tiểu luận tìm hiểu về phép toán đối đạo hàm liên quan đến bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số và ứng dụng của nó

Một trong những hướng nghiên cứu quantrọng của bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng phương pháp giải.. Có rất nhiềuphương pháp giải bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu như: ph

MỞ ĐẦU 1

Chương I BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG R n 3

1.1 Điểm bất động 3

1.2 Bất đẳng thức biến phân 3

Chương II CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 5

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở 5

2.2 Các phép tính cơ bản liên quan đến đối đạo hàm của ánh xạ đa trị………… 6

Chương III TÍNH CHẤT AUBIN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM 20

3.1 Các khái niệm và tính chất cơ sở 20

3.2 Tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm 22

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức biến phân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác

nhau như kinh tế, kỹ thuật, vật lý toán… Một trong những hướng nghiên cứu quantrọng của bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng phương pháp giải Có rất nhiềuphương pháp giải bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu như: phương phápdựa trên kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa trên cách tiếp cận điểm bất động,phương pháp dựa trên tính ổn định nghiệm của bài toán Gần đây, bài toán vềtính ổn định nghiệm của bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số là một đề tàiđược nhiều người quan tâm nghiên cứu

Năm 1979 S M Robinson (xem [7]) đã xét đến tính chất liên tục Lipschitz củaánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số Trongkhoảng những năm 1993-1996 B S Mordukhovich (xem [5], [6]) công bố mộtloạt bài báo quan trọng ở đó ông đưa ra nhiều ý tưởng và kỹ thuật mới, phát triểnmột phiên bản vô hạn chiều sâu sắc và đẹp đẽ cho lý thuyết vi phân của ông, đồngthời chỉ ra rằng một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị (như tính giả-Lipschitztheo nghĩa Aubin, tính chính quy mêtric, tính mở địa phương) có thể đặc trưngbằng cách sử dụng công cụ đối đạo hàm qua giới hạn

Dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Toàn chúng tôi chọn đề tài:

“Tìm hiểu về phép toán đối đạo hàm liên quan đến bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số và ứng dụng của nó”, dựa trên bài báo của GS TSKH.

Nguyễn Đông Yên (xem [9], [10]) Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứutính chất Aubin và tính chính quy mêtric địa phương của các ánh xạ nghiệm củabất đẳng thức biến phân afin chứa tham số

Với mục đích trên luận văn được chia làm ba chương:

Chương I Bất đẳng thức biến phân trong R n

Chương II Các phép tính cơ bản liên quan đến đối đạo hàm của ánh xạ đa trị Chương III Tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm

Phần lớn các kết quả trình bày trong luận văn đã thu được bởi một số tác giảtrong các tài liệu [1], [2], [3], [8], [9], [10] và đã được trích dẫn trong luận văn.Một số kết quả khác đã được tác giả chứng minh chi tiết dưới dạng nhận xét, bổ đềhoặc mệnh đề Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực và thời gian có hạn nênluận văn không tránh khỏi những thiếu sót cả về nội dung lẫn hình thức Vì vậy,tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các Thầy giáo, Cô giáo

và những góp ý của bạn đọc

Nhân dịp này, cho phép tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Côgiáo Nguyễn Thị Toàn người đã hướng dẫn nhiệt tình tác giả trong quá trìnhnghiên cứu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong tổGiải tích và trong khoa Toán đã tận tình giảng dạy, động viên và tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả học tập và hoàn thành khóa luận này

Vinh, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Chương I BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG R n

1.1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG

1.1.1 Định nghĩa Cho A là một tập hợp và ánh xạ F A:  A Một điểm x A

được gọi là điểm bất động của F nếu F x x

Hay nói cách khác, các điểm bất động của F là nghiệm của phương trình

Khi cho  1, ánh xạ F được gọi là không giãn

1.1.3 Định lý[`1] Cho S là một không gian mêtric đầy đủ và F S:  S là một ánh xạ corút Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động của F

1.1.4 Định lý (brower)[1] Cho F là một ánh xạ liên tục từ một hình cầu đóng

1.2.2 Định lý[1] Cho K R n là tập compact, lồi và ánh xạ F K: R  n là liên tục Khi đó, có một điểm x K sao cho:

F x y x ,   0,  y K. (2)

1.2.3 Hệ quả[1] Cho x là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2) và giả

sử rằng x intK , phần trong của K Khi đó, F x   0

1.2.4 Bài toán Cho K là một tập đóng, lồi trong R n và ánh xạ F K: R  n

là liên tục Tìm x K sao cho

F x y x ,   0,  y K (3) Định lý sau đây, đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của Bài toán 1.2.4

1.2.5 Định lý[1] Cho K R n là tập đóng, lồi và ánh xạ F K: R  n là liên tục Điều kiện cần và đủ để Bài toán 1.2.4 có nghiệm là tồn tại R 0 sao cho có

một nghiệm x RK R của điều kiện (3) thỏa mãn : x R R.

Trong đó K R K B0,R với B ,0 R là hình cầu đóng tâm 0R n , bán kính

1.2.7 Định nghĩa Điều kiện (4) của Hệ quả 1.2.6 được gọi là điều kiện cưỡng

bức.

1.2.8 Định nghĩa Ánh xạ F K:  R  n được gọi là đơn điệu nếu

F x  F x x x  ,   0, x x, K. (5) Ánh xạ F được gọi là đơn điệu ngặt nếu dấu " " của (5) xảy ra khi và chỉ khi x x

Chương II CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA

ÁNH XẠ ĐA TRỊ

2.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ

2.1.1 Định nghĩa Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ, F: X Y là ánh xạ từ X

vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y ( được ký hiệu là 2Y) Ta nói F là ánh

xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với mỗi x  X, F(x) là một tập hợp con của Y

Ta sử dụng ký hiệu F: X Y để chỉ F là ánh xạ đa trị từ X vào Y

2.1.2 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian định chuẩn Đồ thị gph F,

miền hữu hiệu dom F và miền ảnh rge F của ánh xạ đa trị F: X Y tương ứngđược xác định bằng các công thức

gphF x y,  X Y y F x:     ,

domF  x X F x:  0 ,

và rgeF  y Y : x X saocho y F x   

Ánh xạ đa trị F được gọi là có đồ thị đóng địa phương trong lân cận điểm

x y  gph0, 0 F nếu tồn tại một hình cầu đóng B tâm x y trong X0, 0 Y, cóbán kính dương mà B  gphF là tập đóng trong X Y

2.1.3 Định nghĩa Tập M  Rk được gọi là tập lồi đa diện nếu M có thể biểu

diễn dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của Rk

2.1.4 Định nghĩa Cho  là một tập con của Rk Khi đó các ký hiệu , int

và cone tương ứng biểu thị bao đóng của , phần trong của , hình nón sinh

bởi , nghĩa là cone t z z:  ,t 0

2.1.5 Định nghĩa Cho X, Y là các không gian Euclide, : X Y là hàm đa

trị Khi đó, giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski của (x) khi x

x được ký hiệu x Lim x sup x = {  Y:  dãy x k  x, k   , với

ký hiệu u  x nghĩa là u x và u .

Nếu  = 0 thì tập (1.1) là một hình nón lồi đóng và được gọi là nón pháp tuyến Fréchet của  tại xvà được ký hiệu bởi N x  ;

2.1.7 Định nghĩa Cho X là không gian Euclide,   X Hình nón

được gọi là nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich của  tại x

2.1.8 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian Euclide Khi đó ánh xạ

được ký hiệu AVI(M, q, A, b), với (q, b)  Rn  Rm mô tả nhiễu tuyến tính; M 

lồi của (A, b) tại x    A b ,  và v u,  biểu thị tích vô hướng của v và u.

Quy ước N x ;A b,   khi xA b,  Tập nghiệm của (1.4) được ký hiệu là

S(q, b) Như vậy, x  S(q, b) nghĩa là x A b,  và

 

(1.5) Trong chương này ta đặt CA b, , X là không gian Euclide

2.2.2 Nhận xét Cho A = - E, với E là ma trận đơn vị trong R n  n và b = 0  n

R Khi đó x thỏa mãn (1.4) nếu và chỉ nếu

minh được x thỏa mãn (1.4).

2.2.3 Chú ý[9] Nếu   X là tập lồi và X là không gian Euclide thì

A là ma trận hợp thành bởi các hàng A , i i  I (định nghĩa A I tương tự) Khi đó

giả mặt F của I CA b,  tương ứng tập chỉ số I được định nghĩa bởi công thức

F I  x R n:A x b A x b I  I, I  I

Pos A i I i T :   là nón lồi được tạo bởi các véctơ cột  A i I i T :  

2.2.5 Chú ý Nón pháp tuyến N x C ;  của C tại x C là nón đối ngẫu của nón

tiếp tuyến T x C ; , nghĩa là

N x C ;  T x C ;  xX:x v,    0, v T x C ;   , (1.7)trong đó C  X, với X là không gian Euclide, X là không gian đối ngẫu của X

2.2.6 Định lý[3] (bổ đề Farkas trong không gian véctơ tùy ý) Cho W là một

không gian véctơ chiều tùy ý Giả sử rằng sự kéo theo sau đúng với bất kỳ u  W x u i,  0,  i I  x u,  0 ,

trong đó I  N là tập chỉ số hữu hạn, với x i và x là các phần tử của X,

Chứng minh (i) Giả sử xN x C ;  được cho tùy ý Từ định nghĩa nón pháptuyến lồi, ta có

x x,  x 0, x C (1.10)

Do x F I nên A x i  b i,  i I, do đó sẽ tồn tại một lân cận V của x sao cho

Ta cần chứng minh u R n: AI u 0 T x C ;  Lấy u T x C  ( ;  , ta sẽchứng minh u thuộc vế phải của (1.9) Ta có T x C ;  N x C ;   =

Vậy mệnh đề được chứng minh

2.2.8 Định nghĩa Tập Q  Rn được gọi là mặt đóng của C nếu tồn tại I J

sao cho

Q F I  x R A x b A x b n: I  I, I  I

2.2.9 Chú ý Định nghĩa 2.2.8 sẽ tương đương với phát biểu sau: Q  Rn là

một mặt đóng của C nếu tồn tại x C và

v N x C  ;  pos A : Ti i I x   

sao cho Q x C :v x x,   0 Nếu C là nón (trong trường hợp b = 0) thì

Q là mặt đóng của C khi và chỉ khi tồn tại v C  mà Q x C:v x,  0 

Tiếp theo chúng ta sẽ nêu ra các bổ đề mà đưa đến đối đạo hàm chuẩn tắc củahàm đa trị F x3  N x ;A b,   tại điểm x v   với ,  3,  3 gphF 3

2.2.10 Bổ đề[9] Nếu x v,  N x v   , ; 3

v T x C  ;   v (1.12) và

xT x C ;  v, (1.13) với v u R n:u v,  0 .

T x C ;  v N x C ;  R v = N x C ;  R v (1.14)

Thật vậy, lấy bất kỳ xN x C ;  R v Khi đó sẽ tồn tại một dãy

 x n  N x C ;  R v sao cho x n  x Ta giả sử rằng x nv n t v n với

Vậy bổ đề được chứng minh.

2.2.12.Định lý[9] (nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich, trường hợp b cố

A x b k Suy ra A x b i  i, mâu thuẫn vì i I I x \   Ngược lại, nếu II x 

và F I thì x F  I Thật vậy, lấy bất kỳ x F I và đặt x t  1 t x t x  với

 0,1 

t  Do ,x xF I nên ta có A x b A x b I  I, I  Ivà A x I  b A x b I, I   I mà

1 

t

x   t x t x Từ đó suy ra được x F t I và x t x khi t 0

Theo định nghĩa, x v , N x v  , ; 3 nếu và chỉ nếu có dãy x v k, kx v, 

 , cho quagiới hạn k   , từ (1.17) ta được j x v, QQ Ta suy ra

Vậy định lý được chứng minh.

2.2.13 Định lý[9] (đối đạo hàm chuẩn tắc, b cố định) Cho x v, gphF3 và

x A b A

Lấy bất kỳ j I Tính chất (1.20) sẽ được chứng minh nếu ta chứng minhđược bj 0.

 Giả sử b bi  i, với i J \ j b, jb j  ,b j , trong đó0

Do đó b bj j  b j 0, mà bj b j nên bj  b j 0 Suy ra bj   0, j I0 Như vậy(1.21) được chứng minh.

Vậy bổ đề được chứng minh

2.2.15 Bổ đề[9] Nếu x b v   và , ,  2 x b v, , R nR mR n là bộ ba thỏa mãn (1.18), (1.19), (1.20) và cộng thêm điều kiện

b I 0 (1.23) thì x b v, , N x b v   , , ; 2.

Sử dụng Bổ đề 2.2.14 chúng ta đưa ra một ước lượng trên cho nón pháp tuyếnMordukhovich của 2 tại x b v   , ,  2

2.2.16 Định lý[9] (Nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich của 2) Cho bất kỳ điểm x b v  , ,  2, nếu x b v , ,  R nR mR n mà

với F Ix A x: I b I, A x b I  I, IJ I\ 

Chứng minh Giả sử x b v , ,  N x b v  , , ;  2 Khi đó sẽ tồn tại dãy

x b v k, ,k kx b v, ,  và x b v k, ,k kx b v, ,  sao cho v kN x k; A b, k  và x b v k, ,k kN x b v   k, ,k k;2, k.(1.29)

x v k, k T F C I ;  v k T F C I ;  v k

(1.34)

Cho k   và dựa vào chứng minh của Định lý 2.2.12, từ (1.34), (1.31) và (1.32)

ta suy ra được điều cần chứng minh

Vậy định lý được chứng minh

ta giả sử rằng I k0  I I Nhưng nói chung, khi v kv không kéo theo II0

3.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ

Chúng tôi sử dụng bài toán và các định nghĩa, định lý, ký hiệu ở chương II vàochương III nhằm xét điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm có tính chất Aubin.

3.1.1 Định nghĩa (i) Ánh xạ nghiệm S(q, b) của bài toán (1.4) được gọi là có

tính chất Aubin trong lân cận điểm q b x 0, ,0 0 gphS nếu tồn tại các lân cận U1

của q , 0 U của 2 b , V0 của x và một hằng số 0 l 0 sao cho

S q b  V  S q b l q  q  b b B , q b , , ,q b  U  1 U2

, trong đó B là hình cầu đóng đơn vị trong R n R n

(ii) Ánh xạ nghiệm S(w, b) của bài toán 0 f x , w N x ; A b,  , với

f R R  R là một hàm véctơ C1 đã cho được gọi là có tính chất Aubin trong

lân cận điểm w , ,0 b x 0 0 gphS nếu tồn tại các lân cận W của w , 0 U của b , V0

của x và một hằng số 0 l  sao cho0

w , b w, b  w w b  R n, w , b , w, b  

S   V  S l      b B     W  U

3.1.2 Chú ý dist(u, ) = inf{u  :   } ký hiệu khoảng cách từ u đến

  Rn

3.1.3 Định nghĩa (i) Ánh xạ nghiệm S(q, b) của bài toán (1.4) là chính quy

mêtric địa phương theo nghĩa Robinson trong lân cận điểm 0 x q b0, , , 00 0 R n

thỏa mãn 0 M x0 q0N x 0;A b, 0  nếu tồn tại các hằng số 0,0 vàcác lân cận V của x , 0 U của 1 q , 0 U của 2 b sao cho0

 0 0  0  0 

0 f x , w N x ; A b, nếu tồn tại các hằng số 0,0 và các lân cận

V của x , 0 W của w , 0 U của b sao cho 0

3.1.4 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian Banach, hàm f X: Y được

gọi là khả vi chặt tại x X nếu f khả vi Fréchet tại x và

3.1.7 Định lý[10] Cho X Y Z, , là các không gian Euclide hữu hạn chiều, ánh

xạ đa trị F X Y:  Z , x y0, 0 X Y sao cho 0F x y 0, 0 Giả sử G là hàm ẩn đa trị được xác định bởi G y   x X : 0F x y ,  Nếu gph F là tập

đóng địa phương trong lân cận điểm 0 x y0, 0, 0Z và

ker D F   0  0

(2.1)

thì D G y x  0, 0  x  yY:zZ,x y,  D F  0  z  , (2.2) với mỗi x X.

3.1.8 Định lý[10] Với các ký hiệu như trong Định lý 3.1.7, nếu (2.1) được

thỏa mãn và

3.1.9 Định lý[10] Cho X Y Z, , là các không gian Euclide hữu hạn chiều, ánh

xạ đa trị F X Y:  Z , x y0, 0X Y sao cho 0F x y 0, 0 Giả sử G là hàm ẩn đa trị được xác định bởi G y  x X : 0 F x y ,  Nếu gph F là đóng địa phương trong lân cận điểm 0 x y0, 0, 0Z, (2.1) và (2.3) được thỏa mãn thì

G là chính quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson trong lân cận điểm

với tập chỉ số I I I x  0  i J A x: i 0 b i và một mặt đóng Q của nón lồi đa diện T F C I;  M x0q0 thì có các tính chất sau:

(i) Ánh xạ q S q b ,  có tính chất Aubin trong lân cận điểm

q x0, 0gph S.,b;

(ii) Ánh xạ q S q b ,  là chính quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson

trong lân cận điểm x q0, 0, 0R n.

Chứng minh Dễ thấy F là khả vi chặt tại 1 x q Ta sẽ chứng minh 0, 0 F là3

ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, tức chứng minh gphF là tập đóng.3

Thật vậy, giả sử x q v  gph n, n, n F mà 3 x q v n, n, n x q v, ,  , ta cần chứngminh x q v , ,  gphF Từ 3 x q v  gph n, n, n F suy ra 3 v nN x C n;  Do đó

v x n,  x n  0, x C

Cho n  thì ta có v x,  x 0, x C Từ đó suy ra v N x C  ;  Do vậy

x q v , ,  gphF Khi đó áp dụng Định lý 3.1.5 cho tổng 3 F F F 1 3 tại điểm

Với  0 x y0, 0, 0R n  x q0, , 00 R n, từ (2.5) suy ra kerD F   0  0

Điều kiện (2.3) sẽ được viết như sau: