Toán 10 Bài 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

CHUYÊN 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNGBÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết được vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng.. + Trình bày được cá

CHUYÊN 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhận biết được vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng

+ Trình bày được cách viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng.+ Trình bày được điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau hoặc vuông góc

 Kĩ năng

+ Viết được phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua một điểm

 0; 0

M x y và có phương cho trước hoặc đi qua hai điểm cho trước

+ Tìm được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của vectơ chỉ phương của một đườngthẳng và ngược lại

+ Biết cách chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng.

+ Tính được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ Tính được góc giữa hai đường thẳng

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu



 

0

u và giá của u song song hoặc trùng với 

Nhận xét: Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

Nếu u là vectơ chỉ phương của  thì ku k  0 cũng là vectơ

chỉ phương của 

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu u 0 và

giá của n vuông góc với 

Nhận xét: Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

Nếu n là vectơ pháp tuyến của  thì kn k  0



cũng vectơ pháptuyến của 

Liên hệ giữa vectơ chỉ phương, hệ số góc, vectơ pháp tuyến của một đường thẳng

Cho đường thẳng  với uu u1; 2,nn n1; 2;k lần lượt là vectơ chỉ

phương, vectơ pháp tuyến và hệ số góc của 

1 Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng  là 0 1

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng  có dạng axby c 0, trong đó cax0 by0

3 Một số trường hợp đặc biệt

Cho đường thẳng  cắt Ox; Oy lần lượt tại M a 0;0 ; N0;b0, trong đó a b 0 0 0 Khi đó ta có phương

trình đường thẳng theo đoạn chắn là

Cho hai đường thẳng :d axby c 0 và ' : 'd a xb y' c'0.

+ Hệ  I vô số nghiệm  dd'

+ Hệ  I có nghiệm duy nhất  d cắt d’.

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 có vectơ pháp tuyến n 1a b1; 1

Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc vuông nên khi tính côsin của góc giữa hai đường

thẳng ta cần lấy giá trị tuyệt đối côsin góc giữa hai vectơ chỉ phương (hoặc pháp tuyến)

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm M x y 0; 0 đến đường thẳng  2 2 

Mở rộng: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

Cho 1:axby  c 0; 2:axbyc'0 Khoảng cách giữa hai đường thẳng  1, 2 là:

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định các yếu tố của đường thẳng khi biết phương trình đường thẳng

Bài toán 1: Phương trình được cho ở dạng tổng quát

+ Đường thẳng đi qua điểm M x y 0; 0 thỏa mãn

 3;2

u  

b) Gọi M3;y0 là điểm thuộc đường thẳng  Khi

Chọn C

Ví dụ 2 Cho đường thẳng : 2 x y 50

a) Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng có hoành độ là 4

b) Biểu diễn các điểm thuộc đường thẳng có hoành độ là t.

c) Xác định điểm trên đường thẳng  cách gốc tọa độ một khoảng bằng 5

b) Các điểm thuộc đường thẳng : 2 x y 50 có hoành độ t là t;5 2 t

c) Theo câu b ta có M t ;5 2 t  nên

OM t   t   t  t   t

Vậy điểm cần tìm là: M2;1

Bài toán 2 Phương trình được cho ở dạng tham số, chính tắc

+ Đường thẳng đi qua điểm M x y 0; 0

+ Với mỗi giá trị của t thay vào phương trình tham số ta

được tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là

b) Xác định điểm thuộc đường thẳng d có hoành độ lớn gấp hai lần tung độ.

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  có phương trình tổng quát là 16x8y20190

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

là vectơ chỉ phương của  d

C nka kb k; , 0 là vectơ pháp tuyến của  d

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A2;1 và đường thẳng : x 2y 5 0 Điểm M

thuộc đường thẳng  sao cho AM  10 là:

A M11;2 , M24;3 B M11;2 , M23;4

C M11;2 , M23;4 D M11;2 , M24;3

Bài tập nâng cao

Câu 12: Cho hai điểm A1;2 , B3;1 và đường thẳng : 1

 Tọa độ điểm C thuộc  để tam

giác ACB cân tại C là:

Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có A1;2 , B4; 2 ,  C3;5 Một vectơ chỉ

phương của đường phân giác trong của góc A là:

Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M4;1, đường thẳng d qua M, d cắt tia Ox, Oy lần lượt

tại A a ;0 , B0;b sao cho tam giác ABO (O là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất Giá trị a 4b bằng:

Câu 15: Đường thẳng :d x y 1

ab  với a0,b0, đi qua điểm M  1;6 và tạo với các tia Ox, Oy một

tam giác có diện tích bằng 4 Giá trị của S  a 2b là:

Ví dụ Viết phương trình tham số và chính tắc của

đường thẳng  đi qua điểm M  1;3 và nhận

Nếu a b  0 thì đường thẳng  có phương trình

Ví dụ 1 Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua A1; 2  và nhận u    1;0 làm vectơ chỉ phương

b) d đi qua hai điểm M  3;1 và N2; 2 

c) d đối xứng với ' : d x2y 160 qua I1; 3 

d) d đi qua điểm B4; 3  và song song với đường thẳng ' : 2 3  

a) Ta có A1; 2 d và u    1;0 là vectơ chỉ phương của d.

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng d là: 1  

2

t y

là vectơ chỉ phương của d và M3;1d

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng d là 3 5  

 I là trung điểm của EE’ và Ed (vì d đối xứng với d’ qua I).

Vì B4; 3 d nên phương trình tham số của đường thẳng d là 4 3  

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có A2;1 , B1; 5  và C2;3

a) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM, BN của ABC

c) Viết phương trình đường thẳng AD là đường phân giác trong góc A của ABC D BC

d) Viết phương trình đường thẳng DG với G là trọng tâm của ABC

là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là 2  

là vectơ chỉ phương của AC.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng AC là

là vectơ chỉ phương của BC.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng BC là

M

y y y

là vectơ chỉ phương của đường thẳng AM.

Vậy phương trình đường trung tuyến AM là 2 7  

là vectơ chỉ phương của đường thẳng BN.

Vậy phương trình đường trung tuyến BN là  

Gọi D x D;y D là chân đường phân giác trong kẻ từ A đến BC của ABC.

là vectơ chỉ phương của AD.

Vậy phương trình đường phân giác trong AD của ABC là 2 3  

là vectơ chỉ phương của DG.

Vậy phương trình đường thẳng DG là  

1193123

Ví dụ 3 Cho hình bình hành ABCD có A3; 1 ,  B1;2 và C4;2 Viết phương trình các cạnh của

hình bình hành ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta có AB 2;3



là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là 3 2  

là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là 1  

2

t y

Vì AB/ /CD (ABCD là hình bình hành) nên AB là vectơ chỉ phương của đường thẳng CD.

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 4 2  

là vectơ chỉ phương của đường thẳng AD.

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AD là 3  

1

t y

+ Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là nA B; 

Khi đó, phương trình tổng quát của đường thẳng  là

A x x B y y 

Ví dụ.

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng d

đi qua điểm M1;4 và nhận n  5; 1  làmvectơ pháp tuyến là 5x 1  y 4 0hay 5x y 10

Nếu đường thẳng  cắt trục Ox tại A a ;0 và cắt trục Oy

tại điểm B0;b thì đường thẳng  có phương trình đoạn

Ví dụ 1 Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d biết:

a) d đi qua điểm A  2;1 và nhận n  1; 3  là một vectơ pháp tuyến

b) d đi qua điểm B0; 1  và có hệ số góc k 1

c) d đi qua điểm C3;2 và song song với đường thẳng ' : 2d x y 7 0.

d) d đi qua điểm D  2; 2  và vuông góc với đường thẳng ' : 6  

a) Ta có A2;1d và n  1; 3  là vectơ pháp tuyến của d.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là x 2 3y 1 0 hay x 3y 5 0

là vectơ pháp tuyến của d.

Lại có B0; 1 d nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là x 0 2y1 0 hay

x y 

c) Vì d song song với đường thẳng ' : 2 d x y 7 0 nên n d n d' 2; 1 

 

là vectơ pháp tuyến của d’.

Lại có C3;2d nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là 2x 3  y 2 0 hay

là vectơ pháp tuyến của d (vì d d')

Lại có D  2; 2  nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là  x22y2 0 hay

x y

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có A2;3 , B2; 1  và C  4; 1 

a) Viết phương trình đường thẳng chứa các đường cao của ABC Tìm tọa độ trực tâm của ABC.b) Viết phương trình các đường trung trực của ABC Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC.c) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC

d) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với BC.

là vectơ pháp tuyến của CH.

Với C4; 1 CH thì phương trình đường cao CH là

x4  y1 0 hay x y 3 0

là vectơ pháp tuyến của BH.

Với B2; 1 BH thì phương trình đường cao BH là x 22y1 0 hay x2y0

là vectơ pháp tuyến của AH.

Với A2;3AH thì phương trình đường cao AH là x 20

+ Ta có HAHCH nên tọa độ trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình: 2 0 2

+ Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận BC làm vectơ pháp tuyến

Ta có M  1; 1  là trung điểm của BC và BC   6;0

+ Đường trung trực của đoạn thẳng AC đi qua trung điểm AC và nhận AC làm vectơ pháp tuyến

Ta có N  3;1 là trung điểm của AC và AC   2; 4 



là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của

đoạn thẳng AC hay n ' 1;2



là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của AC

Vậy phương trình đường trung trực của AC là x 3 2y 1 0 hay x2y 1 0

+ Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm AB và nhận AB làm vectơ pháp tuyến

Ta có P0;1 là trung điểm của AB và AB 4; 4 



là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn

thẳng AB hay n '' 1; 1 



là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của AB

Vậy phương trình đường trung trực của AB là x 0 y 1 0 hay x y 1 0

+ Tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là nghiệm của hệ phương trình 1 0 1

là vectơ pháp tuyến của AB.

Với A2;3AB thì phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AB là x  2 y 30 hay

1 0

x y 

+ Ta có AC   2; 4 



là vectơ chỉ phương của AC n AC 2;1



là vectơ pháp tuyến của AC.

Với A2;3AC thì phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AC là 2x2 y 30 hay

là vectơ pháp tuyến của BC.

Với C4; 1 BC thì phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh BC là 0x4  y 1 0hay y  1 0

d) Đường thẳng qua A  2;3 và song song với BC sẽ nhận n BC 0;1

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

+ Hệ  I vô số nghiệm  dd'

+ Hệ  I có nghiệm duy nhất  d cắt d’

Khi đó nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của d và d’.

Với trường hợp a b c ' ' ' 0 Sử dụng biện luận hệ hai

phương tình bậc nhất hai ẩn ta có kết quả sau:

Ví dụ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Vậy d1 d2.

Ví dụ 2 Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau đây: 1:x 2y 1 0 và

C Vuông góc nhau D Cắt nhau nhưng không vuông góc.

 vô nghiệm nên hai đường thẳng đã cho song song

Cách 2: Đường thẳng 1 có vectơ pháp tuyến n 1 1; 2 



và 2 có vectơ pháp tuyến n  2  3;6



.Hai đường thẳng  2, 1 có n2 3n1

và 11 nên hai đường thẳng này song song

Chọn A

Chú ý:

Cho đường thẳng 1 có vectơ pháp tuyến n 1

và đường thẳng 2 có vectơ pháp tuyến n2

 Khi đó:

 thì hai đường thẳng cắt nhau:

Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau nếu n n 1 2 0

1 3

m m

Vậy m 0 thì d/ /d1.

b) Để dd1 thì n n d d2  0 1.m2 2.m 1 0 m4

 

Vậy m 4 thì dd2

Ví dụ 5 Cho hai đường thẳng d1:m1x2my 20 và d2 : 2mxm1y m 10 Tìm m để:

a) d1cắt d2 Tìm tọa độ giao điểm của chúng

' '' '

' '' '

+ Nếu D 0 và D  x 0 (hoặc D  y 0) thì hệ vô nghiệm

+ Nếu DD x D y 0 thì hệ vô số nghiệm

Ví dụ 6 Hai đường thẳng d1:mxym1,d2:xmy2 song song khi và chỉ khi

Ví dụ 7 Cho đường thẳng d:m2xm 1y 30

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố

định đó

b) Biện luận vị trí tương đối của d với d3: 2m1x y 20 theo m.

c) Trong trường hợp d cắt d3 tại B, tìm quỹ tích điểm B khi m thay đổi.

y

D x

D y

c) Theo câu b, ta có d cắt d3 khi m 0 và 5

1 2

22

m x

x m

x y

x y m

y

y m

Vậy quỹ tích của điểm B là đường thẳng có phương trình là 2 x y0 bỏ đi điểm O0;0 và điểm

a) Tìm mối quan hệ giữa a và b để d1 và d2 cắt nhau

b) Tìm điều kiện giữa a và b để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành

 thì d1 cắt d2 tại điểm thuộc trục hoành

Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x my20 và d2:mx y m20

(m là tham số).

Chứng minh rằng với mọi m  , hai đường thẳng d1 và d2 luôn cắt nhau tại một điểm nằm trên mộtđường tròn cố định

Câu 3: Cho hai đường thẳng d và d’ biết : 2 d x y 80 và ' : 1 2

 Biết I a b ,  là tọa độ giao

điểm của d và d’ Khi đó tổng ab bằng:

Câu 4: Cho đường thẳng d1: 2x y 150 và d2:x 2y 30 Khẳng định nào sau đây đúng?

A d1 và d2 vuông góc với nhau B d1 và d2 song song với nhau

C d1 và d2 trùng nhau D d1 và d2 cắt nhau và không vuông góc với nhau

Câu 5: Cho bốn điểm A1;2 , B4;0 , C1; 3 ,  D7; 7  Vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD

là:

Câu 6: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng :d y2x 1

?

A 2x y 5 0 B 2x y 50 C 2 xy0 D 2x y 50

Câu 7: Cho hai đường thẳng d1:m1x 2y 10 và 2  

1 2:

Câu 14: Cho tam giác ABC với A1;3 , B2;4 , C1;5 và đường thẳng : 2d x 3y 6 0 Đường

thẳng d cắt cạnh nào của tam giác ABC?

Phần tự luận

Câu 15: Cho đường thẳng :d x 3y 1 0 và điểm M  1; 4 

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên d.

b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua d.

Câu 16: Cho hình bình hành ABCD có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB, AD lần lượt là

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho đường thẳng : 3 x 2y 70

a) Tính khoảng cách từ điểm A  2;1 đến đường thẳng 

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  song song và ' : 1 2  

1313

a) Tìm giao điểm của hai đường thẳng a và b

b) Tìm điểm M trên a sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng b bằng 3

Với t 7, ta có: M110;7.

Với t 4, ta có: M24;4

Vậy M110;7 và M24;4 là hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 3 Điểm M trên trục Ox sao cho M cách đều hai đường thẳng d1: 3x2y 60 và

Ví dụ 4 Cho ba đường thẳng d1: 2x 3y 1 0,d2: 3x2y 30,d3:x y 3 0 và Tìm điểm M

trên d3 sao cho khoảng cách từ M đến d2 gấp đôi khoảng cách từ M đến d1