bai 3 ham so bac hai

Từ đó cho biết đồ thị của nó có thể được suy ra từ đồ thị của hàm số nào nhờ các phép tịnh tiến song song với các trục tọa độ.. Hãy mô tả các phép tịnh tiến đó..[r]

1 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

BÀI 3 – HÀM SỐ BẬC HAI

1 Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số mà biểu thức có dạng 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 trong đó 𝑎, 𝑏, 𝑐

là các số thực cho trước và 𝑎 ≠ 0

2 Đồ thị:

a Đồ thị của hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐: đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2 là một parabol (𝑃𝑜) có:

 Đỉnh là gốc tọa độ 𝑂

 Trục đối xứng là trục 𝑂𝑦

 Bề lõm hướng lên trên khi 𝑎 > 0 và hướng xuống dưới khi 𝑎 < 0

b đồ thị của hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄:

Ta có: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂 𝒙𝟐+𝒃

𝒂𝒙 +

𝒄

𝒂 = 𝒂 𝒙 +

𝒃 𝟐𝒂

𝟐

+𝒄

𝒂−

𝒃𝟐

𝟒𝒂𝟐

= 𝒂 𝒙 + 𝒃

𝟐𝒂

𝟐

− 𝒃𝟐 𝟒𝒂− 𝒄 = 𝒂 𝒙 +

𝒃 𝟐𝒂

𝟐

− ∆ 𝟒𝒂 Suy ra, đồ thị là ảnh của parabol 𝑃𝑜 : 𝑦 = 𝑎𝑥2 qua hai phép tịnh tiến song song với các trục

 Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) là parabol có đỉnh 𝐼 −2𝑎𝑏 ; −4𝑎∆

 Trục đối xứng là đường thẳng 𝑥 = −2𝑎𝑏

 Khi 𝑎 > 0 bề lõm hướng lên trên và có giá trị nhỏ nhất là −4𝑎∆

 Khi 𝑎 < 0 bề lõm hướng xuống dưới và có giá trị lớn nhất là −4𝑎∆

𝒂 > 𝟎

𝑦

𝒂 < 𝟎

𝑦

𝒂 > 𝟎

𝑦

𝑥

𝑂

𝒂 < 𝟎

𝑥

𝑦

𝑂

2 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

Áp dụng 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

① 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 + 3

② 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3

c Sự biến thiên của hàm số bậc hai: 𝒂 > 𝟎 𝒂 < 𝟎 Áp dụng 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau ① 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 + 3 ② 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3

 Xác định tọa độ đỉnh

 Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm

 Xác định một vài điểm đặc biệt và nối chúng lại

𝑥

𝑦

2𝑎

− ∆ 4𝑎

𝑥

𝑦

2𝑎

− ∆ 4𝑎

3 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

Các kết quả dễ dàng kiểm chứng

 Phương trình parabol có đỉnh đặt trên đường thẳng 𝑦 = 𝛽 là: 𝒚 = 𝒎(𝒙 − 𝒂)𝟐+ 𝜷 (𝒎 ≠ 𝟎)

 Phương trình parabol có đỉnh là 𝐼(𝛼; 𝛽) có dạng: 𝒚 = 𝒎(𝒙 − 𝜶)𝟐+ 𝜷 (𝒎 ≠ 𝟎)

 Phương trình parabol đi qua hai điểm 𝐴 𝑥𝐴; 𝑦𝐴 ; 𝐵 𝑥𝐵; 𝑦𝐵 thuộc đường thẳng 𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞 có dạng: 𝒚 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝑨 𝒙 − 𝒙𝑩 + 𝒑𝒙 + 𝒒 𝒎 ≠ 𝟎

 Phương trình parabol đi qua hai điểm có tung độ bằng nhau 𝐴 𝛼; 𝛾 ; 𝐵 𝛽; 𝛾 có dạng:

𝒚 = 𝒎 𝒙 − 𝜶 𝒙 − 𝜷 + 𝜸 (𝒎 ≠ 𝟎)

3 Luyện tập:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎)

① 𝑦 = −2𝑥2− 4𝑥 + 6

② 𝑦 = 2𝑥2− 5𝑥 + 3

③ 𝑦 =1

2𝑥2− 2𝑥

④ 𝑦 = −3

2𝑥2 + 6𝑥 −

9 2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 và 𝒚 = 𝒂 𝒙 𝟐+ 𝒃 𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎)

① 𝑦 = −2𝑥2− 4𝑥 + 6

② 𝑦 = −2 𝑥 2− 4 𝑥 + 6

③ 𝑦 = 2𝑥2 − 5𝑥 + 3

④ 𝑦 = 2 𝑥 2− 5 𝑥 + 3

⑤ 𝑦 = 1

2𝑥2− 2𝑥

⑥ 𝑦 =1

2 𝑥 2− 2 𝑥

⑦ 𝑦 = −3

2𝑥2− 6𝑥 − 1

⑧ 𝑦 = −3

2 𝑥 2− 6 𝑥 − 1

 Tập xác định: 𝐷 = ℝ

 Xác định tọa độ đỉnh: 𝐼 −2𝑎𝑏 ; −4𝑎∆

 Trục đối xứng: 𝑥 = −2𝑎𝑏

 Lập bảng biến thiên

 Lập bảng giá trị

 Vẽ đồ thị

 Vẽ 𝑃 : 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

 Lấy phần đồ thị (𝐶) ở phía trên trục 𝑂𝑥,

bỏ phần đồ thị (𝐶) ở phía dưới trục 𝑂𝑥

 Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶) dưới trục

𝑂𝑥 qua 𝑂𝑥

 Vẽ 𝑃 : 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐

 Lấy phần đồ thị 𝐶 ở bên phải trục 𝑂𝑦,

bỏ phần đồ thị 𝐶 ở bên trái trục 𝑂𝑦

 Lấy đối xứng phần đồ thị (𝐶) ở bên phải trục 𝑂𝑦 qua 𝑂𝑦

Tìm GTLN, GTNN (nếu có)

① Trên −3; 1

② Trên −32; 1

③ Trên 0; 4

④ Trên 1; 3

𝑦

𝑥

𝑂

𝑦

𝑥

𝑂

𝑦

𝑥

𝑂

𝐻3

𝐻1

𝐻2

4 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

Xác định các hệ số 𝒂, 𝒃, 𝒄 của hàm số 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎) Phương pháp: ta thiết lập hệ phương trình với các ẩn 𝑎, 𝑏, 𝑐 biểu thị các tính chất của đồ thị hoặc hàm

số, và thường sử dụng các công thức sau:

 Hoành độ đỉnh: 𝑥 = −2𝑎𝑏

 Tung độ đỉnh: 𝑦 = −4𝑎∆

 𝑀 𝑥𝑀; 𝑦𝑀 ∈ 𝑃 ⇔ 𝑦𝑀 = 𝑎𝑥𝑀2 + 𝑏𝑥𝑀+ 𝑐

 𝑎 > 0 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại 𝑥 = −2𝑎𝑏

 𝑎 < 0 hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 𝑥 = −2𝑎𝑏

Bài 1: Cho hàm số 𝑃 : 𝑦 = 𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 Tìm 𝑏, 𝑐 biết:

① Đi qua 2 điểm 𝐴 −1; 2 ; 𝐵 2; −1 ② Hàm số đạt GTNN bằng −1 khi 𝑥 = 1

Bài 2: Cho hàm số 𝑃 : 𝑦 = 𝑎𝑥2− 4𝑥 + 𝑐 Tìm 𝑎, 𝑐 biết:

① Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 và có GTNN bằng 1

② Hàm số đạt GTNN bằng 1 khi 𝑥 = 1 ③ Hàm số có giá trị là 3 khi 𝑥 = 0 và GTNN là −1

④ Đồ thị hàm số có hoành độ đỉnh là 𝑥 = 2 và cắt trục hoành tại điểm 𝑀(0; 5)

Bài 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 2, Tìm 𝑎, 𝑏 biết:

① Đồ thị đi qua 2 điểm 𝐴 1; 5 ; 𝐵 −2; 8 ② Đồ thị hàm số có đỉnh 𝐼 2; −2

③ Đồ thị đi qua điểm 𝐴 3; −4 và có trục đối xứng là 𝑥 = −32

④ Đồ thị đi qua điểm 𝐵(−1; 6) và tung độ của đỉnh là −14

⑤ Hàm số đạt cực đại bằng 12 tại 𝑥 = 3

⑥ Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại 𝑥 = −1

Bài 4: Cho hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 có đồ thị 𝑃 Tìm 𝑎, 𝑏, 𝑐 biết:

① Đồ thị (𝑃) đi qua 3 điểm 𝐴 1; 0 ; 𝐵 −3; 4 ; 𝐶(0; −4)

② Đồ thị (𝑃) có đỉnh 𝐼 2; −1 , cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3

③ Đồ thị (𝑃) có đỉnh 𝐼 1; 4 , và đi qua điểm 𝐷(3; 0)

④ Hàm số 𝑓(𝑥) là hàm số chẵn, đồ thị (𝑃) đi qua hai điểm 𝐴 −1; 0 ; 𝐵(2; −3)

⑤ Đồ thị (𝑃) cắt trục tung tại điểm có tung độ −1 và hàm số đạt GTLN bằng 0 khi 𝑥 = 2

⑥ Đường thẳng 𝑦 = 3 cắt (𝑃) tại 2 điểm có hoành độ là −1 và 3, hàm số đạt GTNN bằng −1

⑦ (𝑃) có trục đối xứng là 𝑥 = −2, đi qua 𝐴(1; 4) và đỉnh 𝐼 thuộc đường thẳng 𝑦 = 2𝑥 − 1

⑧ (𝑃) qua 𝐴(−3; 0) và tiếp xúc với 𝑑 : 𝑦 = 𝑥 − 1 tại điểm 𝐵(−1; −2)

⑨ (𝑃) có trục đối xứng là 𝑥 = 2, đi qua 𝐴(1; 8) và cắt trục 𝑂𝑦 tại điểm có tung độ bằng 5

⑩ Hàm số đạt cực tiểu bằng −4 tại 𝑥 = 1 và đi qua điểm 𝑀(2; −3)

Giải bất phương trình 𝒚 ≤ 𝟎; 𝒚 ≥ 𝟎; 𝒚 < 𝟎; 𝒚 > 𝟎

 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0)

 Dựa vào đồ thị tìm 𝑥 thỏa mãn đề bài

5 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

Bài 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5

① Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên ② Tìm 𝑥 ∈ 0; 4 để 𝑦 ≥ 0

③ Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 0; 4

Bài 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

① Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên ② Tìm 𝑥 sao cho 𝑦 ≤ 0

③ Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 0; 3

Bài 3: Cho hàm số 𝑦 =12𝑥2+ 𝑥 −32

① Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên ② Tìm 𝑥 sao cho 𝑦 > 0

③ Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn −2; 2

Bài 4: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥2+ 2𝑥 + 3

① Khảo sát và vẽ đồ thị ② Tìm 𝑥 sao cho 𝑦 > 0 ③ Tìm 𝑥 sao cho 𝑦 < 0

Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị

 Vẽ parabol 𝑃 : 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0)

 Biến đổi phương trình bậc hai của đề bài thành phường trình hoành độ giao điểm của (𝑃) và đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑚 cùng phương với trục 𝑂𝑥)

 Số nghiệm của phương trình đề bài là số giao điểm của (𝑃) và 𝑑

Bài 1: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥2+ 3𝑥 + 1

① Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

② Biện luận theo 𝑚 số nghiệm phương trình: 𝑥2− 3𝑥 − 1 + 𝑚 = 0

Bài 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

① Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

② Dựa vào đồ thị (𝑃) tìm 𝑚 để phương trình: 𝑥2− 4𝑥 + 3 − 𝑚 = 0 có đúng một nghiệm dương Bài 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥

① Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

② Dựa vào đồ thị (𝑃) tìm 𝑚 để phương trình: 𝑥2− 2𝑥 + 𝑚 = 0 có hai nghiệm dương

③ Dựa vào đồ thị (𝑃) tìm tất cả các giá trị của 𝑚 để phương trình: 𝑥2− 2𝑥 + 2 − 𝑚 = 0 có đúng một nghiệm thuộc đoạn −1; 2

Bài 4: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5

① Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

② Dựa vào (𝑃) tìm 𝑚 để pt: −𝑥2+ 4𝑥 + 𝑚 = 0 có hai nghiệm phân biệt 𝑥 ∈ −∞; 1 ∪ 4; +∞ Bài 5: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥2+ 6𝑥 − 5

① Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên, từ đó suy ra đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥2+ 6 𝑥 − 5

② Biện luận theo 𝑚 số nghiệm thỏa −1 < 𝑥 ≤ 4 của phương trình: 𝑥2− 6 𝑥 + 5 + 𝑚 = 0

6 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

Bài 6: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5

① Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

② Dựa vào đồ thị (𝑃) tìm tất cả các giá trị của 𝑚 để phương trình: 𝑥2− 6 𝑥 + 4 − 𝑚 = 0 có ba nghiệm phân biệt thỏa 𝑥 + 2 > 0

Bài 7: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 2 𝑥 − 2

① Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

② Định 𝑚 để phương trình: 𝑚 − 𝑥2+ 2 𝑥 + 2 = 0 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng −1; 2 Bài 8: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥2+ 2 𝑥 − 2 + 4𝑥 + 1

① Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên và xét tính chẵn lẻ của nó

② Định 𝑚 để phương trình: −𝑥2+ 2 𝑥 − 2 + 4𝑥 + 1 = 𝑚 có bốn nghiệm phân biệt thuộc

Tịnh tiến đồ thị Cho hai parabol 𝑃 : 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 và 𝑃′ : 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑎𝑥2+ 𝑏′𝑥 + 𝑐′ có hai hệ số 𝑎 bằng nhau Tìm phép tịnh tiến song song trục tọa độ biến (𝑃) thành 𝑃′

 Bước 1: Tìm tọa độ đỉnh 𝐼 của 𝑃 và 𝐼′ của 𝑃′

 Bước 2: Xác định phép tịnh tiến song song trục tọa độ biến 𝐼 thành 𝐼′: qua trái hay qua phải mấy đơn vị, sau đó đi lên hay đi xuống mấy đơn vị đó cũng là phép tịnh tiến biến (𝑃) thành 𝑃′

 Bước 3: Kiểm tra lại bằng công thức 𝑦 = 𝑓 𝑥 ± 𝑝 ± 𝑞 để chứng tỏ được rằng đây chính là hàm số

𝑦 = 𝑔 𝑥

Bài 1: Cho hàm số 𝑦 = 2𝑥2 có đồ thị 𝑃𝑜 Hãy xác định các phép tịnh tiến song song với các trục tọa độ biến đổi (𝑃𝑜) thành đồ thị của các hàm số sau đây:

① 𝑦 = 2(𝑥 + 1)2

② 𝑦 = 2(𝑥 − 2)2

③ 𝑦 = 2(𝑥 + 2)2− 3

④ 𝑦 = 2(𝑥 − 3)2+ 1 Bài 2: Cho hai hàm số bậc hai 𝑦 = 𝑓(𝑥) và 𝑦 = 𝑔(𝑥) có đồ thị lần lượt là (𝑃1) và 𝑃2 Hãy xác định các phép tịnh tiến song song với các trục tọa độ biến đổi (𝑃1) thành 𝑃2 vẽ (𝑃1) và 𝑃2 trong cùng một

hệ trục tọa độ

① 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 2𝑥2− 6𝑥 + 1; 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 2𝑥2+ 3

② 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2− 2𝑥 + 3; 𝑦 = 𝑔 𝑥 = 𝑥2+ 4𝑥 + 1

③ 𝑦 = 𝑓 𝑥 = −𝑥2+ 2𝑥 − 1; 𝑦 = 𝑔 𝑥 = −𝑥2+ 4𝑥 + 2

Bài 3: Phân tích mỗi hàm số sau đây thành dạng: 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2+ 𝑞 Từ đó cho biết đồ thị của nó có thể được suy ra từ đồ thị của hàm số nào nhờ các phép tịnh tiến song song với các trục tọa độ Hãy mô

tả các phép tịnh tiến đó

① 𝑦 = 𝑥2− 8𝑥 + 12

② 𝑦 = −3𝑥2− 12𝑥 + 9

③ 𝑦 = 2𝑥2− 4𝑥

④ 𝑦 = −4𝑥2 + 16𝑥 + 8

7 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898

Các loại bài tập khác Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

𝑦 = 𝐹 𝑥 = −𝑥 +

3

2 khi 𝑥 ≤ −

1 2

−2𝑥2+ 𝑥 + 3 khi 𝑥 > −1

2

Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 𝑦 = 𝐹 𝑥 = 𝑥2− 2𝑥 + 4𝑥2− 12𝑥 + 9

Bài 3: Tìm m để hàm số 𝑦 = 2𝑥2− 2𝑚𝑥 + 1 đồng biến trên khoảng (−1; 3)

Bài 4: Tìm m để hàm số 𝑦 = 𝑥2 + 𝑚 + 2 𝑥 + 𝑚 − 3 giảm trên khoảng (−2; 3)

Bài 5: Viết phương trình parabol 𝑃 , có đỉnh 𝐴 1; −2 và (𝑃) chắn trên đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑥 + 1 một dây cung có độ dài 𝑀𝑁 = 34

Bài 6: Viết phương trình parabol 𝑃 , biết (𝑃) cắt 𝐻 : 𝑦 =𝑥−41 tại các điểm có hoàng độ nghiệm đúng phương trình 𝑥3− 4𝑥2− 5𝑥 = 0

Bài 7: Viết phương trình parabol 𝑃 , có đỉnh nằm trên đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = −34 và luôn cắt

𝐻 : 𝑦 =2𝑥2+ 𝑚−1 𝑥+𝑚𝑥−𝑚 tại các điểm cố định

Bài 8: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 𝑚𝑥 + 𝑚 − 2 có đồ thị là 𝑃𝑚

① Xác định giá trị 𝑚 sao cho (𝑃𝑚) đi qua điểm 𝐴(2; 1)

② Tìm tọa độ điểm B sao cho đồ thị (𝑃𝑚) luôn đi qua dù 𝑚 lấy bất kỳ giá trị nào?

Bài 9: Cho hàm số 𝑦 = 𝑚𝑥2− 𝑚 + 1 𝑥 − 2𝑚 + 3 có đồ thị là 𝑃𝑚

① Xác định giá trị 𝑚 sao cho (𝑃𝑚) đi qua điểm 𝐴(2; 1)

② Tìm tọa độ các điểm sao cho đồ thị (𝑃𝑚) luôn đi qua dù 𝑚 lấy bất kỳ giá trị nào?

Bài 10: Cho parabol 𝑃 : 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎 ≠ 0 và một đường thẳng song song trục hoành, cắt (𝑃) tại hai điểm 𝐴, 𝐵 Chứng minh rằng trung điểm 𝐴𝐵 thuộc trục đối xứng của 𝑃

Bài 11: Cho parabol 𝑃 : 𝑦 = 2𝑥2+ 𝑥 − 3 và đường thẳng 𝑑 : 𝑦 = 𝑚𝑥 Chứng minh rằng (𝑑) luôn cắt (𝑃) tại hai điểm phân biệt 𝐴, 𝐵 hãy xác định tọa độ trung điểm của đoạn 𝐴𝐵

Bài 12: Cho 𝑃𝑚 : 𝑦 = 𝑚𝑥2− 2𝑚𝑥 + 1 (𝑚 ≠ 0)

① Chứng tỏ đỉnh của (𝑃𝑚) luôn di động trên một đường thẳng cố định với mọi 𝑚 ≠ 0

② Chứng tỏ rằng khi 𝑚 thay đổi, (𝑃𝑚) luôn đi qua hai điểm cố định

③ Định m để trên (𝑃𝑚) có hai điểm phân biệt đối xứng qua 𝑂

④ Chứng tỏ rằng (𝑃𝑚) luôn cắt 𝑑𝑚 : 𝑦 = 𝑥 − 𝑚 tại hai điểm phân biệt 𝐴, 𝐵 Tìm quỹ tích trung điểm

𝐼 của đoạn 𝐴𝐵 khi 𝑚 thay đổi

“Bạn cần phải thấy thỏa mãn bởi chính cuộc sống

Chúng ta sống từng giây, từng phút một, mà mỗi giây phút ấy không bao giờ trở lại”