Khóa luận bất đẳng thức tích phân

Khóa luận tốt nghiệp đại học sư phạm toán với đề tài BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN đã được chỉnh sửa hoàn chỉnh,

CHI TIẾT ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TRONG SINH VIÊN

I THÔNG TIN CHUNG

1 Thông tin về sinh viên

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TOÁN

-KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Tên đề tài: “BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN”

Sinh viên thực hiện

NGUYỄN ĐÌNH THÀNH

MSSV: 2114010149

CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN

KHÓA 2014 – 2018Cán bộ hướng dẫn

ThS PHẠM NGUYỄN HỒNG NGỰ

MSCB: …

Quảng Nam, tháng 05 năm 2018

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành khóa luận này ngoài sự cố gắng của bản thân, tôi đãnhận được rất nhiều sự giúp đỡ, sự động viên đến từ gia đình, thầy cô và bạn bètrong suốt khoảng thời gian thực hiện

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Th.S Phạm Nguyễn Hồng Ngự, giảngviên hướng dẫn tôi nghiên cứu đề tài khóa luận này Cô đã hướng dẫn, chỉ bảo,góp ý và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng vô cùng quan trọng và cầnthiết cho việc nghiên cứu Nhờ có sự giúp đỡ nhiệt tình của cô, tôi đã hoàn thànhtốt bài khóa luận của mình

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến lãnh đạo nhà trường, tất cảthầy cô trong khoa Toán đã tạo những điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thànhkhóa luận

Không có thành công nào mà không có sự nỗ lực của bản thân mình cùngvới sự giúp đỡ từ mọi người Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn

Đề tài này được nghiên cứu trong phạm vi và thời gian có hạn, vì thếkhông tránh khỏi những thiếu sót hay kiến thức chưa đủ sâu rộng để giải quyếttất cả các vấn đề Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến đến từ thầy

cô, bạn bè để khóa luận ngày càng hoàn thiện hơn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan : Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Bất đẳng thức tíchphân” là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, không sao chép của bất cứ ai

Tôi xin chịu mọi trách nhiệm về công trình nghiên cứu của riêng mình!

Tam Kỳ, ngày …… tháng…… năm …… Người cam đoan

Nguyễn Đình Thành

MỤC LỤC

Phần 1 MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu của đề tài 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Đóng góp của đề tài 2

6 Cấu trúc đề tài 2

Phần 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

1.1 Hàm khả tích và một số tính chất 3

1.1.1 Hàm khả tích 3

1.1.2 Một số tính chất 3

1.2 Một số định lý về bất đẳng thức tích phân 4

1.2.1 Định lý về giá trị trung bình trong tích phân 4

1.2.2 Định lý về sự liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm 6

1.3 Một số định lý khác có liên quan 6

1.3.1 Định lý Rolle 6

1.3.2 Định lý Lagrange 7

1.3.3 Định lý Cauchy 7

1.4 Một số bất đẳng thức có liên quan 8

1.4.1 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz trong tích phân 8

1.4.2 Bất đẳng thức Schur 8

1.4.3 Bất đẳng thức AM-GM 9

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 11

2.1 Chứng minh bất đẳng thức tích phân thông qua việc đánh giá cận và hàm số 11

2.2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz để chứng minh bất đẳng thức tích phân 16 2.3 Sử dụng mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm để giải bài toán bất đẳng thức tích phân 21

2.4 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân khác 27

2.5 Sử dụng bất đẳng thức tích phân để chứng minh bất đẳng thức số học 33

2.6 Sử dụng bất đẳng thức tích phân để tính giới hạn liên quan đến tích phân 37

Phần 3 KẾT LUẬN 42

Phần 4 PHỤ LỤC 43 Phần 5 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

Phần 1 MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là ngành khoa học đã được hình thành từ những nền văn minhđầu tiên của loài người Nó đã không ngừng bổ sung và phát triển để đến bâygiờ chúng ta đã có được những kết quả, ứng dụng quan trọng của toán học vàohầu hết các lĩnh vực trong cuộc sống và có thể khẳng định toán học là ngànhkhoa học cốt yếu cho sự phát triển của con người

Trong toán học bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển, còn tích phân làmột phép tính mới được hoàn thiện ở giữa thế kỉ XVII Nhưng không vì thế màgiữa bất đẳng thức và tích phân không có sự liên kết với nhau, mà trái lại sự kếthợp của chúng đã tạo thành một mảnh ghép hoàn hảo cho giải tích nói riêng vàtoán học hiện đại nói chung

Ở chương trình phổ thông bất đẳng thức tích phân chỉ xuất hiện ở mộtphần rất nhỏ trong sách giáo khoa giải tích 12 và ở bậc đại học thì các sinh viênchuyên ngành toán chỉ được nghiên cứu bất đẳng thức tích phân ở một phạm virất hẹp, còn lại hầu hết bất đẳng thức tích phân chỉ xuất hiện ở các cuộc thi họcsinh giỏi, Olympic sinh viên quốc gia hoặc quốc tế

Để giải các bài toán về bất đẳng thức tích phân người giải khôngchỉ nắm vững các định nghĩa, khái niệm, tính chất của bất đẳng thức vàtích phân mà còn phải biết cách kết hợp chúng một cách hợp lý để thuđược kết quả như mong muốn Tuy nhiên các bài toán bất đẳng thức tíchphân vẫn có thể đưa về các dạng, các phương pháp giải để có thể áp dụngcho nhiều bài toán

Là một sinh viên chuyên ngành toán với mong muốn cung cấp mộtcách đầy đủ và có hệ thống kiến thức về lý thuyết và các dạng bài toánquen thuộc của bất đẳng thức tích phân kèm theo lời giải chi tiết cho từngbài tập liên quan, đồng thời bổ sung một số ứng dụng của bất đẳng thức

tích phân, nên chúng tôi đã chọn đề tài: “Bất đẳng thức tích phân” làm

đề tài khóa luận của mình

1

2 Mục tiêu của đề tài

Hệ thống lại một số định lý, tính chất của bất đẳng thức tích phân.Giới thiệu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phânthường gặp

Đưa ra một số ứng dụng của bất đẳng thức tích phân trong việcchứng minh bất đẳng thức số học và tính giới hạn hàm số có liên quan đếntích phân

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán liên quan đến bất đẳngthức tích phân

Phạm vi nghiên cứu: Một số phương pháp giải bất đẳng thứctích phân và ứng dụng của bất đẳng thức tích phân

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Tham khảo ý kiến chuyên gia

và nghiên cứu

6 Cấu trúc đề tài

Bài khóa luận ngoài phần mở đầu và kết luận thì nội dung đượcchia làm 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Một số bài toán liên quan đến bất đẳng thức tíchphân

Phần 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Hàm khả tích và một số tính chất

1.1.1 Hàm khả tích

Định nghĩa nguyên hàm

+ F x( ) là nguyên hàm của f x( ) trên ( , )a b � x a b F x�( , ): '( ) f x( )

+ F x( ) là nguyên hàm của f x( ) trên

'( ) ( ) , ( , ): '( ) ( )

Mệnh đề 4: Nếu là hai hàm số liên tục trên thỏa mãn và không

đồng nhất với nhau trên thì

Mệnh đề 5: Nếu là một hàm số liên tục trên thỏa mãn m f x� ( )�M

và không đồng nhất với hoặc thì

b a

m b a ��f x dx M b a� 

[7]

Mệnh đề 6: Nếu là một hàm số liên tục trên thì

3

Giả sử là hai hàm số liên tục trên Nếu  �� �x � �a b, hoặc thì tồn

tại ít nhất một điểm sao cho

Nếu g x �( ) 0  �� �x � �a b, kết hợp với bất đẳng thức như trên suy

g x dx

�

, ta được:

( ) ( ) ( )

b

a b a

( ) ( ) ( )

( )

b

a b a

g x dx

�

Lúc đó ta có thể lấy c là một điểm bất kì thuộc vào đoạn � �a b,

1.2.2 Định lý về sự liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm

Nếu f liên tục trên � �a b, ,  �� �x � �a b, ta đặt: 0

Lấy  �� �x � �a b, tùy ý, xét h�0đủ bé sao cho x h �� �� �a b,

x

f t dt h

1.3 Một số định lý khác có liên quan

1.3.1 Định lý Rolle

Cho hàm số y f x ( ) liên tục trên đoạn � �� �a b, , (a b ) có đạo hàm liên

tục trên khoảng  a b, và f a( ) f b( ) thì tồn tại c� a b, sao cho f c'( ) 0 [9]

Không mất tính tổng quát, giả sử f x'( ) 0 ,  �x  a b,

Mà f x( ) liên tục trên � �a b, nên f x( ) đồng biến trên � �a b, , suyra:

( ) ( )

f a  f b

Nhưng điều này trái với giả thuyết của đề bài là f a( ) f b( ).

Nên điều giả sử ban đầu là sai Vậy tồn tại c� a b, để f c'( ) 0

1.3.2 Định lý Lagrange

Giả sử hàm f: ,� ��� � �a b liên tục trên � �a b, , khả vi trong  a b, Khi đó

tồn tại điểm c� a b, sao cho

( ) ( ) '( ) f a f b

Chứng minh:

Xét hàm

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a ( )

Giả sử các hàm f g a b, : ,� ��� � � liên tục trên � �a b, , khả vi trong  a b,

Khi đó tồn tại điểm c� a b, sao cho

Vậy định lý đã được chứng minh

Chú ý: Nếu giả thuyết của định lý Cauchy cho thêm g x �'( ) 0 �x  a b, , thì

từ định lý Rolle có thể suy ra g a( )�g b( ) và đẳng thức trên có thể viết đượcdưới dạng tương đương:

'( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( )

1.4.1 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz trong tích phân

Cho các hàm số F và G thỏa mãn F2 vàG2 khả tích trên � �a b, Ta có:

7

khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tươngđương với:

ta giả sử x n   và x n1  Khi đó:

x n    x n1  0 (3)Xét n số x1   x2 x n1 x'n trong đó x'n  x n x n1   �x n   0

x nx n1    x x n n1Hay x'n x x n n1 (5)

Hiển nhiên ta sẽ có  0 Nếu có ít nhất một trong các số

Từ đó (1) đã được chứng minh hoàn toàn.

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG

THỨC TÍCH PHÂN

Có rất nhiều bài tập liên quan đến bất đẳng thức tích phân; ở đâykhóa luận chỉ lựa chọn, sắp xếp, phân loại các dạng bài tập về bất đẳngthức tích phân theo ý kiến chủ quan của tác giả Ở mỗi dạng, chúng tôi sẽtrình bày ngắn gọn cách nhận dạng và nêu tóm lượt phương pháp giải

2.1 Chứng minh bất đẳng thức tích phân thông qua việc đánh giá cận

và hàm số

2.1.1 Nhận dạng bài toán và phương pháp giải

Ở dạng bài tập này thông thường đề sẽ cho có dạng

ta có thể thực hiện như sau:

- Đầu tiên chúng ta sẽ đi tìm hàm g x( ) thỏa mãn:

6 1

Xét

sin ( ) x

Với mọi t �0 thì g t( )�g(0).Hay e t t �۳1 e t 1 t  �t 0

Vì sin2x�0, nên sử dụng bổ đề trên ta có:

2

2

1 1

arctan arctan1 arctan 0

2 4

n n

I n

2 4

n n

I n

2.2.1 Nhận dạng bài toán và phương pháp giải

Ở dạng toán này thông thường đề sẽ cho hàm số F x( ) mà trong 2 vếcủa bất đẳng thức ở dạng bình phương của một số hoặc một hàm

Đối với dạng toán này ta cần phải tìm được hàm F x( ), G x( ) đểthỏa mãn bất đẳng thức Cauchy Schwarz Thông thường trong đề bài

15

đã có sẵn hàm F x( ) còn hàm G x( ) ta phải sử dụng các dữ kiện kháccủa bài toán và một số phép biến đổi để xuất hiện hàm G x( ) và đôikhi ở các bài tập có dạng như bài 3 ở dưới đây thì ta có thể sử dụng

hàm

1 2

0 ( ) �1  1

2

0 '( ) 1

0 1 2

2 0

2 1

n

x xdx

n n

Bài 6: Cho là hàm liên tục khả vi trên đoạn � �0,2 và Chứng minh rằng:

2 2

2 2

0 ( )

2 (6 2 4 )

b a

x a b dx

�

2 2

x a b dx b a

�

Và

2 (6 2 4 ) ''( )

b a

''( ) 4( )

b a

2.3 Sử dụng mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm để giải bài toán bất đẳng thức tích phân

2.3.1 Nhận dạng bài toán và phương pháp giải

Bài toán thường cho sẵn các giá trị f a m( ) , f b n( )  … và thường

chứng minh

( )

b a

Vậy ta đã chứng minh được bài toán.

Bài 2: Cho f là hàm khả vi trên � �a b, sao cho f(0) (1) 0,

1

0 '( ) 1

f x dx

�

.Chứng minh rằng:

f x dx

�

.Vậy

0 ( )

Suy ra

1 2

0 ( ) '( ) '( ) '( )

1 0

Vậy ta đã chứng minh được bài toán trên.

Bài 6: Cho f là hàm khả vi cấp 1 trên � �a b, và f a( ) f b( ) 0 Chứng minh rằng:

2 2

ta còn có thể sử dụng các bất đẳng thức số học, các bất đẳng thứchiển nhiên đúng và một số phép biến đổi để giải bài toán hoặc đưa vềmột trên ba dạng trên.

0

1 3

0

1 1 1 ( ) 2.

Mà ta cũng có

1 2

0

1 3

3

xf x dx �

�

(2)Thay (2) vào (1) ta được:

Bài 2: (IMC 2010) Cho 0 a b  Chứng minh rằng:

1 2

1 sin 2

arctan arctan1 arctan 0 0

2 4

1 sin 2

arctan( 1) arctan 0 arctan 1 0

sin cos (6 sin 2 ) 6sin cos

(1 cos )(1 sin ) (1 cos )(1 sin )

4 tan

0 cos 2

2.5.1 Nhận dạng bài toán và phương pháp giải

Trong chứng việc chứng minh một số bất đẳng thức số họcbình thường chúng ta có thể quy nó về việc giải các bài toán bất đẳngthức tích phân quen thuộc thông qua việc chọn hàm và chọn cận saocho hợp lí

Áp dụng vào bài toán đã cho, đặt x t y t z t a,  b,  ctheo bất đẳngthức (1) mà ta đã chứng minh ở trên thì:

   �    �, dấu bằng xảy ra khi a b c 

Bài 2: Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng:

f x dx

thì việc đi xác địnhgiá trị của giới hạn đó thông qua các phương pháp tính bình thường là rấtkhó Đa số các bài tập như vậy sẽ rơi vào định lí kẹp, bằng việc chứng

minh bất đẳng thức tích phân sau

( )

b a

n k n n

x dx x

x dx x

x

x x

��

Giải

35

x x

�� 

Bài 3: Chứng minh rằng:

3 1

k

k n

Bài 4: Tính giới hạn 0

lim 1

n x x n

n

e dx e

e dx e

I n dt

e e

2 1





�n x x n

n x x n

n

e dx e

Tức là 1

2 n n 2 ( 1) ( 1) n

n n I

2 1

n x x n

n

e dx e

1 ( ) ,(n 1,2,3, )

n n n

J n f x dx



.Tìm giới hạn của dãy trên

n n

e n n

Phần 3 KẾT LUẬN

Với 42 trang A4 khóa luận đã trình bày được các kết quả sau:

+ Hệ thống lại lý thuyết các dạng bất đẳng thức liên quan đến tíchphân mà thường được sử dụng trong việc giải bài tập

+ Phân chia, sắp xếp các dạng bài tập về bất đẳng thức tích phântheo hệ thống như:

 Chứng minh bất đẳng thức tích phân thông qua việc đánh giácận và hàm số

 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz để chứng minh bấtđẳng thức tích phân

 Sử dụng mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm để giải bàitoán bất đẳng thức tích phân

 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân khác

 Sử dụng bất đẳng thức tích phân để chứng minh bất đẳng thức

số học

 Sử dụng bất đẳng thức tích phân để tính giới hạn liên quan đếntích phân

+ Trình bày chính xác, chi tiết hóa lời giải ở mỗi dạng bài tập

Mặc dù rất cố gắng nhưng việc phân loại, sắp xếp, giải chi tiết mớichỉ dừng lại trong sự hiểu biết của bản thân Có thể vẫn còn nhiều dạngbài tập về bất đẳng thức tích phân chưa được trình bày ở đây hoặc chưađược sắp xếp phân loại khoa học, chi tiết hơn Chúng tôi mong rằng sẽtiếp tục có những nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này

39

Phần 4 PHỤ LỤC Bảng công thức nguyên hàm

Phần 5 TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Quý Dy (2001), Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Thừa Hợp (2003), Giải tích, Tập 3, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội.

[3] Nguyễn Xuân Liêm (2002), Chuyên đề về bất đẳng thức và bất phương

trình, NXB Giáo dục.

[4] Nguyễn Xuân Liêm (2012), Giải Tích, Tập một, NXB Giáo dục

[5] W.J Kaczkor và M T Nowak (1998), Bài tập giải tích,Tập 2

[6] Jean – Marie Monier (1999), Giải tích 1, NXB Giáo dục

[7] Trần Phương (2009), Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, NXB

Tài liệu nguồn từ Internet

Tuyển tập đề thi Olympic sinh viên toán quốc tế IMC (1994-2013)

https://www.slideshare.net/truongnguyennhat399/tuyen-tap-imc-1994-2013

41

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG BẢO VỆ KHÓA LUẬN

Khóa luận này đã được chỉnh sửa theo sự góp ý của Hội đồng bảo vệ khóa luận

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN

ThS Phạm Nguyễn Hồng Ngự Nguyễn Đình Thành

Th.S Nguyễn Thị Bích Lài Th.S Trần Ngọc Quốc

XÁC NHẬN CỦA TRƯỞNG KHOA