Giáo án giảng dạy Môn Đại số Lớp 10 - Chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình

• Về kỹ năng: Vận dụng được tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản.. Biết vận dụng bất đẳng thức AM  GM vào việ[r]

Trang 1

chương IV: bất đẳng thức và bất phương trình

Đ1 bất đẳng thức

(2 tiết)

1 Mục tiêu Sau bài này

• Về kiến thức: Học sinh hiểu khái niệm bất đẳng thức và nắm được các tính chất của bất đẳng

thức Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số (AMGM: Arithmetic means  Geometric means) Biết được một số bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối thông dụng

• Về kỹ năng: Vận dụng được tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép biến đổi tương đương

để chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản Biết vận dụng bất đẳng thức AM  GM vào việc chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức đơn giản Chứng minh

được một số bất đẳng thức đơn giản có chứa giá trị tuyệt đối

2 chuẩn bị của giáo viên và học sinh.

Giáo viên: Chuẩn bị các ví dụ về bất đẳng thức mà học sinh đã học ở THCS giúp học sinh dễ

nắm các kiến thức trọng tâm

Học sinh: Ôn tập lại các kiến thức về bất đẳng thức đã được học ở THCS.

3 dự kiến phương pháp dạy học.

Sử dụng phương pháp vấn đáp gợi mở có phối hợp với phân bậc hoạt động theo các nội dung ghi bảng

4 tiến trình bài học

Tiết PPCT: 27 - Ngày 14/12/2006

Hoạt động 1 a) Hướng đích.

H1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

a) 3,25 < 4; b) 5 41; c)

4

H2: Chọn dấu thích hợp (=, <, >) điền vào ô vuông  để được mệnh đề đúng.

B) Bài mới.

Hoạt động 2

I- ôn tập bất đẳng thức

1 Khái niệm bất đẳng thức.

Các mệnh đề dạng “a<b” hoặc “a>b” được gọi là bất đẳng thức.

Ví dụ 1 Khẳng định nào sau đây đúng với mọi giá trị của x?

a) 2x > 5x; b) 4x > x; c) x3< x + 1; d)3x2 7x2;

Đáp số: c

2 Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương.

• Nếu mệnh đề “a<b  c<d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất

đẳng thức a<b và viết: a<b  c<d.

Ví dụ 2 Ta có a < b và b<c  a<c.

Với c tùy ý, ta có a<b  a+c < b+c

•Nếu bất đẳng thức a<b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng

thức tương đương với nhau và viết a< b  c<d

Ví dụ 3 Chứng minh a<b  ab < 0

Trang 2

H1: Chứng minh a < b  ab<0?

H2: Chứng minh a b < 0  a<b?

• Gợi ý trả lời H1:

Cộng b vào 2 vế của bất đẳng thức a<b ta

được bất đẳng thức hệ quả ab<0

Cộng b vào 2 vế của bất đẳng thức ab<0 ta

được bất đẳng thức hệ quả a<b

Vậy ta có a<b  ab<0

3 Tính chất của bất đẳng thức.

Để chứng minh bất đẳng thức chúng ta có thể vận dụng các tính chất sau:

a) a<b  a+c < b+c

b) Với c>0 ta có: a<b  ac<bc

c) Với c<0 ta có: a<b  ac>bc

d) a b a c b d

c d





   

 



e) Với a>0, c>0 ta có: a b ac bd

c d





 

 f) Với n nguyên dương, ta có: a b a2n 1  b2n 1 ;0 a b  a2n b2n

g) Với a>0 ta có: a b  a  b; a b  3a  3b

Ví dụ 4 Trong các số sau số nào nhỏ nhất (với x>3)

H1: Phương pháp xác định số nhỏ nhất?

H2: So sánh A và D?

H3: So sánh B và C?

H4: So sánh A và C?

So sánh theo từng cặp

Vì x>3 nên A<1, D>1  A<D

• Gợi ý trả lời H3: C<B

• Gợi ý trả lời H4: C<A

Vậy C 3 1 là số bé nhất trong các số đã

x

 

cho

• Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là

các bất đẳng thức Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt còn các bất đẳng thức dạng a<b hoặc a>b gọi là các bất đẳng thức ngặt Các tính chất trên cũng đúng với các bất

đẳng thức không ngặt

Ví dụ 5 Chứng minh rằng:

2 2 2

a b c ab bc ca 

Đẳng thức xảy ra khi nào?

H1: Phương pháp chứng minh?

H2: Thực hiện phép chứng minh?

Biến đổi về dạng A2B2 0

Ta có: a2b2c2 ab bc ca 

Bất đẳng thức trên luôn đúng, vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra  a = b = c

Trang 3

Ví dụ 6 Cho hàm số f (x) (x 3)(5 x)   với   3 x 5

Xác định x sao cho f(x) đạt gí trị lớn nhất.

H1: Khai triển f(x) thành đa thức?

H2: Biến đổi f(x) thành tổng (hiệu) các bình

phương? Từ đó tìm GTNN của f(x)?

Ta có Ta có: f (x) (x 3)(5 x)     x2 2x 15

Đẳng thức xảy ra  x  1 = 0  x = 1

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x = 1 và giá trị lớn nhất đó bằng 16

Hoạt động 3 Hướng dẫn học bài ở nhà:

• Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức

• Em đã biết những cách chứng minh bất đẳng thức nào?

Bài tập về nhà: 1, 2, 3  SGK

Rút kinh nghiệm và bổ sung:

Trang 4

Tiết PPCT: 28 - Ngày 14/12/2006

A) Bài cũ.

H1: Phát biểu các tính chất của bất đẳng thức?

B) Bài mới.

II– bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AMGM, Bất đẳng thức côsi)

1 Bất đẳng thức Cô  si.

Định lí Với mọi a, b ≥0 ta có ab a b (1)

2





Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Chứng minh:

H1: (1) tương đương với bất đẳng thức nào?

H2: Vậy đẳng thức xảy ra khi nào?

• Gợi ý trả lời H1: Ta có

(1)  a b 2 ab 0  a b 0

đúng a, b ≥0

• Gợi ý trả lời H2: Khi a  b a b

2 Các hệ quả.

Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

1

a

H1: áp dụng bất đẳng thức AMGM ta có

điều gì?

H2: Đẳng thức xảy ra khi nào?

• Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 a 1 (Vì a>0)

a

  

Hệ quả 2 Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

H1: Theo bất đẳng thức Côsi thì xy≤?

Ta có xy x y S, do đó



x y xy

4





Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

ý nghĩa hình học:

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hệ quả 3 Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

Ví dụ 1 Cho a, b là các số thực dương Chứng minh: a b 1 1 4

a b

   

Khi nào đẳng thức xảy ra?

Trang 5

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

H1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi, chứng

minh bất đẳng thức?

H2: Khi nào đẳng thức xảy ra?

Vì a>0 và b>0 nên 1 0,1 0

a  b 

áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a b 2 ab

  





 



 Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều trên ta có đpcm

• Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta có:

a b







III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

H1: Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối của

một số thực?

H2: Tính giá trị tuyệt đối của các số thực sau:

3,7; 0; 1

3  • Gợi ý trả lời H1: A A nếu A 0 -A nếu A<0      • Gợi ý trả lời H2: 1 1 3,7 3,7; 0 0; 3 3     Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất: 1) x 0, x x, x  x, x A 2) Với a>0 ta có: a) x     a a x a b) x   a x a hoặc x a 3) a     b a b a b Ví dụ 2 Cho x[2; 0] Chứng minh rằng x a 1  Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: x[2; 0]  x+1? H2: Kết luận về x 1 ? • Gợi ý trả lời H1:   x 2;0         2 x 1 1 x 1 1 • Gợi ý trả lời H2: Suy ra x 1 1  Hoạt động 6 Hướng dẫn học bài ở nhà: • Bất đẳng thức AMGM (Bất đẳng thức côsi)? • Các tính chất bất đẳng thức của giá trị tuyệt đối? Bài tập về nhà: 4, 5, 6- SGK Rút kinh nghiệm và bổ sung:

Trang 6

Đ2 bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

(3 tiết)

1 Mục tiêu Sau bài này

• Về kiến thức: Học sinh biết khái niệm bất phương trình, nghiệm của bất phương trình, hệ bất

phương trình, nghiệm của hệ bất phương trình Biết khái niệm hai bất phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương các bất phương trình

• Về kỹ năng: Nêu được điều kiện xác định của bất phương trình Nhận biết được hai bất phương

trình tương đương trong các trường hợp đơn giản Vận dụng được các phép biến đổi tương đương

để đưa một bất phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn

2 chuẩn bị của giáo viên và học sinh.

Giáo viên: Chuẩn bị các ví dụ về bất phương trình mà học sinh đã học ở THCS giúp học sinh dễ

nắm các kiến thức trọng tâm

Học sinh: Ôn tập lại các kiến thức về bất phương trình đã được học ở THCS.

3 dự kiến phương pháp dạy học.

Sử dụng phương pháp vấn đáp gợi mở có phối hợp với phân bậc hoạt động theo các nội dung ghi bảng

4 tiến trình bài học

Tiết PPCT: 31 - Ngày 08/01/2007

Hoạt động 1 A) Hướng đích.

H1: Lấy một vài thí dụ về bất phương trình? Nghiệm?

B) Bài mới.

I- khái niệm bất phương trình một ẩn

1 Bất phương trình một ẩn.

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng: f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) (1)

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x.

Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1) Số thực x 0 sao cho f(x 0 )<g(x 0 ) (f(x 0 )≤g(x 0 )) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình

vô nghiệm.

• Chú ý Bất phương trình (1) cũng có thể được viết: g(x)>f(x) (hoặc g(x) ≥ f(x)).

Ví dụ 1 Cho bất phương trình 2x +1 ≤ 5

a) Trong các số 2; 3; 3,5;  số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phương trình trên?

b) Giải bất phương trình đó và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số

H1: 2 có là nghiệm của bất phương trình

không? Vì sao?

H2: Tương tự, kiểm tra các giá trị còn lại?

Thay giá trị x =2 vào bất phương trình ta có: 2.(2)+1=3<5

Vậy 2 là một nghiệm của bất phương trình đã cho

Tương tự, ta có: 3; 3,5;  không phải là nghiệm của bất phương trình

2 Điều kiện của một bất phương trình.

Tương tự như đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là

điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).

Ví dụ 2 Tìm điều kiện của các phương trình sau:

Trang 7

a)

H1: Phương pháp xác định số nhỏ nhất?

H2: So sánh A và D?

H3: So sánh B và C?

H4: So sánh A và C?

So sánh theo từng cặp

Vì x>3 nên A<1, D>1  A<D

• Gợi ý trả lời H3: C<B

• Gợi ý trả lời H4: C<A

Vậy C 3 1 là số bé nhất trong các số đã

x

 

cho

• Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là

các bất đẳng thức Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt còn các bất đẳng thức dạng a<b hoặc a>b gọi là các bất đẳng thức ngặt Các tính chất trên cũng đúng với các bất

đẳng thức không ngặt

Ví dụ 5 Chứng minh rằng: a2b2c2ab bc ca 

Đẳng thức xảy ra khi nào?

H1: Phương pháp chứng minh?

H2: Thực hiện phép chứng minh?

Biến đổi về dạng A2B2 0

Ta có: a2b2c2 ab bc ca 

Bất đẳng thức trên luôn đúng, vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra  a = b = c

Ví dụ 6 Cho hàm số f (x) (x 3)(5 x)   với   3 x 5

Xác định x sao cho f(x) đạt gí trị lớn nhất.

H1: Khai triển f(x) thành đa thức?

H2: Biến đổi f(x) thành tổng (hiệu) các bình

phương? Từ đó tìm GTNN của f(x)?

Ta có Ta có: f (x) (x 3)(5 x)     x2 2x 15

Đẳng thức xảy ra  x  1 = 0  x = 1

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x = 1 và giá trị lớn nhất đó bằng 16

Hoạt động 3 Hướng dẫn học bài ở nhà:

• Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức

• Em đã biết những cách chứng minh bất đẳng thức nào?

Bài tập về nhà: 1, 2, 3  SGK

Rút kinh nghiệm và bổ sung:

Trang 8

Tiết PPCT: 32 - Ngày 08/01/2007

A) Bài cũ.

H1: Phát biểu các tính chất của bất đẳng thức?

B) Bài mới.

II– bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AMGM, Bất đẳng thức côsi)

1 Bất đẳng thức Cô  si.

Định lí Với mọi a, b ≥0 ta có ab a b (1)

2





Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Chứng minh:

H1: (1) tương đương với bất đẳng thức nào?

H2: Vậy đẳng thức xảy ra khi nào?

(1)  a b 2 ab 0  a b 0

đúng a, b ≥0

• Gợi ý trả lời H2: Khi a  b a b

2 Các hệ quả.

Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

1

a

H1: áp dụng bất đẳng thức AMGM ta có

điều gì?

• Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 a 1 (Vì a>0)

a

  

Hệ quả 2 Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

H1: Theo bất đẳng thức Côsi thì xy≤?

Ta có xy x y S, do đó



x y xy

4





Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hệ quả 3 Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

Ví dụ 1 Cho a, b là các số thực dương Chứng minh: a b 1 1 4

a b

   

Khi nào đẳng thức xảy ra?

Trang 9

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

H1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi, chứng

minh bất đẳng thức?

H2: Khi nào đẳng thức xảy ra?

Vì a>0 và b>0 nên 1 0,1 0

a  b 

áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a b 2 ab

  





 



 Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều trên ta có đpcm

• Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta có:

a b







III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

H1: Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối của

một số thực?

H2: Tính giá trị tuyệt đối của các số thực sau:

3,7; 0; 1

3  • Gợi ý trả lời H1: A A nếu A 0 -A nếu A<0      • Gợi ý trả lời H2: 1 1 3,7 3,7; 0 0; 3 3     Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất: 1) x 0, x x, x  x, x A 2) Với a>0 ta có: a) x     a a x a b) x   a x a hoặc x a 3) a     b a b a b Ví dụ 2 Cho x[2; 0] Chứng minh rằng x a 1  Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: x[2; 0]  x+1? H2: Kết luận về x 1 ? • Gợi ý trả lời H1:   x 2;0         2 x 1 1 x 1 1 • Gợi ý trả lời H2: Suy ra x 1 1  Hoạt động 6 Hướng dẫn học bài ở nhà: • Bất đẳng thức AMGM (Bất đẳng thức côsi)? • Các tính chất bất đẳng thức của giá trị tuyệt đối? Bài tập về nhà: 4, 5, 6- SGK Rút kinh nghiệm và bổ sung:

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	247,06 KB