Toán 10 Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

+ Nhận biết được các dạng của phương trình đường tròn.. + Trình bày được các điều kiện để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, một điểm vớiđường tròn.. + Trình bày được cách viế

CHƯƠNG 3 BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Trình bày được cách viết phương trình tổng quát của đường tròn

+ Nhận biết được các dạng của phương trình đường tròn

+ Trình bày được các điều kiện để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, một điểm vớiđường tròn

+ Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến đường tròn

 Kĩ năng

+ Viết phương trình đường tròn tâm I a b ;  bán kính R.

+ Xác định được tâm và bán kính của một đường tròn khi biết phương trình đường tròn

+ Viết được phương trình tiếp tuyến với đường tròn khi biết tọa độ của tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến

Cho điểm M x y 0; 0 nằm trên đường tròn  C Phương trình

tiếp tuyến với  C tại M là

Xác định tâm, bán kính của đường tròn

Bài toán 1 Nhận dạng đường tròn

 Nếu M 0 thì (1) là phương trình đường tròn

 Nếu M 0 thì (1) không phải là phương trình

 Nếu M 0 thì (2) là phương trình đường tròn

 Nếu M 0 thì (2) không phải là phương trình

Vậy phương trình trên không phải là phương trình đường tròn.

Lưu ý: Khi xét một phương trình có phải là phương trình đường tròn, trước tiên ta quan sát hệ số của

x 2 và y 2 Hệ số của x 2 và y 2 khác nhau thì phương trình không phải là phương trình đường tròn

Ví dụ 2 Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

Chú ý: Những bài toán không cho phương trình

đường tròn ở dạng tường minh ta phải đi tìm bán

kính và tâm thông qua các yếu tố hình học

b) 2 2

Ta có a1; b1; c1 nên tâm I1;1 vàbán kính 2 2

Ta có

72

11

210

10

a a

Bước 1 Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB; AC:

Trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm 0;3 và nhận AB0;6

làmvectơ pháp tuyến nên có phương trình  d1 :y 3

Trung trực của đoạn thẳng AC đi qua trung điểm 4;0 và nhận AC8;0

làmvectơ pháp tuyến nên có phương trình  d2 :x 4

Bước 2 Xác định giao điểm của hai trung trực chính là tâm của đường tròn:

Tọa độ giao điểm của hai đường trung trực thỏa mãn: 3 4;3

4

y

I x

Ví dụ 3 Cho C m:x2 y2  2m1x 4m 1 y 5 m0 Tìm điều kiện của m để C là một m

đường tròn Khi đó, tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn

Khi đó, đường tròn C có tâm m I m 1;2m 1  và bán kính R 5m2 5m.

Ví dụ 4 Cho C m:x2 y2 m2x m4 y m  1 0.

a) Chứng minh rằng C là họ các đường tròn m

b) Tìm tập hợp tâm của C khi m thay đổi m

c) Chứng minh rằng họ các đường tròn C luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi m

Hướng dẫn giải

22

Vậy tập hợp tâm các đường tròn C khi m thay đổi là đường thẳng m x y 1 0

c) Gọi M x y M; M là điểm cố định mà họ C luôn đi qua m

Khi đó x M2 y M2 m2x M  m4y M m 1 0 với mọi m

x y

Câu 7: Cho đường tròn  C x: 2 y2 8x6y 9 0 Mệnh đề nào sau đây sai?

A  C không đi qua điểm O0;0. B  C có tâm I   4; 3.

C  C có bán kính R 4 D  C đi qua điểm M  1;0

Câu 8: Giá trị của m là bao nhiêu để phương trình x2y2 2mx 4m 2 y 6 m0 là phương trìnhđường tròn?

 Viết phương trình của  C theo dạng:

 Giải hệ phương trình tìm nghiệm a, b, c rồi thay

vào (1) để có phương trình đường tròn  C

Phương trình đường tròn  C có tâm I  1;1 và

bán kính R 3 là   C : x12y12 9.b) Đi qua ba điểm A1; 3 , B2;4 và C4; 2 .Giả sử phương trình đường tròn  C có dạng

x  y  ax by c  với 2 2

0

a b  c Theo bài ra, ta có A1; 3    C

a

b c

Ví dụ 1 Viết phương trình đường tròn  C trong các trường hợp sau

a) Có tâm I1;4 và đi qua gốc tọa độ.

b) Nhận AB làm đường kính với A2;5 và B  4;1 .

c) Có tâm I nằm trên đường thẳng : d x y  2 0 và đi qua hai điểm

 1;2

A  và B2; 2 

d) Ngoại tiếp OAB với A2;0 và B  2;1.

e) Nội tiếp OAB với A8;0 và B0;6.

b) Ta có AB là đường kính nên trung điểm I  1;3 của AB là tâm của đường

và có bán kính r 2 nên I2;2.

Cách khác.

Vì tâm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên

I  d AB Do đó ta

viết phương trình của đường thẳng AB và tìm giao điểm I của d và AB.

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp OAB là   C : x 22y 224

Ví dụ 2 Cho điểm M x y có  ;  1 2cos  

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y 0 và d2: 3x y 0 Gọi  C

là đường tròn tiếp xúc với d tại A và cắt 1 d tại B, C sao cho 2 ABC vuông tại B Viết phương trình  C

biết diện tích ABC bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương.

Hướng dẫn giải

Điểm A d 1 nên A t t ; 3 với t 0 Vì ABC vuông tại B nên AC là đường kính của đường tròn

 C

Đường thẳng AC qua A và vuông góc với d nên có phương trình là 1 x 3y 4t 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 3 4 0 2

Đường thẳng AB qua A và vuông góc với d nên có phương trình là 2 x 3y2t0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

B t

A x12y42 5 B x12 y 42  5.

C x12y42  5 D x12 y 42 5

Câu 4: Cho hai điểm A  2;1, B3;5 và điểm M thỏa mãn  AMB   Khi đó điểm M nằm trên90

đường tròn nào sau đây?

Dạng 3 Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng với đường tròn

Bài toán 1 Vị trí tương đối

Phương pháp giải

Sử dụng các kiến thức hình học đã học ở trung học cơ

sở để giải bài toán

Nhắc lại:

Cho đường tròn  C tâm I, bán kính R.

 Vị trí tương đối của điểm A và đường tròn  C :

+) IA R : Điểm A nằm trong đường tròn.

+) IA R : Điểm A nằm trên đường tròn.

+) IA R : Điểm A nằm ngoài đường tròn.

 Vị trí tương đối của đường thẳng  d và đường tròn

 C :

Gọi h là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng  d

+) h R : Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm

+) h R : Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

Ví dụ: Xác định vị trí của điểm A1;2 với

+) h R : Đường thẳng không cắt đường tròn.

 Cho đường tròn  C có tâm 1 I , bán kính 1 R và1

đường tròn C có tâm 2 I , bán kính 2 R :2

+) R1 R2 I I1 2R1R2: hai đường tròn cắt nhau

tại hai điểm

+) I I1 2 R1R2 hoặc I I1 2 R1 R2 : hai đường

3

x y

Ví dụ 2 Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn:

 C1 :x2 y2  4 0 và C2 : x102y162 1

A Không có điểm trung B Cắt nhau.

C Tiếp xúc nhau C Tiếp xúc ngoài.

C không có điểm chung.2

Ví dụ 3 Đường tròn  C x: 2y2 2x 2y 1 0 cắt đường thẳng :d x y  2 0 theo một dây cung

có độ dài bằng bao nhiêu?

2 .

Do đó I d hay đường thẳng  d đi qua gốc tọa độ.

Vậy  d cắt đường tròn theo dây cung chính là đường kính và có độ lớn 2R 2

Ví dụ 6 Cho đường tròn  C x: 2y2 6x 2y 5 0 và đường thẳng d đi qua điểm A  4;2, cắt  C

tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm của MN Phương trình của đường thẳng d là

C x y  x y  Đường thẳng d đi qua A3;2 và cắt  C theo

một dây cung ngắn nhất có phương trình là

A 2x y 2 0 B x y  1 0

IA   R nên điểm A nằm trong đường tròn.

Để d cắt  C theo một dây cung ngắn nhất thì khoảng cách h từ tâm đến đường thẳng d là lớn nhất.

Mà h IA nên IAd sẽ thỏa mãn đề bài

Phương trình đường thẳng đi qua A3;2 và nhận IA1; 1 

Cho đường tròn  C tâm I a b và bán kính R. ; 

Nếu biết tiếp điểm là M x y thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ  0; 0 IM x0 a y; 0 b

làm vectơpháp tuyến nên có phương trình là x0 a x x   0  y0 b y y   0 0

Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn  C khi và chỉ khi

b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M5;3.

c) Lập phương trình tiếp tuyến của  C , song song với đường thẳng   : 5x12y 2 0

d) Lập phương trình tiếp tuyến của  C , vuông góc với đường thẳng   : 3x 4y11 0

e) Lập phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến đi qua E3; 6 

63

5 12

C C

d) Tiếp tuyến  d vuông góc với đường thẳng 3   : 3x 4y 11 0

e) Tiếp tuyến  d đi qua 4 E3; 6   d4 :A x  3B y 6 0

12

B

A  , chọn B12 A 5  d5 : 5x 12y 87 0

Vậy có hai tiếp tuyến  d4 :y   và 6 0  d5 : 5x 12y 87 0

Ví dụ 2 Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:

Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình : ax by c  0 với a2 b2  0

 là tiếp tuyến chung của  C và 1 C2

D Không có đường tròn nào thỏa mãn bài toán.

Câu 10: Cho đường tròn   C : x 32y12 10 Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm A4;4

Câu 12: Cho đường tròn  C :x2 y2  6x2y 5 0 và đường thẳng d: 2xm 2 y m  7 0

Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của  C ?

A m 3 B m 15 C m 13 D m 3 và m 13

Câu 13: Cho đường tròn  C x: 2 y2  2x8y 23 0 và điểm M8; 3  Độ dài đoạn tiếp tuyến của

 C xuất phát từ M (với hai đầu mút là M và tiếp điểm) là

Câu 7.

Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm M2;2 và nhận AB2; 2 

làm vectơ pháptuyến nên có phương trình là x 2  y 2  0 x y 0

Tọa độ tâm của đường tròn thỏa mãn 2 7 0 7  7; 7

Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là x 2  y 3  0 x y  5 0

Đường tròn đi qua hai điểm A; B nên có tâm I t ;5 t x y 5 0

Vì đường tròn tiếp xúc với : 3d x y  3 0 nên ta có R IA d I d   ;  

x 42y12 10 x2y2 8x 2y 7 0

là vectơ pháp tuyến nên d A x:   5B y 1 0.