Sau đây là một số bài tập để các bạn tự kiểm tra kiến thức của mình trong việc vận dụng bất đẳng thức tam thức bậc ( α ) vào chứng minh các bất đẳng thức cũng như tìm GTLN - GTNN của biể[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————————
NGUYỄN VĂN DŨNG
ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC (α) ĐỂ CHỨNG MINH VÀ SÁNG TÁC BẤT ĐẲNG THỨC
TIỂU LUẬN
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Giáo viên giảng dạy GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU
Hà nội, 8 - 2012
Trang 2Lời nói đầu
Bất đẳng thức có vị trí quan trọng toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu
mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn
Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học, thi tuyển sinh vào các trường Đại học - Cao đẳng thì các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc vào loại khó hoặc rất khó Các bài toán về ước lượng và tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức cũng có ít nhiều liên quan đến bất đẳng thức
Bất đẳng thức tam thức bậc (α) là những mở rộng cơ bản và tự nhiên từ bất đẳng thức Cauchy
ở dạng sơ đẳng "x2+ 1 ≥ 2x, ∀x ∈ R", nhưng ứng dụng của nó trong việc chứng minh và sáng tác các bất đẳng thức lại là những kết quả rất đẹp Chính vì lý do đó mà tôi đã chọn đề tài này
Bài tiểu luận "Ứng dụng tam thức bậc (α) để chứng minh và sáng tác bất đẳng thức" gồm phần mở đầu và 3 chương
Chương 1 Kiến thức cơ sở
Chương này chủ yếu trình bày các bất đẳng thức tam thức bậc (α) đồng thời tác giả cũng sẽ đi chứng minh các bất đẳng thức này
Chương 2 Bài toán áp dụng
Chương này sẽ đi vận dụng bất đẳng thức tam thức bậc (α) để chứng minh một số bất đẳng thức cũng như nói về kỹ thuật sáng tác một số bất đẳng thức tương đương
Chương 3 Bài tập tự luyện
Chương này sẽ đưa ra một số bài tập để các bạn đọc tự kiểm tra các kiến thức đã tiếp thu được trình bày ở chương 1 và chương 2
Để hoàn thành tiểu luận này tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu đã nhiệt tình giảng dạy chuyên đề Bất đẳng thức, xin cảm ơn các bạn học cùng chuyên ngành Phương pháp toán
sơ cấp đã giúp đỡ tài liệu và có nhiều ý kiến quý báu
Trang 3Mục lục
1.1 Bất đẳng thức bậc 2 cơ bản 3 1.2 Bất đẳng thức tam thức bậc (α) 3
Trang 4Chương 1
Kiến thức cơ sở
Định lý 1.1 Với mọi số thực x ta luôn có
x2≥ 0, ∀x ∈ R (1.1) Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 0
Nhận xét 1.1 Bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức cơ bản và quan trong nhất trong chương trình đại số bậc trung học phổ thông Bây giờ nếu thay x trong (1.1) bởi x - 1 ta có kết quả sau
Định lý 1.2 Với mọi số thực x ta luôn có
x2+ 1 ≥ 2x, ∀x ∈ R (1.2) Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 1
Định lý 1.3 Cho α > 1, khi đó ta có bất đẳng thức
xα+ α − 1 ≥ αx, ∀x ∈ R+ (1.3) Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 1
Chứng minh Xét hàm số f (x) = xα+ α − 1 − αx, x > 0
Ta có f (1) = 0 và f0(x) = αxα−1− α = α(xα−1− 1)
Suy ra f0(x) = 0 ⇐⇒ x = 1 và x = 1 là cực tiểu duy nhất của f (x) trên R+ nên f (x) ≥ f (1) = 0 hay xα+ α − 1 ≥ αx, ∀x ∈ R+
Nhận xét 1.2 Trong trường hợp α ∈ N, ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh (1.3) Nhận xét 1.3 Bất đẳng thức (1.3) chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết
Nhận xét 1.4 Trong áp dụng, đặc biệt trong các dạng toán xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.3) chỉ được sử dụng trong các trường hợp đảm bảo dấu đẳng thức xẩy
ra khi và chỉ khi x = 1
Đối với trường hợp nếu dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = x0> 0 cho trước, ta phải sử dụng bất đẳng thức sau
Trang 5Nguyễn Văn Dũng * PPTSC 2011-2013 Tiểu luận môn Bất đẳng thức
Định lý 1.4 Cho trước x0> 0 và α > 1 khi đó ta có bất đẳng thức
x
x0
α
+ α − 1 ≥ αx
x0, ∀x ∈ R+ (1.4) Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = x0
Nhận xét 1.5 Việc chứng minh bất đẳng thức (1.4) xin dành cho độc giả
Nhận xét 1.6 Bất đẳng thức (1.4) còn có thể viết ở dạng sau
xα≥ xα
0 + α.xα−10 (x − x0), ∀x, x0∈ R+, α > 1 (1.5) Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = x0
4
Trang 6Chương 2
Bài toán áp dụng
Bài toán 2.1 Cho a, b, c là 3 số thực dương Chứng minh rằng
a b
3
+ b c
3
+c a
3
> a
b +
b
c+
c
Giải Trước hết áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có bất đẳng thức
t3+ 2 > 3t, ∀t > 0 (2.2) Bây giờ áp dụng bất đẳng thức (2.2) ta có các kết quả sau
a b
3
+ 2 > 3ab (2.3a)
b c
3
+ 2 > 3bc (2.3b)
c a
3
+ 2 > 3c
mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
2 a
b +
b
c+
c a
> 3.2 (2.3d) Cộng vế với vế (2.3a),(2.3b),(2.3c),(2.3d) và rút gọn ta có điều phải chứng minh
Bài toán 2.2 Cho a, b, c là 3 số thực dương Chứng minh rằng
a b
3
+ b c
3
+c a
3
>ab
2
+ b c
2
+c a
2
(2.4) Nhận xét 2.1 Ta thấy rằng vế trái của bất đẳng thức (2.4) có bậc 3 còn vế phải có bậc 2 nên ta
sẽ không sử dụng ngay bất đẳng thức (1.3) để chứng minh bài này được vì vế phải của bất đẳng thức (1.3) có bậc là 1
Nhận xét 2.2 Để giải quyết bài toán này trước hết ta phải đưa vế phải của (2.4) về bậc 1 sau đó là tương tự như bài toán 1 Muốn vậy ta sử dụng phép đặt ẩn phụ x = a2, y = b2, z = c2
Giải
Đặt x = a2, y = b2, z = c2thì khi đó bất đẳng thức (2.4) tương đương với bất đẳng thức
x y
3 2 +y z
3
2 +z x
3
2 >xy +y
z + z
x, ∀x, y, z > 0 (2.5)
Trang 7Nguyễn Văn Dũng * PPTSC 2011-2013 Tiểu luận môn Bất đẳng thức
Bây giờ áp dụng bất đẳng thức (1.3) ta có bất đẳng thức sau
t
3
2 +1
2 > 3
2t, ∀t > 0 (2.6)
Và áp dụng bất đẳng thức (2.6) và bất đẳng thức Cauchy ta có các bất đẳng thức sau
x y
3 2 +1
2 > 32.x
y z
3
2 +1
2 > 32.y
z x
3
2 +1
2 > 32.z
1 2
x
y +
y
z +
z x
> 3.12 (2.7d) Cộng vế với vế 4 bất đẳng thức (2.7a), (2.7b), (2.7c), (2.7d) ta sẽ có điều phải chứng minh Nhận xét 2.3 Như vậy khi gặp các bất thức có vế phải bậc khác 1 thì ta cần phải dùng phép đặt ẩn phụ để đưa vế phải về bậc 1 sau đó sử dụng bất đẳng thức (1.3)
Bài toán 2.3 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng
a b
2012
+ b c
2012
+c a
2012
>ab
1978
+ b c
1978
+c a
1978
(2.8) Nhận xét 2.4 Hoàn toàn tương tự như bài toán 2, ta có giải bài toán này bằng cách kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ và sử dụng bất đẳng thức (1.3)
Giải
Đặt x = a1978, y = b1978, z = c1978, khi đó bất đẳng thức (2.8) tương đương với bất đẳng thức
x y
1006 989 +y z
1006
989 +z
x
1006
989 > xy +y
z+
z
x, ∀x, y, z > 0 (2.9)
Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có bất đẳng thức
t
1006
989 + 17
989 >1006989 t, ∀t > 0 (2.10)
Và áp dụng bất đẳng thức (2.10) và bất đẳng thức Cauchy ta có các bất đẳng thức sau
x y
1006
989 + 17
989 > 1006
989 .
x
y (2.11a)
y z
1006
989 + 17
989 >1006989 y
z (2.11b)
z x
1006
989 + 17
989 >1006989 z
x (2.11c) 17
989
x
y +
y
z +
z x
> 3.98917 (2.11d) Cộng vế với vế 4 bất đẳng thức (2.11a), (2.11b), (2.11c), (2.11d) ta sẽ có điều phải chứng minh
6
Trang 8Nguyễn Văn Dũng * PPTSC 2011-2013 Tiểu luận môn Bất đẳng thức
Nhận xét 2.5 Cả 3 bài toán trên đều là trường hợp riêng của bài toán tổng quát sau đây, dựa vào bài toán này chúng ta có thể sáng tác được rất nhiều các bài tập tương tự
Bài toán 2.4 Cho a, b, c, α, β là các số thực dương và α > β Chứng minh rằng
a b
α
+ b c
α
+c a
α
>ab
β
+ b c
β
+c a
β
(2.12) Nhận xét 2.6 Việc chứng minh bài toán này dành cho độc giả, các độc giả hãy tự ra đề bài và chứng minh các bài tập của mình nhé
Bài toán 2.5 Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = a2 + b2 + c2
Giải
Đặt x = a2, y = b2, z = c2, ta suy ra a = x3, b = y3, c = z3 và x3 + y3 + z3 = 1; x, y, z >0 Khi đó bài toán trở thành tìm GTLN của M = x + y + z với điều kiện x3+ y3+ z3 = 1; x, y, z >0 Bây giờ ta đi chứng minh bất đẳng thức
t3 +1
6 >
3
√ 9
2 t, ∀t > 0, (2.13)
và dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi t = √ 31
9
Áp dụng bất đẳng thức (2.13), ta có các bất đẳng thức sau
x3 +1
6 >
3
√ 9
2 x (2.14a)
y3 +1
6 >
3
√ 9
2 y (2.14b)
z3 +1
6 >
3
√ 9
2 z (2.14c) Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.14a), (2.14b), (2.14c), ta được: x3+ y3+ z3+1
2 >
3
√ 9
2 (x + y + z) hay M 6√3
3, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ chi x = y = z = √31
9 Vậy maxM = √3
3 đạt được khi và chỉ khi a = b = c = 1
3 Nhận xét 2.7 Việc chứng minh bất đẳng thức (2.13) tương tự như chứng minh bất đẳng thức (1.4) Bài toán 2.6 Cho x, y, z là các số thực thỏa điều kiện x> 3, x + y > 5, x + y + z = 6
Chứng minh rằng x2+ y2+ z2
> 14 Giải Trước hết hiển nhiên ta có bất đẳng thức
t2> 2at − a2, ∀t (2.15)
Áp dụng bất đẳng thức (2.15), ta được các bất đẳng thức:
x2
> 6x − 9, y2
> 4x − 4, z2
> 2z − 1
Từ kết quả này, ta suy ra: x2+ y2+ z2
> 6x + 4y + 2z − 14 Hay x2+ y2+ z2
> 2 [(x − 3) + (y − 2) + (z − 1)] + 2 [(x − 3) + (y − 2)] + 2(x − 3) + 14 > 14 Suy ra: x2+ y2+ z2> 14
Dấu đẳng thức xẩy ra ⇐⇒ x = 3, y = 2, z = 1
7
Trang 9Nguyễn Văn Dũng * PPTSC 2011-2013 Tiểu luận môn Bất đẳng thức
Nhận xét 2.8 Ta có thể chuyển yêu cầu của bài toán trên về dạng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2+ y2+ z2 với điều kiện x> 3, x + y > 5, x + y + z = 6
Nhận xét 2.9 Bài toán 2.6 là trường hợp riêng của bài toán tổng quát sau đây
Bài toán 2.7 Cho a > b > c > 0 và các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x> c, x+y > b, x+y +z = a.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2+ y2+ z2
Nhận xét 2.10 Bây giờ ta sẽ đi xét bài toán ngược của bài toán 2.9 như sau
Bài toán 2.8 Cho các số thực x> y > z > 0 thỏa mãn điều kiện x 6 3, x + y 6 5, x + y + z = 6 Chứng minh rằng x2+ y2+ z26 14
Giải Trước hết hiển nhiên ta có bất đẳng thức
a2≥ b2+ 2b(a − b), ∀a, b (2.16)
Áp dụng bất đẳng thức (2.16), ta được các bất đẳng thức:
9 > x2+ 2x(3 − x), 4 > y2+ 2y(2 − y), 1 > z2+ 2z(1 − z), ∀x, y, z (2.17)
Từ kết quả (2.17), ta suy ra: x2+ y2+ z2
6 14 − 2 [x(3 − x) + y(2 − y) + z(1 − z)]
Hay
x2+ y2+ z26 14 − 2 [z(3 − x + 2 − y + 1 − z) + (y − z)(3 − x + 2 − y) + (x − y)(3 − x)] (2.18) Bây giờ kết hợp (2.18) với giả thiết ta suy ra: x2+ y2+ z2
6 14 Dấu đẳng thức xẩy ra ⇐⇒ x = 3, y = 2, z = 1
Nhận xét 2.11 Bài toán 2.8 là trường hợp riêng của bài toán tổng quát sau đây
Bài toán 2.9 Cho các số thực x> y > z > 0 thỏa mãn điều kiện x 6 a, x + y 6 b, x + y + z = c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = x2+ y2+ z2 trong đó a < b < c
Nhận xét 2.12 Lời giải của bài toán này xin dành cho độc giả
Bài toán 2.10 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng
a
b + c − a
2012
+
b
c + a − b
2012
+
c
a + b − c
2012
> 3 (2.19) Giải Trước hết theo (1.3) ta có bất đẳng thức sau
t2012+ 2011 > 2012t, ∀t > 0 (2.20) Dấu đẳng thức xẩy ra khi t = 1
Bây giờ áp dụng (2.20) ta có các bất đẳng thức sau
a
b + c − a
2012
+ 2011 > 2012b + c − aa (2.21a)
b
c + a − b
2012
+ 2011 > 2012c + a − bb (2.21b)
c
a + b − c
2012
+ 2011 > 2012a + b − cc (2.21c)
8
Trang 10Nguyễn Văn Dũng * PPTSC 2011-2013 Tiểu luận môn Bất đẳng thức
Bây giờ ta đi chứng minh bất đẳng thức
a
b + c − a+
b
c + a − b+
c
a + b − c > 3 (2.22) Thật vậy theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
a
b + c − a+
b
c + a − b+
c
a + b − c > 33
r abc (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c)
= 33
s
abc p(a + b − c)(b + c − a).p(b + c − a)(c + a − b).p(c + a − b)(a + b − c)
> 33
v
u
abc
a + b − c + b + c − a
2 .
b + c − a + c + a − b
2 .
c + a − b + a + b − c
2
= 3 (đpcm)
Từ (2.21), ta suy ra
2012
a
b + c − a+
b
c + a − b +
c
a + b − c
> 3.2012 (2.23)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.21a), (2.21b), (2.21c), (2.23) và rút gọn ta được điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.13 Bài toán trên là kết quả của bài toán tổng quát sau
Bài toán 2.11 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, α, β > 0 Chứng minh rằng
a
b + c − a
α
+
b
c + a − b
α
+
c
a + b − c
α
>
a
b + c − a
β
+
b
c + a − b
β
+
c
a + b − c
β
(2.24) Nhận xét 2.14 Việc chứng minh bài toán 2.11 xin dành cho độc giả
9
Trang 11Chương 3
Bài tập tự luyện
Sau đây là một số bài tập để các bạn tự kiểm tra kiến thức của mình trong việc vận dụng bất đẳng thức tam thức bậc (α) vào chứng minh các bất đẳng thức cũng như tìm GTLN - GTNN của biểu thức
Bài tập 3.1 Cho a, b, c là 3 các số dương Chứng minh rằng
a
b + c
3
+
b
c + a
3
+
c
a + b
3
> a
b + c+
b
c + a+
c
a + b Bài tập 3.2 Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác Chứng minh rằng
a
b + c − a
3
+
b
c + a − b
3
+
c
a + b − c
3
> 3 Bài tập 3.3 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2012 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M = a3 + b3 + c3 Bài tập 3.4 Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 2012 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = a2012+ b2012+ c2012 Bài tập 3.5 Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện a> 2, a + b > 5, a + b + c = 9 Chứng minh rằng
a3+ b3+ c3
> 99
Bài tập 3.6 Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện a> 2, a + b > 9, a + b + c = 1945 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = a2012+ b2012+ c2012 Bài tập 3.7 Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện a> b > c > 0, a 6 5, a + b 6 7, a + b + c = 10 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M = a25+ b25+ c25
Trang 12Kết luận
Xã hội là một giá trị tổng hòa các mối quan hệ, sự phát triển của mỗi cá nhân hay của các ngành nghề đều phải hướng đến sự phát triển chung của xã hội Trong sự biến đổi vận động muôn màu của
xã hội, Toán học đóng vai trò nền tảng để phát triển khoa học tự nhiên cũng như là sợi dây logic để kết nối các vấn đề xã hội Rèn luyện tư duy bất đẳng thức nói riêng và tư duy Toán học nói chung là những bước đi đầu tiên nhưng rất quan trọng đối với mỗi học sinh trong việc chuẩn bị hành trang tư duy để bước vào nền kinh tế tri thức Các bài toán trong bài tiểu luận này sẽ là một chìa khóa giúp cho học sinh rèn luyện thêm về tư duy bất đẳng thức thông qua các dạng của bất đẳng thức tam thức bậc (α)
Do thời gian cũng như vốn kiến thức về bất đẳng thức còn hạn chế nên nôi dung và cách trình bày chắc hẳn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của các bạn đọc
Hà nội, ngày 20 tháng 8 năm 2012
Tác giả Nguyễn Văn Dũng
Trang 13Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức - Định lí và áp dụng, NXB Giáo Dục, 2006