Chøng minh tø gi¸c MNCK lµ h×nh b×nh hµnh... Chøng minh tø gi¸c MNCK lµ h×nh b×nh hµnh.[r]
Trang 1Trường THCS Tuyờn Quang Đề thi học sinh giỏi vũng trường (2009-2010) Mụn : Toỏn :8 Thời gian : 120 Phỳt
Bài 1 : a) (1đ) Cho x, y thỏa x + y =1 Tớnh giỏ trị biểu thức
A = x 3 + y 3 + 3xy
b) (1đ) Rỳt gọn biểu thức sau
(a +b+c ) 2 + (a+b-c) 2 – 2(a+b) 2
Bài 2:(3 đ) a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử:
A = x2 + 4x + 3
B = 4x4 + 4x2y2 - 8y4
C = x3 ( x2 – 7)2 – 36x
b) Dựa vào kết quả C hãy chứng minh biểu thức: n3 – (n2 – 7) – 36n
luôn luôn chia hết cho 7 với mọi số nguyên n
Bài 3: (1đ) Chứng minh rằng nếu: x2− yz
x (1 − yz)=
y2− xz
y (1− xz)
với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1 thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
Bài 4: (2đ) a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: x2 + x + 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P(x)= 2 + x - x2
Bài 5: (2đ) Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC M, K và N lần lợt là
trung điểm của AH, CD và BH
a Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành
b Chứng minh BM MK
-Hết đề
thi -Đáp án đề Toán 8 Bài 1 : a) A = (x+y)(x2- xy + y2) +3xy
=x2 –xy +y2 + 3xy 0,5đ
= x2 +2xy +y2
=(x+y)2
=1 0,5đ
b) (1đ) =[ (a+b) + c ]2 + [ (a+b) – c]2 - 2(a+b)2 0,5đ
Trang 2=(a+b)2 +2(a+b)c +c2 +(a+b)2 - 2(a+b)c +c2 – 2(a+b)2 = 2c2 0,5đ
Bài 2: (3đ) a) Phân tích biểu thức sau ra nhân tử:
A= (x2+x) +( 3x+3) = x(x+1) + 3(x+1) = (x+1)(x+3) 0,5đ
B =(4x4 + 4x2y2 + y4 ) – 9y4
=(2x2 +y2)2 - ( 3y2)2 0,5đ
=(2x2+ 4y2 ) (2x2 – 2y2)
= 2 ( x2 +2y2) 2 (x2 – y2)
=4 ( x2 +2y2) (x- y) ( x+y) 0,5đ
C= x3 (x2 – 7)2 – 36x = x[x2(x4-14x2 + 49) – 36]
= x(x6-14x4 + 49x2 – 36) = x[(x6- 9x4) – (5x4 - 45x2) + (4x2 - 36)
= x[ x4(x2- 9) – 5x2(x2 - 9) + 4(x2 - 9)] 0,5đ
= x(x2- 9)( x4– 5x2+ 4) = x(x2- 9)( x4– 4x2 - x2+ 4) = x(x2- 9)( x4– 4x2 - x2+ 4)
= x(x2- 9)[x2( x2– 4) - (x2- 4)] = x(x2- 9)(x2 – 4)(x2-1)
= x(x+3) (x-3) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1) 0,5đ
b) Theo kết quả C ta có: n3 (n2 – 7)2 – 36n
= n(n+3) (n-3) (n+2) (n-2) (n+1) (n-1)
hay xếp theo thứ tự tăng dần các nhân tử nh sau:
(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp, trong 7 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 7, nên tích chia hết cho 7, tức là biểu thức n3 (n2 – 7)2 – 36n chia hết cho
7 (đpcm) 0,5đ
Bài 3: (1đ) x2− yz
x (1 − yz)=
y2− xz
y (1− xz)
Ta biến đổi từ bài ra:
⇒ (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) 0,5đ
⇔ x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2
⇔ x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0
⇔ xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0
⇔ xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0
⇔ (x -y) [xy − xyz(x + y +z)+xz+yz] = 0
Do x - y 0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) 0,5đ
Bài 4: (2đ)
a) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất: x2 + x + 1
Biến đổi biểu thức trên thành:
x2 +2 x 1
1
2 )2 +
3
4 0,5đ
Trang 3= (x + 1
2 )2 +
3
4 Do (x +
1
2 )2 không âm nên nhỏ nhất khi (x +
1
2 )2 = 0
tức là x= - 1
2 thì biểu thức có giá trị nhỏ nhất là
3
4 0,5đ
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P(x)= 2+x-x2
Biến đổi: P(x)= 2+x-x2 = - (x2 –x -2) P(x)= - (x2 –x + 1
1
P(x)= - [(x2 –x + 1
4 ) -
1
P(x)= - [(x – 1
2 )2 -
9
4 ] 0,5đ
Vì biểu thức biến đổi trên mang dấu (-) nên P(x) lớn nhất khi [(x – 1
2 )2 -
9
4 ] nhỏ
nhất tức là x= 1
2 , lúc đó P(x)= 9
4 0,5đ
Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ
a Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành 0,75đ
Xét tam giác AHB có:
NH = NB (gt)
MH = MA (gt) Suy ra MN là đờng trung bình nên
MN//AB
MN =AB/2
mà AB = CD
AB //CD nên MN//CK
CK=CD MN =CK
Suy ra tứ giác MNCK là hình bình hành
b Chứng minh BM MK 0,75đ
Kéo dài MN cắt BC tại E ta thấy MN//CD và CD BC nên ME BC
Xét tam giác MBC có BH và ME là đờng cao, nên N là trực tâm, do đó
CN BM mà CN//KM nên BM MK (đpcm)
-Hết đáp
D
N
K H
E