi Ôn thi đại học – Phương trình lượng giác 1

A/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Hệ thức cơ bản

sin xcos x 1 tan cotx x  1

sin

tan

cos

x

x

x

1 tan

cos

x

x

cos

cot

sin

x

x

x

1 cot

sin

x x

2 Các cung liên kết:

sin(x) sinx tan(x) tanx

os( ) cos

sin(  x) sin x tan(  x) tanx

os( ) cos

c x   x cot(  x) cotx



 



 



 



 

sin(x ) sinx tan(x)tanx

os( ) cos

2

2

  

2

  

2

  

3 Công thức cộng:

sin(x y )  sin cosx y cos sinx y

cos(x y )cos cosx ysin sinx y

tan tan

tan( )

1 tan tan

x y



 



4 Công thức nhân đôi, hạ bậc

sin 2x2 sin cosx x

2

2 tan tan 2

1 tan

x x

x





2 1 cos 2 sin

2

x

2

2

cos 2 cos sin

2 cos 1

1 2 sin

x

x

cos

2

x

5 Công thức nhân ba, hạ bậc:

3 sin 3x3sinx4 cos x 3 3sin sin 3

sin

4

3 cos3x4 cos x3cosx 3 3cos cos3

cos

4

6 Công thức biểu diễn sin , cos , tanx x x theo tan

2

x

t  :

2

2 sin 1

t x t





2

2

1 cos 1

t x t





2 tan 1

t x t





7 Công thức biến đổi:

a Tổng thành tích:

cos cos 2 cos cos

cos cos 2 sin sin

sin sin 2 sin cos

sin sin 2 cos sin

sin( )

-cos -cos

x y



cot sin sin

y x y





Đặc biệt:

2

sin cos 2 sin 2 cos

sin cos 2 sin 2 cos

1 sin 2 (sin cos )

b Tích thành tổng:

1 cos cos cos( ) cos( )

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

2

9 Một số công thức đặc biệt:

sin cos 1 sin 2

2

sin cos 1 sin 2

4

1 tan

tan

x x x





   

sin xcos xcos2x

sin cos 1 sin 2

2

1 tan

tan

x

x x





   

B/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình cơ bản:

2



  

  



 Đặc biệt:

2

x x k  sin 1 2

2

x  x  k 

sinx0xk

2



  

  



 Đặc biệt:

cosx 1 xk 2 cosx  1 xk2

cos 0

2

x xk 

* tanxtanxk  (k  )

* cotx cotxk  (k  )

2 Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác:

Dạng: sinn 1sinn1 1sin 0 0



sin x có thể là cos x , tan x hoặc cot x

Cách giải:

Đặt tsinx, khi đó phương trình đã cho trở thành:

1



Chú ý:

Nếu tsinx hoặc tcosx thì ta có điều kiện t  1;1

3 Phương trình bậc nhất theo sin x và cos x : Dạng: sin a x b cosx , với điều kiện c ab  0 Điều kiện của pt có nghiệm là: a2b2c2

Cách giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho a2b2 và sau đó đưa

về phương trình lượng giác cơ bản

4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x : Dạng: asin2x b sin cosx x c cos2xd

Cách giải:

- Kiểm tra xem cosx 0 có thỏa mãn pt hay không?

- Nếu không thỏa mãn, ta chia cả hai vế của pt cho cos x ta 2

được pt: atan2x b tanx c d(1 tan 2x) (a d ) tan2x b tanx(c d )0 Đặt ttanx, khi đó pt trở thành: (a d t )2bt c d  0

Chú ý: Khi cosx 0 thì ta có: sin2x  1

5 Phương trình đối xứng:

Dạng: (sin a xcos )x bsin cosx x c 0

Cách giải:

- Đặt tsinxcosx, với t  2; 2

  Khi đó ta có:

1 2sin cos sin cos ( 1)

2

- Thay vào pt đã cho ta được pt bậc hai đối với ẩn t

Đỗ Minh Tuấn - THPT Mường Bi 3 Ôn thi đại học - Phương trình lượng giác

A02: Tìm no thuộc (0;2 ) của PT:

5     3

cos3x sin3x

1 2sin2x

B02: GPT: sin 3x cos 4 x sin 5 x cos 6 x.2  2  2  2

D02: Tìm no thuộc [0;14] của PT: cos3x 4cos2x 3cosx  4 0.

DB1: Xđ m để PT sau có ít nhất một no thuộc đoạn [0;/2]:

 4 4 

2 sin x cos x cos 4x2sin 2x m 0

DB2: GPT: sin4 cos4 1cot 2 1

x



DB3: GPT: 2 sin 2x sin 3x2 

4 tan x 1

4 cos x



 

DB4: GPT: tan x cos x cos x sin x 1 tan x tan2 x

2

DB5: Cho PT: 2sin x cos x 1 a

sin x 2cos x 3



  (2) (a là tham số)

a) GPT (2) khi a=1/3 b) Tìm a để PT (2) có nghiệm

DB6: Giải phương trình: 1 sin x

2 8cos x



CĐ-A02: GPT: sin cos x 1.

CĐ-A02: Giải phương trình: 1 sin x cos x 0   

CĐ-A02: Giải phương trình: 2cos 2x 8cos x 7 1 .

cos x

CĐ-A02: GPT

4sin 2x 6sin x 9 3cos 2x

0.

cos x



A03: Giải phương trình: cot x 1 cos 2x sin2x 1sin 2x.



B03: Giải phương trình: cot x tan x 4 sin 2x 2 .

sin 2x

D03: Giải phương trình sin2 x tan2x cos2 x 0.

2

2 4



DB1: Giải phương trình: 3  tan x tan x 2sin x   6 cos x  0

DB2: Giải phương trình: cos 2xcos x 2 tan x 1 2  2

DB3: Giải phương trình: 3cos 4x 8cos x 2cos x 3 0  6  2  

DB4: Giải phương trình: 2 3 cos x 2sin 2 x

2 4 1.

2cos x 1



  



DB5: Giải phương trình  

2 cos x cos x 1

2 1 sin x sin x cos x



 



DB6: Giải phương trình cot x tan x 2cos 4x.

sin 2x

CĐ03: Giải phương trình:

3cos x 1  sin x  cos 2x 2 sin x sin x 1  

B04: Giải phương trình 5 sin x  2  3 1 sin x tan   2x.

D04: Giải phương trình 2cos x 1 2sin x cos x     sin 2x sin x 

ĐH ĐDưỡng-04: GPT: 2sin x 1 2cos x sin x    sin 2x cos x 

CĐ04: Giải phương trình: cos3x 2cos 2x 1 2sin x sin 2x   

CĐSPHP-04: Giải phương trình:

cos x cos x cos x

CĐMGTW1-04: Giải phương trình: 3cos 2x 4cos x cos3x 0  3  

CĐMGTW1-04: Giải phương trình:

1 cos x cos 2x sin x sin 2x    

CĐ-A-04: Giải phương trình: sin x cos x sin x cos x.3  3  

CĐXD-A-04: Cho phương trình:

cos x sin x

m tan 2x

cos x sin x





a) GPT khi m=13/8 b) Định m để PT (1) vô nghiệm CĐ-04: Giải phương trình:

cos x sin x cos 2x 2cos x sin x cos x     1

CĐ-04: Giải phương trình: sin 4x.sin 2x sin 9x.sin 3x cos x   2 CĐ-A-05: Giải phương trình: cos 3x cos 2x cos x 0.2  2  B-05: Giải phương trình 1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0     

CĐSP Bninh: Giải phương trỡnh

2 sin x 2 sin x tan x.

4



CĐSP NB: 4cos x 2cos 2x 1 cos 4x2  2  

CĐSP HN: Giải phương trỡnh: cos x sin x sin x cos x.3  3  

CĐ GTVT-04: GPT:

1 cos3x.sin 2x cos 4x.sin x sin 3x 1 cos x

2

CĐGTVTIII-04: GPT: 2sin x 1 2cos 2x 2sin x 3      4sin x 1.2 

CĐKTKT-A-04: Gải phương trỡnh: cos x.cos 7x cos3x.cos5x 

CĐ-A-04: Giải phương trỡnh: sin x sin 2x 3

cos x cos 2x







CĐKTKT TB-04: Giải phương trỡnh: sin x sin 2x sin 3x 0   

CĐCN IV-04: Giải phương trỡnh: 3 cos 4x sin 4x 2cos 3x 0   

D-05: Giải phương trỡnh:

3

cos x sin x cos x sin 3x 0

        

A-05: GPT: cos23x.cos2x-cos2x = 0

A-06: GPT: 2 sin 6 cos6  sin cos

0

2 2sin





x

B-06: GPT: cot sin 1 tan tan 4

2

x

D-06: GPT: cos3x+cos2x-cosx-1=0

A07: GPT: (1 sin ) cos (1 cos ) sin 1 sin 2

2 B07: GPT: 2sin 2 sin 7 1 sin

2 D07: GPT: sin cos 3 cos 2

x

A08: Giải phương trỡnh: 1 1 4sin 7 x

3

sin x 2





B08: Giải phương trỡnh:

sin x 3 cos x sin cosx x 3 sin x.cosx

D08: Giải phương trỡnh: 2sin (1 cos2 ) sin 2x  x  x  1 2 cosx

A09: Giải phương trỡnh: (1 2sin )cos 3

(1 2sin )(1 sin )





B09: Giải phương trỡnh:

3

sinx cos sin2x x 3 cos3x 2(cos4x sin x)

D09: Giải phương trỡnh: 3 cos5x 2sin3 cos2x x sinx 0

A10: Giải phương trỡnh:

(1 sin cos2 )sin

cos

x x



  



B10: Giải phương trỡnh:

(sin 2x cos2 )cosx x 2 cos2x sinx 0 D10: Giải phương trỡnh: sin 2x cos2x 3sinx cosx  1 0

A11: Giải phương trỡnh: 1 sin 2 2cos2 2 sin sin 2

1 cot

x





B11: Giải phương trỡnh:

sin 2 cosx x sin cosx x cos2x sinx cosx

D11: Giải phương trỡnh: sin2 2cos sin 1 0

tan 3

x





VD1: Giải phương trỡnh:

3

VD2: Giải phương trỡnh:

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x

VD3: Giải phương trỡnh:

2 sin sin 2

VD14: Giải phương trình:

4 cos – cos 2   cos 4 cos

x

VD15: Giải phương trình:  

2 cos cos 1

2 1 sin sin cos





x

VD16: Giải phương trình:

1 sin sin cos sin 2 cos



Đỗ Minh Tuấn - THPT Mường Bi 5 ễn thi đại học - Phương trỡnh lượng giỏc

VD4: Giải phương trỡnh: 3sin 2 2 sin

2 sin 2 cos





VD5: Giải phương trỡnh:

cos 2x 5 2(2 cos )(sin x xcos )x

VD6: Tỡm nghiệm trờn khoảng 0;

2



của phương trỡnh:

2

2

x-4



VD7: Giải phương trỡnh:

sin tan 2x x 3(sinx 3 tan 2 )x 3 3

VD8: Giải phương trỡnh:

cos 3 cos sin 3 sin

8



VD9: Giải phương trỡnh:

9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 VD10: Tỡm nghiệm của pt: cosxcos x2 sin3x2 thoả

món: x 1 3

VD11: Giải phương trỡnh: (sin 2 sin 4) cos 2 0





x

VD12: Giải phương trỡnh: sinx cosx 4sin 2x1

VD13: Giải phương trỡnh: cos 3 cos 22 x x – cos2x  0

VD17: Giải phương trình:

sin sin 3 cos cos 3 1

8



 

VD18: Giải phương trình:

sin x.(1 cot ) cos x  x(1 tan ) x  2 sin 2x

VD19: Giải phương trình: sin 3 sin 2 sin

VD20: Giải phương trình: cos 3 cos 2 cos 1

2

VD21: Giải phương trình:

VD22: Giải phương trình:

2 sin sin 2

VD23: Giải phương trình:

2 sin

4 (1 sin 2 ) 1 tan cos





x

VD24: Giải phương trình:

tan 2 4 cos sin







x

VD25: Giải phương trình:

4