ON DAI HOC BAT DANG THUC

M ặt khác, áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:... T ìm giá tr ị lớn nhất của biểu[r]

1/ Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn : x +3y+5z  3 Chứng minh rằng:

y

25

425

2 2 ( ) 5 3

(

z y x z y

x

2 3

) 5 3 (

36 )

5 3 (.

9

z y x z

y

Đặt t = 3 2

) 5 3 (x y z

3

5 3 )

5 3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

3/ Cho 3 số dương x,y,z thừa món: xyz=1 CMR:

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

4/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ( với n  2), ta có: ln2n > ln(n-1).ln(n+1)

4

1 4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0

6/ Cho tam giác ABC với các cạnh là a, b, c Chứng minh rằng:

3 3 3 2 2 2 2 2 2

a b c  abca b c b c a c a b

Giải

Do đó cos cos cos 3

Ta có: 4(x3+y3)(x+y)3 , với x,y>0

Thật vậy: 4(x3+y3)(x+y)3 4(x2-xy+y2)(x+y)2 (vì x+y>0)

3x2+3y2-6xy0 (x-y)20 luôn đúng

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 4

Vậy P12, dấu ‘=’ xảy ra x = y = z =1

9/ Cho 3 số thực a,b,c tựy ý Chứng minh rằng:

ỡ : sin( ) sin ( ) ( ) ) sin( ) os( ) os( ) sin( )

 Điều phải chứng minh

10/ Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

1 1 1 1

xy  y z z x 

Giải

Đặt x=a3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-abab

a b c c a b  DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1

11/ Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a2 +b2=1; c – d =3 Chứng minh:

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 6

17/ Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4

Dấu "=" xảy ra  a+c = b+d

 abc bcd cda dab ab c d  cd b a  a b c d c d b a

2 4 2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1

18/ CMR: Với mọi tam giác ABC ta luôn có:

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 8

§Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-abab

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 10

( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1)

27/ Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b c 1 Chứng minh rằng:

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 1228/ Cho a, b,c0 : abc1 Chứng minh rằng:

2 2

a c a c

c b c

Mặt khác từ (1) ta có: uv  1 (u v )2 1 (3)

và (u v)2 1 3uv 1 3(u v)2

4

       (u v )24  u v  2 (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra được điều cần chứng minh (2)

32/ Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

3 (1  )(1  )(1  )(1  )(1  )(1  )

3 1

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 14

36/ Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng:

27a b c  abc

Giải

Vì a + b + c = 2 nên độ dài mỗi cạnh nhỏ hơn 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương: 1 – a, 1 – b, 1 – c

 f (x) là hàm số đồng biến và f (x) = 0 có tối đa một nghiệm

Kiểm tra thấy x = 0 là nghiệm duy nhất của f (x)=0

Dựa vào BBT của f(x)  f x( )  0,  x R

Vì 0  A  3    3 4 3 B   3 4 3 Đây là điều phải chứng minh

40/ Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh bất đẳng thức:

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 16

2 2

3 3 2

44/ Cho a, b, c là những số dương thoả mãn: a2b2c2  3 Chứng minh bất đẳng thức:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

45/ Cho x, y, z là những số dương thoả mãn: x2y2z2xyz Chứng minh bất đẳng thức:

x2 yz y2 xz z2 xy

1 2

Giải

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 18

3 3 2

1  

Thật vậy, áp dụng BĐT Cô–si ta có:

3 3 2

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh

49 / Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc 3.Chứng minh rằng:

) (

3 )

,

,

*Trước hết ta chưng minh: f(a,b,c) f(a,t,t):Thật vậy

Do vai trò của a,b,c như nhau nên ta có thể giả thiết abc

2

2

4

) ( 4

4

) ( 2

2

)(2

)(3

c b a c b

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 20Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc1,ab bc ca   3 abc1, ( , ,a b c0).

51/ Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương

*áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được

Suy ra: 2

2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc1,ab bc ca 3 ab c 1, ( , ,a b c0)

55/ Cho x , y , z là ba số thực thỏa món : 5-x + 5-y +5-z = 1 Chứng minh rằng

Cộng vế với vế cỏc bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điều phải chứng minh

56/ Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 22

Từ đó tacó VT 3 1 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3

57/ Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

xy  y z  z x 

Giải

Đặt x=a3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-abab

58/ Cho a, b,c0 : abc1 Chứng minh rằng: 1 1 1

Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương

*áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 24

62/ Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng:

Giải

Thay vào ta suy BĐT được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =

 BĐT cần chứng minh tương đương với

 Dựa vao bảng biến thiên ta có f(t) với mọi t > 0

 Từ đó A = với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nên x = y

 Do vai trò là như nhau nên BĐT cần chứng minh tương đương

 Áp dụng BĐT cô si ta có

63/ Cho x , y , z là ba số thực thỏa món : 5-x + 5-y +5-z = 1 Chứng minh rằng

Cộng vế với vế cỏc bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điều phải chứng minh

64/ Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3

65/ Cho a0;b0 và a  b 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 26

Ta có

ab

ab b

a

ab b

a b

Giải

Ta có xy yz xz 2xyz 1 1 1 2

x y z

P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 28+) Theo B ĐT Côsi ta có      

3 2 2 3

1 1

1

a a

c c c

b b b

1 1

2 1

2 2

4

2 2 2

b

a b

1 1

2 1

2

2 2

2 2

3

c c

b c

1 1

2

1

2

2 2

2 2

3

a a

c a

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16



6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

3 2 2

9 2 2

3 2 2

42 2

 ; đặt t = x2 + y2 , 0 < t ≤ 1, xét hàm số:

74/ Cho a, b, c là các số dương thuộc khoảng 0; 6 và a  b c 3 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB 6

Do 0  a  6, trên đường tròn ta lấy điểm M sao cho 2

AM  a  MB  6  a Gọi C là điểm chính giữa của nửa cung tròn chứa điểm M  CO  AB

(Chú ý rằng các tam giác MAB và CAB vuông tại M và C)

Ta có: 2SAMBAM.MBHM.ABCO.AB (Vì MHOC)

(1) Dấu đẳng thức xảy ra khi a  3

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

Vậy Pmin  3 đạt được khi a = b = c = 3

75/ Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y) P

P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

3 Vì vậy, minP = 2

76/ Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện

xy + yz + zx  2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

O H

2

6 a 

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 30

P xy

7

'

2 2 1

t t P

t



, P'0 t 0( ),th t 1(kth)

Ta có: P + 3 = 2

2

3 2 2

3 2 2 3

1 1

1

a a

c c c

b b b

1 1

2 1

2 2

4

2 2 2

3

b b

a b

1 1

2 1

2

2 2

2 2

3

c c

b c

1 1

2

1

2

2 2

2 2

3

a a

c a

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16



6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

3 2 2

9 2 2

3 2 2

sin cos 1 sin cos

3 1

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 32

82/ Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a  b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Theo cô – si có 222b2c 3 23 a b c  6 Tương tự …

Vậy M 3 29. Dấu bằng xảy ra khi abc 1.

83/ Cho x,y,z thoả mãn là các số thực: x2xy y2 1.Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức

1

1 2 2

4 4

y x

y x

xy xy xy y

xy x

3 3

) ( 1

2 1

2

2 2

2 2 )

2 6 0

) 2 (

6 1 0 )

(

l t

t t

f ,f( 6  2 ),f(1) cho ra kÕt

qu¶: MaxP  f( 6  2 )  6  2 6,

15

11 ) 3

1 ( minP  f  84/ Cho a, b, c 0 và 2 2 2

3 2 2 3

1 1

1

a a

c c c

b b b

1 1

2 1

2 2

4

2 2 2

b

a b

1 1

2 1

2

2 2

2 2

3

c c

b c

1 1

2 1

2

2 2

2 2

3

a a

c a

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16



6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

322

922

322

sin sin

x x

c x b

a y

Giải

y2 2 2 2 1  2 sin2  sin22  65 1  2 sin2  sin22

Đặt f(x) = 1  2 sin2x sin22x 1  2 sin2x 4 sin2x.( 1  sin2x)

f(x) =  4 sin4x 6 sin2x 1, Đặt sin2xt , t0 , 1

g(t) =

4

3 0

) (

; 6 8 ) ( 1

3 sin 4

3 4

5 13 4

x a

2 sin sin 2 1



hay

c b

3 2

6 1

1

1

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 34

5 2

15 30

5 2 65

2 2 2

c b a c

b

a c

b

87/ Cho tam giác nhọn ABC , tìm giá trị bé nhất của biểu thức:

S  cos 3A 2 cosA cos 2B cos 2C

Giài

C B

A A

S  cos 3  2 cos  cos 2  cos 2 =cos3A2cosA2cos(BC)cos(BC)

cos3A2cosA1cos(BC)

Vì cosA0,1cos(BC)0nên S  cos 3A, dấu bằng xẩy ra khi cos(B  C)1 hay

Tóm lại : S có giá trị bé nhất bằng -1 khi ABC là tam giác đều

88/ Cho x,y,z là ba số thực dương cú tổng bằng 3.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ bảng biến thiờn suy ra MinP=7 x yz1

89/ Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món: x2 + y2 + z2  3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu

Theo cô – si có 222b2c 3 23 a b c  6 Tương tự …

Vậy M 3 29. Dấu bằng xảy ra khi abc 1.

91/ Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biểu

12

xy xy

2

1 x y xy   xy Đặt  2

1

; 0

t , suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên nửa

1 min

min

] 16

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 36

Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1

94/ Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

1 3

1 3

1

a c c b b

9 z

1 y

1 x

1 9 xyz

3 xyz 3 z

1 y

1 x

3 3

3

9 a

3 c

1 c 3 b

1 b

a

1 P

áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có    

95/ Cho x,y  R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của  3 3  2 2

t

xy 

3 2

(3 2) 1

t xy

   nên ta có 2

3 2

2 2

(3 2) 4

2 1

4

t t

t t

t P

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 38Tương tự ta có 1 1 1 1 1 x 1 z 1 2 (x 1)(z 1) (2)

99/ Cho x0,y0,x y1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 1

Từ bảng biến thiên suy ra MinP=7 x yz1

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 40

101/ Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abcacb Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức:

1

31

21

2

2 2

2,   Ta được b tanAC

A A

C C

A A

P

2 2

2 2

2

2 2

2

cos 3 sin C 2A 2sin

cos 3 2C 2A cos - cos2A

cos 3 cos

2 2cos

1 tan

3 1

tan

2 1

tan 2

1 sin 3

10 3 sin 3 sin

1 2

sin

3

1 sin

C C A

C A C

Từ

4

2 tan 3

1

sinC   C từ sin2AC1cos2AC0được

2

2 tan A

; 2

2 3

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 42

P xy

t

2 2

7 '

108/ Với mọi số thực dương x y z; ; thỏa điều kiện x y z 1   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:        

Vậy: min f(x) = 2 đạt được khi x = 1

110/ Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a4 + b4 + c4

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có:

2009

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 2005

Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3

111/ Cho các số thực x y z, ,  (0;1) và xyyzzx 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4

y x

y x

xy xy xy y xy x

3 3

) ( 1

2 1

2

2 2

22)

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 44

2 6 0

) 2 (

6 1 0

)

(

l t

t t

f ,f( 6  2 ),f(1) cho ra kÕt qu¶:

626)26

1 ( minP  f  

113/ Cho x, y là hai số dương thay đổi thoả điều kiện 4(x + y) – 5 = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 4 1

sin sin

x x

c x b

a y

Giài

y2a2b2c21  2 sin2x sin22x 651  2 sin2x sin22x

Đặt f(x) = 1  2 sin2x sin22x 1  2 sin2x 4 sin2x.( 1  sin2x)

f(x) =  4 sin4x 6 sin2x 1, Đặt sin2xt , t0 , 1

g(t) =

4

3 0

) (

; 6 8 ) ( 1

Max g(t)

3 4

3 sin 4

3 4

5 13 4

5 2

15 30

5 2 65

2 2 2

c b a c

b

a c

3 2

(3 2) 1

t xy

   nên ta có

2

3 2

2 2

(3 2) 4

2 1

4

t t

t t

t P

Theo cô – si có 222b2c 3 23 a b c  6 Tương tự …

Vậy M 3 29 Dấu bằng xảy ra khi abc 1.

117/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 2sin8x + cos42x

Giải

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 46

Qua b¶ng biÕn thiªn ta cã : miny = 1

3 2 2 3

1 1

1

a a

c c c

b b b

1 1

2 1

2 2

4

2 2 2

3

b b

a b

1 1

2 1

2

2 2

2 2

3

c c

b c

1 1

2

1

2

2 2

2 2

3

a a

c a

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16



6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

322

922

322

1

13

1

a c c b b a

9 z

1 y

1 x

1 9 xyz

3 xyz 3 z

1 y

1 x

3 3

3

9a

c

1cb

1b

a

1P

7

'

2 2 1

t t P

t



, P'0 t 0,t 1( )L

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 48

122/ Cho 3 số dương tựy ý x,y,z Tỡm Min của:

3

2 3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

123/ cho tam giác nhọn ABC , tìm giá trị bé nhất của biểu thức:

S  cos 3A 2 cosA cos 2B cos 2C

Giải

C B

A A

S  cos 3  2 cos  cos 2  cos 2 =cos3A2cosA2cos(BC)cos(BC)

cos3A2cosA1cos(BC)

Vì cosA0,1cos(BC)0nên S  cos 3A, dấu bằng xẩy ra khi cos(B  C)1 hay

Tóm lại : S có giá trị bé nhất bằng -1 khi ABC là tam giác đều

124/ Xột cỏc số thực dương x, y, z thỏa món điều kiện x + y + z = 1

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y) P

P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1

4

9 ( ) ( ) 6 12

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 50

 

2

2 2 2

t y

y t



Giải:

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 52

t t

5

134/ Cho x, y, z  0thoả mãn x + y + z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

3 16

sin cos 1 sin cos

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 54

31

Thay x F3yvào bpt ta được: 50y230Fy5F25F 8 0

Vì bpt luôn tồn tại y nên y 0  25F2250F 4000  2 F  8

139/ Cho các số a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T Dấu "=" xảy ra  a = b = c = 1

3 minT = 6

2

140/ Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abca c b Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu

141/ Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 56Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 1

144/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 2 cos

sin (2cos  sin )

147/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1 2009

x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 58

t

xy 

3 2

(3 2) 1

t xy

   nên ta có 2

3 2

2 2

(3 2) 4

2 1

4

t t

t t

t P

Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra P  1 minP 1 khi ab c 1

153/ Cho x và y là hai số dương thoả mãn x y 2  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

Bài tập bất đẳng thức,GTLN,GTNN Gv : Đỗ Gia Phước 60

Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra P  1 minP 1 khi ab c 1

154/ Cho x, y là hai số thực thoả mãn x2xy y 22 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x22xy3y2

Xét phương trình: t t m

t t

2 2

3 3

1 3

1 3

1

a c c b b a

9 z

1 y

1 x

1 9 xyz

3 xyz 3 z

1 y

1 x

3 3

3 3

a 3 c c 3 b b a

9 a

3 c

1 c

3 b

1 b

a

1 P