khóa luận tốt nghiệp các bất đẳng thức cơ bản và tiêu chuẩn hội tụ của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Ngày nay với sự hỗ trợ tích cực của máy tính và công nghệ thông tin Lý thuyết xác suất thống kê đã không ngừng phát triển và có mặt trong nhiều Với các lý do nêu trên, trong thời gian qu

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong khoa học cũng như trong thực tiễn, chúng ta thường gặp các hiện tượng ngẫu nhiên- đó là những hiện tượng mà chúng ta không thể khẳng định một cách chắc chắn rằng chúng có xảy ra hay không xảy ra Lý thuyết xác suất

là một ngành toán học nghiên cứu các quy luật và các quy tắc tính toán trong thế giới ngẫu nhiên- một thế giới tưởng chừng không có quy luật Ngày nay lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học lớn, vừa có tầm lý thuyết ở trình

độ cao, vừa có phạm vi ứng dụng rộng rãi trong khoa học cũng như trong cuộc sống thực tiễn Lý thuyết xác suất là cơ sở khoa học để nghiên cứu Thống kê- môn học với chức năng thu thập thông tin, chọn mẫu, xử lý thông tin nhằm đưa

ra các kết luận cần thiết nhằm phục vụ cho nghiên cứu khoa học và đời sống thực tiễn Ngày nay với sự hỗ trợ tích cực của máy tính và công nghệ thông tin

Lý thuyết xác suất thống kê đã không ngừng phát triển và có mặt trong nhiều

Với các lý do nêu trên, trong thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo

viên bộ môn, chúng tôi xin giới thiệu chuyên đề “Các bất đẳng thức cơ bản và tiêu chuẩn hội tụ của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khoá luận này là nghiên cứu các vấn đề về tổng của các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, từ đó áp dụng vào chứng minh một số mệnh đề liên quan đến sự hội tụ của tổng đó

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là nghiên cứu các bất đẳng thức cơ bản và tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Phạm vi nghiên cứu tập trung chính ở sự hội tụ của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu về xác suất có liên quan đến khóa luận

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 Những kiến thức cơ sở

Trong chương này, tôi trình bày những kiến thức có liên quan đến nội dung của khoá luận

Chương 2 Một số bất đẳng thức cơ bản và tiêu chuẩn hội tụ của tổng các

đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Đây là nội dung trọng tâm của khóa luận Trong chương này tôi trình bày một số bất đẳng thức cơ bản và một số dạng hội tụ của chuỗi các đại lượng ngẫu nhiên độc lập Đặc biệt, tôi đã trình bày và chứng minh đầy đủ một số mệnh đề

về sự hội tụ của chuỗi các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Chương 1.CƠ SỞ LÍ THUYẾT







1.2 Độ đo xác suất Giả sử    , A là một  - đại số các tập con của

 Ánh xạ P: A  gọi là một độ đo xác suất   cộng tính trên A nếu:

1.4 Đại lượng ngẫu nhiên Giả sử ( , ,P) là không gian xác suất, B(R)

là   đại số Borel trên Khi đó ánh xạ X:   được gọi là một đại lượng

ngẫu nhiên nếu X1( )B A, với mọi BB( R)

Sự độc lập của các biến cố được định nghĩa như sau: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu: ( P AB)P A P B( ) ( )

Họ hữu hạn các biến cố A 1,A2,…,An gọi là độc lập (toàn cục) nếu với

mọi2k n và mọi bộ k chỉ số 1i1 i k  ta có: n

Định nghĩa 1.5.1 Dãy đại lượng ngẫu nhiên (X n) được gọi là hội tụ hầu

chắc chắn (h.c.c) đến đại lượng ngẫu nhiên X nếu:

1.6 Hội tụ theo xác suất Dãy đại lượng ngẫu nhiên ( X n)được gọi là hội

tụ theo xác suất đến đại lượng ngẫu nhiên X nếu với mọi  0:

1.7 Hội tụ trung bình Dãy đại lượng ngẫu nhiên ( ) X n được gọi là hội

tụ theo trung bình cấp p ( p  ) đến đại lượng ngẫu nhiên X nếu: 0

p n

E X X  n 

 

 

  )

1.13 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ h.c.c Dãy (X n) hội tụ h.c.c khi và

chỉ khi dãy ( X n) cơ bản theo nghĩa h.c.c

1.14 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ theo xác suất Dãy (X n) hội tụ

theo xác suất khi và chỉ khi (X n) là dãy cơ bản theo xác suất

1.15 Hệ quả (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn)

Giả sử X np X và (sup )

1.16 Kì vọng Giả sử ( , F,P) là không gian xác suất, X:   là đại

lượng ngẫu nhiên Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi là kì vọng của X, kí hiệu EX

1.18 Hàm đặc trưng Hàm số  x( )t EeitX EcostX isintX , t R

được gọi là hàm đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên X

Chương 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP

k A k

( )

n k k

1

1ax

2 1

a Đặt Y 1=Y2=…=Yn =0; Yk = Xk với mọi k > n

Dễ thấy (Y n ) độc lập và EY k = 0 với mọi k

2 1

1 2

m k

2.1.3 Bất đẳng thức Ottaviani

2.1.3.1 Định lí Giả sử X X1, 2, ,X là những đại lượng ngẫu nhiên độc n

lập Khi đó, với   nào đó: 0

1ax

k k

2.1.4 Phương pháp đối xứng hóa

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên Lấy X’ là đại lượng ngẫu nhiên sao cho

X’ có cùng phân phối và độc lập với X Khi đó ta gọi X* X X' là đối xứng

b Để chứng minh (2.1.4.11) ta chứng minh hai bất đẳng thức sau:

2.2 Tiêu chuẩn hội tụ

Giả sử X n  n, 1 là dãy các đại lượng ngẫu nhiên Nếu dãy các tổng





 hội tụ theo nghĩa ấy và gọi S là tổng của nó

2.2.1 Định lí P.Levy Nếu X n  n, 1 là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

a Chuỗi

1

k k X





 hội tụ theo xác suất

c Chuỗi

1

k k





 hội tụ theo phân phối nhưng không hội tụ theo xác suất Nghĩa là dãy (S n) không cơ bản theo xác suất Khi đó tồn tại 0

  và dãy (n m k, k)k1,n k m k sao cho:

P S S   k m   (*)

Mặt khác, vì (P S n) hội tụ yếu đến độ đo xác suất  nên cũng compact

tương đối Do đó, với   tồn tại a0  sao cho: 0

sup

2

n n





 hội tụ h.c.c

Thật vậy, giả sửS nP Khi đóS   (0;1), tồn tại m0 sao cho nếu

0

n m m ta có:



 hội tụ trung bình cấp 2 Chứng minh





 hội tụ trung bình cấp 2

2.2.2.2 Định lí ( Định lý Kolmogorov – Khichin) Giả sử (X n) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, EX  Khi đó: n 0

n EX



 hội tụ Áp dụng định lý Kolmogorov - Khinchin cho (Y n)

ta được điều phải chứng minh

2.2.2.4 Hệ quả Nếu (X ,n n 1 ) là dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập và

Theo giả thiết n

Mặt khác, ta có: EXn Xn (XnEX )n

Ngược lại, nếu chuỗi 2

1

)( n n

Mệnh đề 2.2.2.7 Giả sử (X n ) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, X n

có phân phối Poisson Khi đó

n X





 hội tụ h.c.c, suy ra (S n) hội tụ theo phân phối

n n





 hội tụ (X n có phân

phối Poisson nên ta có EX n=DXn)

Theo tiêu chuẩn 2 chuỗi suy ra

n X





 hội tụ theo phân

phối, suy ra tồn tại  

2 2 1

)

( 2

n k k n





 hội tụ h.c.c

b Nếu P X( n c)0,n1,c và chuỗi

n X

Suy ra  S n là dãy Cauchy theo xác suất, suy ra  S n hội tụ theo xác suất

Mặt khác  S n là dãy tăng do đó  S n hội tụ h.c.c hay chuỗi

1

n n X





 hội tụ h.c.c

b Từ giả thiết P X( n c) , 0 n  suy ra1 P X( n c) 1

Từ giả thiết và chuỗi

1

n n X

nếu nếu

suy ra Z n P 0,n 

Ngược lại, giả sửZ  n P0, ta chứng minh

1

n n X

Mệnh đề 2.2.2.12 Giả sử (X n) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Khi đó, nếu chuỗi

n X





 hội tụ và có tổng h.c.c là hằng số thì mỗi hạng tử h.c.c bằng hằng số

theo chứng minh trên ta suy ra được mỗi X k là hằng số h.c.c

2.2.3 Tiêu chuẩn ba chuỗi

Giả sử 0   và X là đại lượng ngẫu nhiên bất kỳ, đặt: c

,0,

2.2.3.1 Định lí ( Tiêu chuẩn ba chuỗi)

Giả sử (X n) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó

1

n n X





 hội tụ h.c.c khi và chỉ khi 3 chuỗi :

n

n n

X E

:1

n n

n

X Y

X



 , ta chứng minh chuỗi n 1

n EY



 hội tụ h.c.c hay

2 2

11

n n

n

X X





 hội tụ và các hạng tử là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

và bị chặn đều bởi 1 ta có chuỗi

2 2

1 1

n

X E

1 1

n

X E

11

n n

n

X X

01

n n

X X

2 ( )

1

n n





 hội tụ h.c.c

KẾT LUẬN

Trong khoá luận này chúng tôi đã đạt được một số kết quả sau :

1) Trình bày một cách hệ thống một số bất đẳng thức cơ bản có chứng minh về tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

2) Trình bày một số định lý và hệ quả về sự hội tụ của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập Đưa ra cách chứng minh khác đối với một số định lý, hệ quả

3) Chứng minh một cách chi tiết một số mệnh đề về sự hội tụ của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập: mệnh đề 2.2.2.6 ;… ;2.2.2.12; mệnh đề 2.2.3.2, mệnh đề 2.2.3.3

Qua việc sử dụng khóa luận, chúng tôi thấy nó mang lại hiệu quả rất lớn trong việc học tập cũng như giảng dạy trong tương lai

Nội dung nghiên cứu tuy không phải là những kết quả mới tìm thấy, nhưng với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng khóa luận này sẽ đem lại nhiều kiến thức bổ ích và thú vị cho các bạn đọc

Tuy đã có nhiều cố gắng, song do còn hạn chế về năng lực và khả năng tự nghiên cứu của bản thân nên khoá luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong được sự góp ý của quý thầy cô và bạn bè để khoá luận đạt được kết quả tốt hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003)- Lý thuyết xác suất, NXB

Giáo dục

[2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (1983)- Cơ sở lý thuyết xác suất,

NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp

[3] Đinh Văn Gắng(2004)- Lý thuyết xác suất và thống kê, NXB Giáo dục [4] Đặng Hùng Thắng (2013)- Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc

gia Hà Nội

[5] A.N.Kolmogorov(1956)- Foundations of the Theory of Probabilty,

Chelsea, New York

28

LỜI CẢM ƠN

Khoá luận này được hoàn thành tại trường Đại học Hà Tĩnh vào tháng 5 năm 2014 dưới sự hướng dẫn của giảng viên Thạc sĩ Nguyễn Thị Minh Hưng Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Giáo viên hướng dẫn, người đã tận tình chỉ bảo cho tôi hoàn thành khoá luận này Tôi cũng xin chân thành cảm

ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Tự nhiên của trường Đại học Hà Tĩnh, các thầy cô trong tổ Toán cùng các bạn sinh viên đã giúp đỡ tôi trong suốt khoá học cũng như trong thời gian thực hiện khoá luận này

Hà Tĩnh,tháng 5 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Viết Cường

29

MỤC LỤC

Trang

LỜI MỞ ĐẦU……… 1

1 Lí do chon đề tài……… 1

2 Mục đích nghiên cứu……… 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… 2

4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

5 Cấu trúc khóa luận……… 2

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT……… 3

Chương 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP………… 7

2.1 Một số bất đẳng thức cơ bản……… 7

2.2 Tiêu chuẩn hội tụ……… 13

KẾT LUẬN……… 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 27