Tiểu luận đưa ra phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT Cauchy, giúp người đọc có thể dễ dàng hiểu bản chất từ đó ứng dụng làm ngay được nhưng bài tập liên quan. Tiểu luận đưa ra phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT Cauchy, giúp người đọc có thể dễ dàng hiểu bản chất từ đó ứng dụng làm ngay được nhưng bài tập liên quan.Tiểu luận đưa ra phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT Cauchy, giúp người đọc có thể dễ dàng hiểu bản chất từ đó ứng dụng làm ngay được nhưng bài tập liên quan.
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ HỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN BẤT ĐẲNG THỨC
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY.
Học viên : Hoàng Đại Việt
Lớp : Cao Học Toán 2014 – 2016
Ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu
Hà Nội - 2015
Trang 2LỜI MỞ ĐẦU
Trong sự hình thành vận động và phát triển của vũ trụ, những quy luật về so đo và tính toán là điều tất yếu phải có Sự to nhỏ, lớn bé, cao thấp hay giàu nghèo là những
so sánh kinh điển mà Lão Tử đã chiêm nghiệm được và cho ra đời trong "Đạo Đức
Kinh" nổi tiếng suốt 2500 năm qua Trong guồng quay của khoa học từ thời sơ khai
cho đến thời hiện đại, Toán học cũng không thể đặt mình ra ngoài những quy luật đó
Sự ra đời các phép so sánh : số lớn số bé, Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, các giá trị bằng nhau là điều tất yếu phải đến trong lịch sử Toán học.
Từ thời cổ đại, con người đã phát hiện ra những so sánh tương đối giữa các con số, biểu thức trong số học hay đoạn thẳng, góc, diện tích, chu vi trong hình học Với quá trình phát triển suốt sau đó, các phép so sánh trên đã dần định hình chặt chẽ và trở thành 1 phần cực kỳ quan trọng của Số học, Toán học hiện đại bây giờ Đó là "Bất Đẳng Thức", nó đã bước ra khỏi vỏ bọc của Số học để trở thành những điểm nhấn quan trọng trong tất cả các lĩnh vực như : Đại Số, Giải tích, Tổ Hợp, Xác suất, Hình học
Trong quá trình hình thành này, nhiều định lý, phương pháp quan trọng đã ra đời và trở thành kinh điển trong "Toán học" Với khuôn khổ của 1 tiểu luận, em xin trình bày 1 phần nhỏ nhưng là cốt lõi và cực kỳ hữu ích để giải quyết khá nhiều bài toán ở cấp độ Phổ Thông Đó là Bất Đẳng Thức AM-GM ( hay còn gọi là Cauchy) và các phương pháp vận dụng cơ bản.
Tiểu luận gồm có 4 phần chính :
1 Chương 1 : Kĩ thuật chọn điểm rơi trong cô si 2 số
2 Chương 2 : Kĩ thuật chọn điểm rơi trong cô si 3 số
3 Chương 3 : Bất đẳng thức phụ
Dù vẫn còn nhiều hạn chế nhất định vì nhiều lý do nhưng em hi vọng Tiểu luận này sẽ mang đến những kết quả khả quan hơn để có thể phát triển thành luận án thạc sĩ trong tương lai.
Trang 3Chương 1 Kĩ thuật chọn điểm rơi trong côsi hai số.
Cho hai số a, b > 0 ta có: a b ab
2
+ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Bài 1. Chứng minh rằng nếu a≥2 thì a 1 5
+ ≥
Phân tích:
Dự đoán dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi và chỉ khi a = 2
Bài giải
Ta có : a 1 1 a 3a 2 1 a 3a
Dấu “=” xảy ra ⇔ =a 2
Bài 2. Cho a > 0, b > 0 và a + b ≤1 Chứng minh rằng a b 1 1 5
+ + + ≥
Dự đoán dấu “ = “ xảy ra khi a = b = 1
2
Ta có :
a + + + = +b a + +b − + ≥ a + b −
1 1
a b 4 4 3 5
⇒ + + + ≥ + − =
Dấu '' ' = ’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
2.
Bài 3. Cho x > 0, y >0 ; x, y∈Z thỏa mãn x + y 6≥
Chứng minh rằng : A = x(x – 1) + y(y – 1) 12≥
Dự đoán dấu '' ''= xảy ra : x = y = 3
Bài giải :
Đặt A = x x 1( − +) y(y 1)−
A = x2 − +x y2 −y
Trang 4( ) ( )
A x= + +9 y + −9 x y+ − ≥18 6x 6y+ − x y+ −18
A 12≥
Dấu '' '' = xảy ra khi và ⇔x = y = 3.
Bài 4. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của : Q=
y z +x z +x y
Dự đoán dấu '' '' = xảy ra x y z 2
3
⇔ = = =
Ta có:
Cộng vế với vế ta được:
x y z
2
+ +
+ +
Q 1
⇒ ≥
Vậy GTNN của Q = 1 khi x y z 2
3
= = =
Bài 5. Với x >1; y>1 Chứng minh rằng:
2 2
8
y 1 x 1+ ≥
Dự đoán dấu '' '' = xảy ra khi x = y =2
Bài giải
Ta có:
Tương tự: y2 4 x 1( ) 4y
−
Trang 52 2
8
y 1 x 1
Dấu = xảy ra ⇔ = =x y 2
Bài 6. Cho a 6≥ Chứng minh rằng : 2 18
a
Dự đoán dấu '' ''= xảy ra ⇔a = 6
Bài giải
Ta có :
2
a +36 12a≥
18
3 a 2.3 6 6 6
a
2 18
a
2 18
a
a
⇒ + ≥72 36 6 6 3 6 36 3 6− + − = +
Dấu “=” xảy ra ⇔ =a 6
Bài 7. Cho a, b, c >0 và a+b+c 3
2
≤
Chứng minh rằng: A = a b c 1 1 1 15
+ + + + + ≥
Dự đoán dấu = xảy ra a b c 1
2
⇔ = = =
Ta có:
1
4.a 4
1
4.b 4
1
4.c 4
A 12 3 a b c≥ − + +
+ + ≤ ⇒ ≥ −
Trang 6A
2
≥
2
⇔ = = =
Bài 8. Cho a+b+c+d =2 Chứng minh rằng : a2+ b2+ c2+d2 ≥ 1
2
⇔ = = = =
Ta có : 2 1
4
+ ≥
2 1
4
+ ≥
2 1
4
+ ≥
2 1
4
+ ≥
Suy ra: a2 + + + + ≥ + + +b2 c2 d2 1 a b c d
2 2 2 2
⇒ + + + ≥ ( vì a + b + c + d = 1)
2
⇔ = = = =
2 2 2 2
⇒ + + + ≥
Bài 9. Cho x> 0;y >0 và x + y≥4.Chứng minh rằng : 2x 3y 6 10 18
Dự đoán dấu ‘= ‘ xảy ra ⇔ = =x y 2
x + 2 + ≥2 x 2 + = +2 2
y + 2 + ≥2 y 2 + = +2 2
16
6 10
2x 3y 18
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2
Trang 7Chương II ĐIỂM RƠI COSI 3 SỐ
Cho ba số a, b, c > 0 ta có: a b c 3
abc 3
+ + ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài 10 Chứng minh rằng : Nếu a 2≥ thì A = a 12 9
Dự đoán đấu “=”xảy ra ⇔ =a 2
Bài giải
Ta có:
a + + +8 8 4 ≥ a 8 8 + 4
≥ + = 9
4 Dấu’’=’’ xảy ra ⇔ = a 2
Bài 11 Với 0 a 1:
2
< ≤ Chứng minh rằng: A = 2a 12 5
a
Dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 1
2
=
Bài giải
Ta có:
3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 1
2
=
Suy ra, A ≥3.4 14a 12 7 5− ≥ − =
Vậy: A = 2a 12 5
a
Bài 12 Cho a, b > 0 ; a + b ≤ 1. Chứng minh rằng: a b 12 12 9
Trang 8Dự đoán dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
2
Bài giải
Ta có:
2
1
8a 8a 15a 12 15a
2
1
8b 8b 15b 12 15b
Suy ra: A 24 15 a b≥ − ( + ≥) 24 15.1−
A 9≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
2
Bài 13 Cho x, y > 0 và x+y =4; Chứng mỉnh rằng:
2
A
Dự đoán dấu ‘ =’ xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2
Bài giải:
Biết đổi A ta được: A 3x 1 22 y
Ta có :
3
x + +2 8 + − ≥2 2 x 2 8 + −2 2
x + +2 8 + − ≥ +2 2 2
Dấu “=” xảy ra khi 1 1 2x
x = =2 8
y + + + ≥4 4 2 y 4 4 + 2
y + + + ≥ +4 4 2 2 2
Trang 9Dấu “=” xảy ra khi 22 y y
y = =4 4 Cộng vế với vế ta được:
+
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2
Một số bài toán khác:
CHƯƠNG III BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Áp dụng cho 2 số: Với x, y > 0 ta có : 1 1 4
x + ≥y x y
+
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ =x y
Áp dụng cho 3 số: Với x, y, z > 0 ta có: 1 1 1 9
x + + ≥y z x y z
+ +
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = =x y z
Bài 14 Cho a, b > 0 và a + b ≤1.Tìm GTNN của P = 2 1 2 1
+
4
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ +a2 b2 =2ab và a + b = 1 a b 1
2
⇔ = =
Bài 15 Cho a, b > và a + b ≤1.Tìm GTNN của Q = 1 2 1 2
ab a+ b
+
Dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
2
Bài giải
Vì: a + b ≤1 mà a + b 2 ab≥ hay 1 2 ab≥ ab 1
4
Ta có : Q = 1 2 1 2
ab a+ b
2ab a+ b +2ab ≥ a b +2ab
Trang 10Vì ab 1
4
Q
1
4
≥ +
Hay Q 6≥
GTNN Q = 6 khi a = b = 1
2 Các bài tập tương tự:
Bài 16 Cho a, b > 0 và a + b ≤1.Tìm GTNN của : A 2 1 2 1 4ab
Bài 17 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Chứng mỉnh rằng.
2 12 2 1 1 1 30
a b c +ab bc ca+ + ≥
[ ]1 Nguyễn văn Mậu, Bất đẳng thức Định lí và áp dụng
[ ]2 Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò, Tuyển tập các bài
dự tuyển Olimpic toán quốc tế, Nhà xuất bản Giáo dục, 2002.
[ ]3 Nguyễn Văn Nho, Olimpic toán Châu Á – Thái Bình Dương, Nhà xuất bản
Giáo dục, 2003
LỜI CẢM ƠN
Vì khuôn khổ tiểu luận có hạn, thời gian thực hiện ngắn nên chưa thể đi sâu hết được các dạng toán liên quan đến BĐT Cauchy Dù đã cố gắng nhưng vẫn không tránh khỏi một số sai sót nhất định Em mong thầy và các bạn có nhứng đóng góp, sửa đổi để Tiểu luận của em trở nên đúng đắn và chính xác hơn Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Mậu đã tận tình giảng dạy cho lớp chúng em và mang lại
Trang 11cho em những kiến thức bổ ích và quý báu làm hành trang trên con đường làm giáo dục của em hiện nay và sau này Em xin chân thành cảm ơn