(TIỂU LUẬN) KHAI THÁC từ một số bất ĐẲNG THỨC cổ điển

LỜI CẢM ƠNĐề tài khóa luận tốt nghiệp: “Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển” được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô và bạn bè.. Mặt khác,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN -

LỜI CẢM ƠN

Đề tài khóa luận tốt nghiệp: “Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ

điển” được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của

các thầy cô và bạn bè

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo

hướng dẫn – TS Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình giúp đỡ em trong quá

trình hoàn thành khóa luận

Đồng thời em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong

tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóaluận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn

tận tình của TS Nguyễn Thị Kiều Nga.

Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng với bất kì đề tàinào khác Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực

Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình

Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Quan hệ thứ tự trên và bất đẳng thức 3

1.2 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 3

1.3 Hàm số lồi, hàm số lõm 4

1.3.1 Định nghĩa tập lồi 4

1.3.2 Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm 4

1.3.3 Tính chất cơ bản của hàm lồi 4

1.3.4 Hàm afin 5

CHƯƠNG 2 KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 6

2.1 Bất đẳng thức Cauchy(AM – GM) 6

2.1.1 Định nghĩa 6

2.1.2 Chứng minh 6

2.1.3 Khai thác từ bất đẳng thức Cauchy 7

2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski 25

2.2.1 Định nghĩa 25

2.2.2 Chứng minh 26

2.2.3 Khai thác từ bất đẳng thức Bunhiacopski 27

2.3 Bất đẳng thức Jensen 35

2.3.1.Định nghĩa 35

2.3.2 Chứng minh 36

2.3.3 Khai thác từ bất đẳng thức Jensen 37

2.4.1 Định nghĩa 54

MỘT SỐ KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nói chung, cuộc sống của mỗi con người luôn có sự tìm kiếm vàkhẳng định giá trị bản thân Mỗi vật có chỗ đứng trong thế giới luôn thayđổi này là nhờ giá trị của nó nhưng người ta thường không nhận ra rằngmọi vật chỉ có thể nhận giá trị trong quan hệ so sánh Chính quan hệ đó

đã tạo ra các bất đẳng thức của cuộc sống

Thực tế dù câu nói “mọi so sánh đều khập khiễng” có đúng đắn đếnmức nào thì con người vẫn không ngừng đánh giá – so sánh

Các bài toán so sánh đặtravề sau ngày càng khó hơn với sự mở rộngcủa các phép toán Tất cả các nhà toán học đều có chung một quan điểm

là “Các kết quả cơ bản của toán học thường được biểu thị bằng những

bất đẳng thức chứ không phải bằng những đẳng thức” Điều đó cũng

giống như trong cuộc sống người ta luôn gặp sự khác nhau giữa các sựvật hiện tượng và ngay trong bản thân mỗi sự vật hiện tượng cũng biếnđổi theo từng giây phút Mặt khác, trong đời sống xã hội chúng ta luôn

sử dụng tư duy bất đẳng thức để đánh giá hoạt động của doanh nghiệp,hoạt động xuất nhập khẩu, thị trường chứng khoán, tài chính, ngânhàng Vì thế để phát triển tư duy và đánh giá tốt các sự biến đổi trongcuộc sống thì cần phải có tư duy tốt về bất đẳng thức toán học

Nói riêng, trong chương trình toán phổ thông các bài toán về bấtđẳng thức thường là những bài toán đem lại cho học sinh nhiều thú vịsong chúng cũng là những bài toán khó Chúng thường có mặt trong các

đề thi học sinh giỏi và các kỳ thi cao đẳng, đại học Để giải quyết chúngđòi hỏi phải có sự sáng tạo, kiên trì, linh hoạt của người yêu thích toán

Tất nhiên có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán này và việc lựachọn một phương pháp tối ưu cho lời giải hay và ngắn gọn, đẹp mắt làviệc rất quan trọng Một trong các phương pháp đó là chúng ta sử dụngcác bất đẳng thức kinh điển, nhờ nó mà hầu hết các bài toán đều đượcgiải quyết một cách nhanh chóng.

Được sự động viên, chỉ bảo tận tình của cô Nguyễn Thị Kiều Ngacùng với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện

khóa luận với đề tài “Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Khai thác các ứng dụng của một số bất đẳng thức cổ điển

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài tập về bất đẳng thức

4. Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, so sánh, phân tích và tổng hợp

2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Quan hệ thứ tự trên và bất đẳng thức

Trên tập số thực xác định quan hệ “<” được định nghĩa như sau:

Với mọi a , b thuộc , ta có

a < b nếu b − a là số dương Ta kí hiệu a ≤ b nếu a < b hoặc a = b

a < b còn được viết là b > a

a ≤ b còn được viết là b ≥ a

Ta có tổng và tích của các số thực dương là một số thực dương

Cho hai biểu thức A và B Nếu xảy ra các quan hệ A < B, A ≤ B, B >

A, B ≥ A thì ta gọi đó là một bất đẳng thức A gọi là vế trái, B gọi là vế

1.3.3 Tính chất cơ bản của hàm lồi

Tính chất 1 Cho D là tập lồi trong Giả sử f1 (x), f2 (x), , f n (x)là các

hàm lồi xác định trên D Cho λi > 0 , với mọi i =1,2, , n Khi đó hàm số

λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) + + λn f n (x)cũng lồi trên D.

Tính chất 2 (Điều kiện để một hàm số là hàm lồi)

Cho D là tập lồi trên 2 Hàm f : D → là hàm lồi trên D khi và chỉ

khi (x1 , y1 ), (x2 , y2 )thuộc D thì

 ( x) = f (λ x1 + (1 − λ ) x2 ; λ y1 + (1 − λ) y2 ) là hàm lồi trên [0; 1]

Tính chất 3 Cho D ⊂2 là tập hợp lồi, hàm số f : D → là hàm lồi trên D

Khi đó với mọi số thực α thuộc thì các tập

Nαo = { (x , y )∈ D : f (x , y ) < α}

Nα = { (x , y )∈ D : f (x , y ) ≤ α}

là các tập lồi trong

quan niệm tập Φ là tập lồi

CHƯƠNG 2 KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN

2.1 Bất đẳng thức Cauchy(AM – GM)

2.1.1 Định nghĩa

Với mọi số thực không âm a1 , a2 , , a n ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = a n

Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng quy nạp theo n.

Với n =1:bất đẳng thức hiển nhiên đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với n số thực không âm, tức là

6

suy ra

hay bất đẳng thức đúng với n +1 số thực dương

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Hiển nhiên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2.1.3.1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1.Với a,b,c > 0 Chứng minh rằng:

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

a 5 + b5 + c 5 ≥ a2b3 + b2 c 3 + c 2 a3

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 2 Với a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

a3b3 + b3c3 + c 3 a3 ≥ abc (ab 2 + bc2 + ca2 )

Giải:

Chia 2 vế của (2) cho a 3b 3c3 > 0 Khi đó bất đẳng

minh tương đương với

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Ví dụ 3.Với a,b,c > 0 Chứng minh rằng:

(1 + a 3 )(1 + b 3 )(1 + c 3 )≥ ( a + bc)3

Giải:

Chia cả 2 vế cho b3c3 > 0 ta được

( 1 + a

8

tức là

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 6 Với a i > 0 (i =1,2, , n) thỏa mãn điều kiện ∑a i =1 Chứng

Nhân vế với vế của n bất đẳng thức trên ta được

Ví dụ 7 Với ai (i =1,2, , n) là các số thực dương Chứng minh rằng:

Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.

Bài 2 Cho a, b, c, d ≥ 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 1 Chứng

Bài 4 Với a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

Bài 5 Với a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:

Bài 6 Với a i ,b i (i =1,2, , n) là những số thực dương Chứng minh rằng:

Vậy ta có điều phải chứng minh

2.1.3.2 Xây dựng bất đẳng thức và áp dụng

Cơ sở lý luận: Từ bất đẳng thức Cauchy ta xây dựng các bất đẳng

thức trung gian dạng phân thức Sử dụng các bất đẳng thức trung gian đó

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đây là một bất đẳng thức khó với cách giải hay Sử dụng bất đẳng

thức này chúng ta chứng minh các bất đẳng thức hệ quả sau

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chọn α = β = 1, γ = 2 ta có bài toán sau:

Ví dụ 5 Với a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

Ví dụ 6 Với a, b, c > 0, α > 0 Chứng minh rằng:

P =

a a

Sử dụng kết quả của ví dụ 6 với α =1 ta có bài toán sau:

a3 + b3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có

Tương tự ta có

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

Tương tự

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cần

chứng minh

Nhận xét: Với α > 0 ta có

3 (a 3 + 2b 3 )≥ αab2

Sử dụng kết quả của ví dụ 13 và chọn α =1 ta có bất đẳng thức sau:

Ví dụ 14 Với a, b, c > 0 thì

Sử dụng kết quả của ví dụ 13 và chọn α =sau:

Ví dụ 15 Với a, b, c > 0 Chứng ming rằng:

ac (

c (a 3 + 2b 3 )+ b

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

Ví dụ 17 Áp dụng kết quả của ví dụ 16 ta chứng minh được bất đẳng

Vậy ta có điều cần chứng minh.

Sử dụng kết quả của ví dụ 18 với α =1 ta được bất đẳng thức sau:

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.

Bài 2 Với a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:

a b (a + b)2

Tương tự ta có

23

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.

Bài 3 Với a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:

Ta có:

Tương tự ta có

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh

Bài 4 Với a,b,c > 0 Chứng minh rằng:

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

(Quy ước nếu b j = 0 thì a j = 0 )

25

hay (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 )≥ ( a1b1 + a2b2 + + an b n )2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ∆′ = 0

Hay phương trình f (x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi

a1

b

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Sau đây là một dạng phát biểu khác của bất đẳng thức Bunhiacopski

Về mặt toán học có thể hiểu là dạng cộng mẫu số bởi vì: Vế trái là

tổng của n phân số nhờ chuyển hóa qua dấu bất đẳng thức mà ta nhận

được một phân số có mẫu số là tổng của n mẫu số ở vế trái Về mặt lịch

sử bất đẳng thức này có tên gọi là Engel.

Bước 1: Chỉ ra chặn trên và chặn dưới f (x), nghĩa là chứng minh

hai bất đẳng thức (nếu có) m ≤ f (x) ≤ M , trong đó m, M là hai hằng số.

Bước 2: Chứng minh dấu bằng có thể xảy ra, nghĩa là chứng minh

26

S ≤ (x2 + y2 ) (2 + x + y ) = 2 + x + y ≤ 2 + 2(x2 + y2 )

28

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

xy + yz + zt + tx ≤ x 2 + y 2 + z 2 + t 2

T ≤1⇒ −1≤T

y = sin x + 4cos x.

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

f( x ) = ( 2004 + 2006 − x2 )

Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = sin x cos x + cos x sin x.

31

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ta mở rộng bất đẳng thức Nesbit với vế trái gồm 5 số hạng của tổng

35

Vậy (1) đúng với n +1 nên theo nguyên lý quy nạp ta có (1) đúng với

mọi n ∈ * Vậy bất đẳng thức được chứng minh

38

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2 Cho x i > 0 với mọi (i =1,2, , n) Chứng minh rằng:

Bài tập tương tự Bài 1 Chứng minh rằng:

(b + c )a (c + a )b (a + b)c ≤ 

 2 (a

a + b +c

+ b + c)  với mọi a, b, c > 0.

Bài 3 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:

Ví dụ 1 Cho đa giác lồi A1 A2 A n Đặt A i A i+ 1 = a i (quy ước A n+ 1 = A1 ).

Với (i =1,2, , n) Cho M là điểm bất kỳ trong đa giác Gọi r i là bán kínhđường tròn nội tiếp ∆MA i A i+ 1 , (i =1,2, , n) Chứng minh rằng:

a) sin A +

sin B + sin

C ≤ 3 2 3

45

Vậy ta có điều phải chứng minh.

46

của đa giác.Giả sử a i

 cos α 1 + cos α 2 + + cos αn ≥ − cos   α1 + α 2 + +αn  

⇒ n − n cos

47

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đa giác đã cho đều

(1)

Do a, b > 0 , chia hai vế của bất đẳng thức (1) cho 3(a + b)ta được

Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

a + c )(b + c) ≤  a + 2c + b  2

, (a + b )(a + c) ≤  b + 2a + c  2

22

49

(b + c )(c + a) ≤ 





(c + a )(a + b) ≤ 

Nhân từng vế của các bất đẳng thức trên ta được

(c + a)2 ≤ ( a + 2 b +

c )( b + 2 c + a b )( + 2a

+ c ) 64

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a + b = b + c = c + a hay a = b = c

Vậy ta có điều phải chứng minh

ln  (1 + a)(1 + b)(1 + c)



50

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = (1 + a )(1 + b )(1 + c) là 64

 cot xdx = ln sin x + C2 = ln sin x (chọn

C2 = 0) Suy ra hàm f (x) = lnsin x là hàm lõm trên (0; π)

Với mọi A, B ∈(0; π ) Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có

51

sin A sin C ≤ cos2 B

2Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được

sin A sin B + sin C sin B + sin C sin A ≤ cos2 A

2 + cos2 B

2 + cos2 C

2

Vậy ta có bài toán:

Cho ∆ABC đều Chứng minh rằng:

sin A sin B + sin C sin B + sin C sin A ≤ cos 2 A

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B

Tương tự ta có sin C sin B ≤ cos2 A

2

B

sin Asin C ≤ cos2 2

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B = C hay ∆ABC đều.

Ví dụ 5 Đặt T = − (1 + tan

Ta có

52

 ln (cos A cos B cos C ) ≤ 3ln 1

2 ⇔ cos A cos B cos C

≤ 18 Vậy ta có bài toán sau: Cho ∆ABC đều Chứng minh rằng:

cos A cos B cosC ≤

Cách giải khác

cos Acos B cosC ≤

 4cos2 C − 4cos (A − B)cosC + 1 ≥ 0

Ta coi vế trái của bất đẳng thức trên là tam thức bậc 2 ẩn cosC

53

Hướng dẫn: Đặt T = sin x + 2 tan x ( 1+tan

Bài 2 Cho ∆ABC nhọn Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = (cos A + cos B )(cos B + cosC )(cosC + cos A)

Hướng dẫn: Đặt T = − cos x < 0 với mọi x ∈ 

Bài 3 Cho ∆ABC với chu vi 2 p Chứng minh rằng:

54

2. Bất đẳng thức Chebyshev trên hai dãy đơn điệu ngược chiều Cho

hai dãy hữu hạn các số thực a1 , a2 , , a n và b1 , b2 , ,b n Khi đó:

(2)

Ví dụ 1 Cho n số dương a1 , a2 , , a n sao cho a1.a2 a n ≥1 Chứng minh

rằng với mọi số tự nhiên n ta có

56

Ta có (a1 − 1) + ( a2 − 1) + + ( a n − 1) = a1 + a2 +

+ a n − n Theo bất đẳng thức Cauchy thì

Từ (3) suy ra

hay

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = a n

Ví dụ 2 Cho dãy số dương x1 , x2 , , x n Chứng minh rằng:

57

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0

58

Vậy ta có điều phải chứng minh.

59

60

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = e =1.

Ví dụ 8 Cho a , b, c là các số thực sao cho

Dẫn đến

61

Như vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

62

Bài 6. Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a + b +

63

Bài 7 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

2.4.3.2 Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev trong chứng minh các bất đẳng thức hình học và lượng giác.

Ví dụ 1 Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn và a,b,c là độ dài ba cạnh

64

Vậy ta có điều cần chứng minh.

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng:

Giải:

Ta có: tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan

C Suy ra (1) tương đương với

3(sin A + sin B + sin C ) ≤ (cos A + cos B + cosC )(tan A + tan B +

tan C) Giả sử A ≤ B ≤ C ⇒ tan A ≤ tan B ≤ tanC và cos A ≥ cos B

≥ cosC Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy trên, ta có

(1)

(2)

3(tan A cos A + tan B cos B + tan C cosC) ≤

(cos A + cos B + cosC )(tan A + tan B + tanC)

Suy ra

3(sin A + sin B + sin C ) ≤ ( cos A + cos B + cosC )(tan A + tan B + tan C )Suy ra (2) đúng Vậy (1) đúng

65

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Ví dụ 4 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có

a cos A + b cos B + c cosC

a + b + c

Giải:

Giả sử a ≤ b ≤ c ta có A ≤ B ≤ C ⇒ cos A ≥ cos B ≥ cosC

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy số ngược chiều ta có:

3(a cos A + b cos B + c cosC ) ≤ ( a + b + c )(cos A + cos B + cosC)

mà trong tam giác ABC ta luôn có bất đẳng thức cơ bản:

nên:

66

Bài 1 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ sin A + sin B + sin C.

Bài 2.Cho ∆ABC nhọn Chứng minh

Bài 3.Cho đa giác n cạnh có độ dài tương ứng là a1 , a2 , a n ≥1 và chu

vi p thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Bài 4 Cho a1 , a2 , , a n