Toán 10 Bài 3 hàm số bậc HAI

+ Xác định được tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của parabol y ax 2bx c , tìm giaođiểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ và xét sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số... Ví d

CHƯƠNG 2 BÀI 3: HÀM SỐ BẬC HAI Mục tiêu

+ Xét được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 2

y ax bx c và lập được bảng biến thiêncủa hàm số khi a0,a0

+ Xác định được tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của parabol y ax 2bx c , tìm giaođiểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ và xét sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

+ Xác định được hàm số y ax 2bx c , khi biết đồ thị của nó thỏa mãn một số điều kiện chotrước

+ Vẽ được đồ thị hàm số y ax 2bx c y , ax2bx c y a x ,  2b x c



Bước 3: Xác định một số điểm cụ thể của parabol

(chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục tọa

độ và các điểm đối xứng của chúng qua trục đối

Ví dụ: Đồ thị hàm số y x 22x4 là một parabol có đỉnh I  1;3, nhận đường thẳng x 1

làm trục đối xứng và có bề lõm hướng lên trên do

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm B1;7 và B  3;7

đối xứng với nhau qua đường thẳng x 1.

Đồ thị hàm số như hình vẽ.

Sự biến thiên của hàm số bậc hai

- Khi a 0, hàm số nghịch biến trên khoảng

ac b a

 khi

2

b x a

 Bảng biến thiên của hàm số khi a 0 như sau:

- Khi a 0, hàm số đồng biến trên khoảng

ac b a

 khi

2

b x a

 Bảng biến thiên của hàm số khi a 0 như sau:

Ví dụ:

- Hàm số y x 2 4x1 có a  1 0 và 2

2

b a

- Hàm số 2

yx  x có a  1 0 và

12

b a

  nên hàm số đồng biến trên khoảng

  ; 1, nghịch biến trên khoảng 1; và có giá trị lớn nhất là 1 khi x 1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

ac b a

 tại

2

b x a

Với a 0

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

- Nếu a 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng

Hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng ;3

Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 1 và nghịchbiến trên khoảng 1;

 và tọa độ đỉnh

24

- Vẽ đường cong đi qua các điểm vừa xác định

Lưu ý đến sự biến thiên của hàm số

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên, xác định các khoảng đồng biến, nghịch

biến và vẽ đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây

Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0 và đồng biến trên khoảng

0;  

Đồ thị của hàm số y x 2 là parabol  P có trục đối xứng là đường

thẳng x 0 (trục tung) và đỉnh là điểm O0;0 (gốc tọa độ).

Để vẽ đồ thị  P ta lấy một số điểm theo bảng giá trị sau:

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1 và đồng biến trên khoảng

Điểm M x y là giao điểm 0; 0

của hai đường thẳng vuông góc

0

x x và yy0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y ax 2bx c như hình vẽ.

A a0,b0,c0 B a0,b0,c0

C a0,b0,c0 D a0,b0,c0

Hướng dẫn giải

Do đồ thị quay bề lõm xuống dưới nên a 0

Đồ thị cắt trục tung tại điểm 0;c nằm phía dưới gốc tọa độ nên  c 0

Hoành độ đỉnh của đồ thị nhận giá trị âm nên 0

2

b a

22

yx  x

- Bước 1: Ta vẽ đồ thị hàm số y x 2 2x (hình 1), cách vẽ tương tự

như ví dụ 1

- Bước 2: Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị y x 2 2x nằm

phía dưới trục hoành (hình 2)

- Bước 3: Xóa đi toàn bộ phần đồ thị y x 2 2x nằm phía dưới trục

hoành thu được đồ thị hàm số yx2 2x như hình 3 dưới đây

Ví dụ 4: Cho hàm số yx23m1x m (với m là tham số) có đồ

thị  P

a) Tìm m để  P đi qua điểm A1;0.

b) Tìm điểm cố định mà  P luôn đi qua với mọi m.

c) Tìm quỹ tích đỉnh của  P khi m thay đổi.

I I

y x  x  với mọi m và khi m chạy khắp tập  thì x cũng I

chạy khắp tập  nên quỹ tích điểm

- Hoành độ đỉnh của parabol

Hàm bậc hai f x x2 6x1 nghịch biến trên  ;3, đồng biến

trên 3;  , do đó nó nghịch biến trên   ;0 và đồng biến trên

4;  

Hàm bậc hai g x x22x1 đồng biến trên  ;1, nghịch biến

trên 1;  , do đó nó đồng biến trên  0;1 và nghịch biến trên  1; 4 

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  ;0 , 1; 4   và đồng

biến trên các khoảng 0;1 , 4;    

Chọn D.

Chú ý: Nếu một hàm số đồng

biến (hoặc nghịch biến) trên tập D và X là tập con khác rỗng bất kì của D thì hàm số đó đồng biến (tương ứng nghịch biến) trên X.

Câu 4: Đồ thị hàm số y x 2 4x3 cắt trục tung tại điểm A và cắt trục hoành tại hai điểm B, C phân biệt Diện tích tam giác ABC là

A 3 (đvdt) B 6 (đvdt)

C 2 (đvdt) D 9

2 (đvdt)

Câu 5: Hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số cho ở các

đáp án A, B, C, D sau đây Hỏi đó là hàm số nào?

Câu 6: Bảng ở hình bên là bảng biến thiên của hàm số

nào sau đây?

Câu 7: Cho hàm số yx24x1 Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số đồng biến trên  ;1 và nghịch biến trên 3;  

B Hàm số đồng biến trên  ; 2 và nghịch biến trên 2;  

C Hàm số đồng biến trên  ;0 và nghịch biến trên 4;  

D Hàm số đồng biến trên  ;3 và nghịch biến trên 3;  

Câu 8: Để trục đối xứng của đồ thị hàm số y x 2 m2x3m 2 đi qua điểm M4;3 thì

C D

Bài tập nâng cao

Câu 11: Đồ thị hàm số y mx 22 3 m x 2m1 luôn đi qua hai điểm cố định A, B với mọi m Độ dài đoạn thẳng AB là

Câu 12: Cho họ parabol  P y x:  2 2m1x1 với m là tham số Khi m thay đổi, quỹ tích đỉnh của

 P là đường có phương trình nào sau đây?

Câu 14: Gọi m là giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 0 y x 2 2mx1 trên đoạn 1;3

đạt nhỏ nhất Khẳng định nào sau đây đúng?

Dạng 2: Bài toán tương giao giữa các đồ thị hàm số

- Nếu (1) vô nghiệm thì    P , d không có điểm chung.

- Nếu (1) có nghiệm kép x x 0 thì    P , d có điểm

chung duy nhất M x a x0 0; 2 0b Lúc này 2  P và  d

tiếp xúc với nhau tại M Ta gọi đường thẳng 0  d là tiếp

tuyến của parabol  P , điểm M được gọi là tiếp điểm 0

- Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt x x x x 1,  2 thì

   P , d cắt nhau tại hai điểm phân biệt

- Nếu (2) vô nghiệm thì    P1 , P không có điểm chung.2

- Nếu (2) là phương trình bậc nhất và có nghiệm duy nhất

0

x x thì    P1 , P cắt nhau tại điểm duy nhất2

0 0; 1 0 1 0 1

M x a x b x c (cắt nhau nhưng không tiếp xúc)

- Nếu (2) là phương trình bậc hai có nghiệm kép x x 0 thì

0 0; 1 0 1 0 1

M x a x b x c Điểm M được gọi là tiếp điểm.0

- Nếu (2) có hai nghiệm phân biệt x x x x 1,  2 thì

   P1 , P cắt nhau tại hai điểm phân biệt2

x  , x 3 Thay các giá trị của x vào

phương trình của  d (cũng có thể thay vào

phương trình của  P ), ta được các giá trị

tương ứng y2,y8 Vậy  d cắt  P tại

hai điểm phân biệt M11;2 , M23;8

Ví dụ 2: Xét hàm số y2x23x6 có đồthị là  P và hàm số 1 2

Thay giá trị này của x vào phương trình của

 P (cũng có thể thay vào phương trình của1

 P ), ta được 2 y  8Vậy  P và 1  P tiếp xúc với nhau tại điểm2

A y3x2 B y 1 x C y2x1 D y5x 8

Hướng dẫn giải

x  x  x  x  (có hai nghiệm phân biệt)

Vậy đường thẳng y3x2 cắt parabol y x 2 tại hai điểm phân biệt

Phương trình x2 x1 x2   (vô nghiệm).x 1 0

Vậy đường thẳng y 1 x và parabol y x 2 không có điểm chung

Phương trình x2 2x1 x22x  (có nghiệm kép).1 0

Vậy đường thẳng y2x1 tiếp xúc với parabol

Phương trình x2 5x 8 x2 5x  (vô nghiệm).8 0

Vậy đường thẳng y5x 8 và parabol y x 2 không có điểm chung

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai parabol có phương trình 2 2

y x  x y x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hai parabol không có điểm chung.

B Hai parabol cắt nhau tại một điểm duy nhất (không tiếp xúc).

C Hai parabol tiếp xúc với nhau tại một điểm duy nhất.

D Hai parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ 3: Cho hai parabol có phương trình y3x2 2 ,x y3x2 x 7

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hai parabol không có điểm chung.

B Hai parabol cắt nhau tại một điểm duy nhất (không tiếp xúc).

C Hai parabol tiếp xúc với nhau tại một điểm duy nhất.

D Hai parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ 4: Cho parabol  P y x:  2m 2x1 và đường thẳng

 d :ym1x2m1 Để  d là tiếp tuyến của  P thì

a) Hàm số y x 26x7 có đồ thị là đường parabol  P như hình vẽ.

Hàm hằng y m có đồ thị là đường thẳng d vuông góc với trục Oy tại

điểm có tung độ bằng m (d cùng phương với Ox) Số nghiệm phân biệt

của phương trình x26x  là số điểm chung phân biệt của 7 m  P và

d.

Từ đồ thị ta nhận thấy:

- Nếu m  2 thì  P và d không có điểm chung, nên phương trình đã

cho vô nghiệm

- Nếu m 2 thì  P và d có một điểm chung, nên phương trình đã cho

có một nghiệm

- Nếu m  2 thì  P và d có hai điểm chung phân biệt, nên phương

trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

b) Từ đồ thị hàm số y x 26x7 ta suy ra đồ thị của hàm số

yx  x là đường cong  P như hình vẽ Hàm số 1 y 1 m có

đồ thị là đường thẳng d vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng1

1 m (d cùng phương với Ox) Số nghiệm phân biệt của phương trình1

x  x   m là số điểm chung phân biệt của  P và 1 d 1

Từ đồ thị ta nhận thấy:

- Nếu 1 m0 m1 thì  P và 1 d không có điểm chung, nên1

phương trình đã cho vô nghiệm

- Nếu 1 m 0 m1 thì  P và 1 d có hai điểm chung phân biệt, nên1

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

- Nếu 0 1  m2  1 m1 thì  P và 1 d có bốn điểm chung phân1

biệt, nên phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt

- Nếu 1 m 2 m1 thì  P và 1 d có ba điểm chung phân biệt,1

nên phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt

- Nếu 1 m2 m 1 thì  P và 1 d có hai điểm chung phân biệt,1

nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

c) Biến đổi x26 x 2m x26 x  7 2m7

Đồ thị hàm số y x 26 x 7 là đường cong  P như hình vẽ Hàm số2

y m có đồ thị là đường thẳng d vuông góc với trục Oy tại điểm2

có tung độ bằng 1 m (d cùng phương với Ox) Số nghiệm phân biệt2

của phương trình x26 x 2m là số điểm chung phân biệt của  P và2

d

Để vẽ đồ thị  P ta thực hiện như sau:2

- Vẽ phần parabol y x 26x7 ứng với x 0

- Lấy đối xứng phần đồ thị vừa vẽ qua trục Oy.

- Hợp của hai phần đó là đồ thị  P của hàm số 2 y x 26x 7

Dễ thấy y x 26x 7 là hàm chẵn trên  và  P nhận Oy làm trục2

đối xứng

Từ đồ thị ta nhận thấy:

- Nếu 2m 7 7 m0 thì  P và 2 d không có điểm chung, do đó2

phương trình đã cho vô nghiệm

- Nếu 2m  7 7 m0 thì  P và 2 d có một điểm chung, do đó2

phương trình đã cho có đúng một nghiệm

- Nếu 2m 7 7 m0 thì  P và 2 d có hai điểm chung, do đó2

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Chú ý:

1) Cách vẽ đồ thị hàm số y f x 

Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số yf x  Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị

 

yf x nằm phía dưới trục Sau đó xóa đi phần đồ thị nằm phía dưới

Ox Toàn bộ phần còn lại chính là đồ thị hàm số yf x 

Cách 2: Vẽ đồ thị hàm số yf x  và đồ thị hàm số y f x  trên

cùng một hệ trục tọa độ Xóa toàn bộ phần đồ thị nằm phía dưới trục

hoành của hai hàm số nói trên Phần còn lại thu được chính là đồ thị hàm

số y f x  Đồ thị hàm số y f x  không có điểm nào nằm phía

dưới trục hoành

2) Cách vẽ đồ thị hàm số yf x .

Vẽ phần đồ thị của hàm số yf x  ứng với x 0 Lấy đối xứng phần

đồ thị vừa vẽ qua trục tung Toàn bộ phần thu được chính là đồ thị hàm

số yf x 

Hàm số yf x  là hàm chẵn và đồ thị nhận trục tung làm trục đối

xứng

3) Gọi   C1 , C lần lượt là đồ thị của hai hàm số 2 yf x y g x ,   

Ta gọi phương trình f x g x  là phương trình hoành độ điểm chung

của   C1 , C Phương trình đó có k nghiệm phân biệt khi và chỉ khi2

  C1 , C có k điểm chung phân biệt.2

Câu 8: Cho  P y: x2mx d, :y2x m Trong trường hợp  P cắt  d tại hai điểm phân biệt A,

B thì trung điểm của đoạn thẳng AB chạy trên đường thẳng nào sau đây?

A y4x1 B y2x1 C y2x4 D y4x2

Câu 9: Cho hàm số yf x ax2bx c (với a, b, c là các hằng số, a 0) có đồ thị  P tiếp xúc với

đường thẳng :d y x  2 tại điểm có hoành độ bằng 2 Giá trị của f  1  f  3 là

Bài tập nâng cao

Câu 10: Cho hai phương trình x2 3x2m  (1), 1 0 x2 x m (2) Để mỗi phương trình trên đều0

có hai nghiệm phân biệt và các nghiệm của (1) nằm xen kẽ với các nghiệm của (2) thì điều kiện của m là

Ví dụ 1: Cho các số a, b, c (với a 0) thỏa mãn parabol   2

1 :

P yx  x c đi quađiểm M11;1, parabol   2

P y x bx đi qua điểm M 2 1;4, parabol

P y ax  x đi qua điểm M32; 8  Giá trị của abc là

A abc 10 B abc 5 C abc 36 D abc 2

y x bx c đi qua điểm A2; 3  nên 2b c 7

Parabol y x 2bx c đi qua điểm B1;1 nên b c 0

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc hai yx2m1x2m1 với m là tham số, có đồ thị

 P Hãy xác định hàm số bậc hai đã cho, biết rằng  P tiếp xúc với trục hoành.

Ta viết lại phương trình của  P như sau y ax 2 6ax9a 8.

Lúc này, phương trình hoành độ điểm chung của  P và  d là

Câu 6: Cho  P y ax:  2bx c với a, b, c là các hằng số, a 0 Biết rằng  P có đỉnh là điểm I1;8

và cắt trục hoành tại hai điểm M, N thỏa mãn MN 4 Giá trị của 3 3 3

a b c là

Câu 7: Cho  P y ax:  2bx c với a, b, c là các hằng số, a 0 Biết rằng  P có trục đối xứng là

đường thẳng x 1 và đồng thời tiếp xúc với cả hai đồ thị   2   2

Bài tập nâng cao

Câu 8: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ bay theo quỹ đạo của

một cung parabol trong mặt phẳng tọa độ Oth, trong đó t là thời

gian kể từ khi quả bóng được đá lên (tính bằng giây), h là độ cao

(tính bằng mét) của quả bóng Giả sử quả bóng được đá lên từ độ

cao 1,1m Sau 1 giây nó đạt độ cao 8,6m Sau 2 giây, nó đạt độ cao

6m Hỏi độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt dược gần với giá trị nào

sau đây nhất?

 

  được gọi là đường thẳng

chuẩn của parabol  P y ax:  2bx c Trục đối xứng :

đỉnh

24

Hai phương trình (1) và (2) mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt, các nghiệm của phương trình này

nằm xen kẽ với các nghiệm của phương trình kia khi và chỉ khi điểm M nằm phía dưới trục hoành, tức là

   Suy ra max h 8,897.