Bài 3 VI PHÂN – đạo hàm cấp CAO

VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày được định nghĩa vi phân.. + Trình bày được phương pháp tính gần đúng nhờ vi phân.. + Biết chứng minh được đẳng thức, bất đẳng t

CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM BÀI 3 VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO Mục tiêu

 Kiến thức

+ Trình bày được định nghĩa vi phân

+ Trình bày được phương pháp tính gần đúng nhờ vi phân

+ Trình bày được phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…, cấp n

 Kĩ năng

+ Tính được vi phân của hàm số f x tại   x cho trước 0

+ Tìm vi phân của hàm số f x  

+ Biết cách tính gần đúng một số dựa vào vi phân.

+ Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…., cấp n

+ Biết chứng minh được đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm cấp 2,3

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Vi phân

Cho hàm số yf x  xác định trên a b và có đạo hàm tại ;  xa b; 

Gọi x là số gia của x.

Ta gọi tích f x .xlà vi phân của hàm số yf x  tại x ứng với số

gia x Kí hiệu df x hoặc dy , tức là 

   

dy df x f x x

Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng

Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là

 0   0  0

Đạo hàm cấp cao

+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f  Nếu f  cũng có

đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được

kí hiệu là f , tức là f f 

+ Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1

( vớin,n2) là fn1 Nếu f n1 cũng có đạo hàm thì đạo hàm

của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f n , tức là

   

 1 

f f  

+ Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai s t    là gia tốc tức thời của chuyển động s s t   

tại thời điểm t

Nếu chọn hàm số y x thì ta

có dy dx   1 x x

Do vậy ta thường kí hiệu

x dx

  và dyf x dx  .

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính vi phân

Bài toán 1 Tìm vi phân của hàm số

Phương pháp giải

Ví dụ Cho hàm số y x 3  3x 2  2x 7 

a) Tính vi phân của hàm số f x tại   x cho trước: 0

- Tính đạo hàm của hàm số tại x 0

- Vi phân của hàm số tại x ứng với số gia 0 x là

 0  0

df x f x x

b) Tìm vi phân của hàm số f x  

- Tính đạo hàm của hàm số

- Vi phân của hàm số dy df x   f x .x

a)Tính vi phân của hàm số tại điểm x 0 1,ứng với

số gia  x 0, 02 b) Tìm vi phân của hàm số

Hướng dẫn giải

a) Ta có yf x 3x26x 2

Do đó vi phân của hàm số tại điểm x  ,ứng với0 1

số gia  x 0,02 là

 1  1 3.12 6.1 2 0,02 0,14

b) dyf x . x 3x26x 2dx.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số y x 3 4x2 5 Tính vi phân của hàm số tại điểm x  , ứng với số gia0 1 0,02

x

Hướng dẫn giải

Ta có yf x 3x2 4x Do đó vi phân của hàm số tại điểm x  ,ứng với số gia 0 1  x 0,02 là

1 1 3.1 4.1 0,02 0, 02

Ví dụ 2 Tìm vi phân của hàm số 2

1

x y x





Hướng dẫn giải

Ta có



Bài toán 2 Tính gần đúng giá trị của hàm số

Phương pháp giải

Để tính gần đúng giá trị của hàm số f x 

tại điểm xx0 x cho trước, ta áp dụng

công thức f x 0 x f x 0  f x 0 x

Ví dụ Tính gần đúng giá trị của 49, 25 (lấy 5

chữ số thập phân trong kết quả)

Hướng dẫn giải

Ta có 49, 25 49 0, 25

2

x



Chọn x 0 49 và  x 0, 25, ta có

 0   0  0

f x  x f x  f x x

1

49 0, 25 49 0, 25 7 0,01786

2 49

     

7,01786

 Vậy 49 0, 25 7,01786 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tính gần đúng 1

0,9995.

Hướng dẫn giải

0,9995 1 0,0005  Xét hàm số f x  1 f x  12

Chọn x  và 0 1  x 0,0005, ta có f x 0 xf x 0 f x 0 x

1

1 1 0,0005 1,0005

1 0,0005



Ví dụ 2 Tính gần đúng sin 46

Hướng dẫn giải

Ta có sin 46 sin 45 1  sin

4 180

        

Xét hàm số f x  sinx f x  cosx

Chọn 0

4

x  và

180

  , ta có f x 0 xf x 0 f x 0 x

      

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Vi phân của hàm số f x  3x2 x tại điểm x 2, ứng với  x 0,1 là

Câu 2: Vi phân của hàm số y x2 5x bằng biểu thức nào sau đây?



5

x





x





x





Câu 3: Vi phân của hàm số y x sinxcosx là

A dy2sinx x cosx dx B dy x cosxdx

C dy x cosx D dysinxcosx dx

Câu 4: Dùng công thức vi phân làm tròn đến số thập phân thứ tư của tan 3

3 80



  được kết quả

Câu 5: Khẳng định nào sau đây đúng?

sin

cot cos

x

sin

tan cos

x

sin

cot cos

x

sin

tan cos

x

Câu 6: Cho hàm số yf x   x12 Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số f x ? 

A dy2x1dx B dyx12dx C dy2x1 D dyx1dx

Câu 7: Vi phân của hàm số 3 2

y x  x  x là

A dy3x218x12dx B dy  3x218x12dx

dy  x  x dx

Câu 8: Vi phân của hàm số là y 1x2 là

1

x



1

x

x





1

x

x



2

2

1 1

x

x







Câu 9: Vi phân của hàm số là y 3x là2

x



2 3 2

x





x



2 3 2

x





Câu 10: Vi phân của hàm số 2 3

x y x





 là

A

 2

8

x



 2

4

x



C

 2

4

x



 2

7

x



Câu 11: Hàm số y x sinxcosx có vi phân là

A dyxcosx sinx dx B dyxcosx dx

C dycosx sinx dx D dyxsinx dx

Câu 12: Xét hàm số yf x   1 cos 2 2 x Khẳng định nào sau đây đúng?

A   sin 42

2 1 cos 2

x

x





1 cos 2

x

x





C   cos 22

1 cos 2

x

x



1 cos 2

x

x





Câu 13: Vi phân của hàm số y tan x

x

x

2

sin 2

x

2

2 sin 2



2

2 sin 2



Câu 14: Cho hàm số 13

3

y x

 Vi phân của hàm số là

4

x

x

Dạng 2: Đạo hàm cấp cao

Bài toán 1 Tính đạo hàm đến cấp n của hàm số

Phương pháp giải

+ Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp

hai y y Tính y x 0

+ Cấp 3,4… ta tính tương tự

Ví dụ Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số 2

cos

Hướng dẫn giải

2

y x  x  y x

2cos 2 4sin 2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số 3 1

2

x y x







Hướng dẫn giải

Ta có

2

x



4





Ví dụ 2 Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số 2

sin 2

Hướng dẫn giải

sin 2 1 cos 4

2

2sin 4 8cos 4 32sin 4

128cos 4 512sin 4

Bài toán 2 Tính đạo hàm cấp cao của hàm số

Phương pháp giải

Bước 1: Tính ,y y y  , Dựa vào các đạo hàm

vừa tính, dự đoán công thức tính  n

y

Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là

đúng bằng phương pháp quy nạp

Ví dụ Tìm đạo hàm cấp của hàm số

sin

Hướng dẫn giải

Ta có: cos sin 1

2

y  x x  

sin sin 2

2

y  x x  

2

n

y  x n    n

    1 Chứng minh  1 bằng quy nạp:

 n 1:  1 Hiển nhiên đúng

 Giả sử  1 đúng với n k 1nghĩa là

sin

2

k

y  x k  

Ta phải chứng minh  1 đúng với n k 1 nghĩa là

ta phải chứng minh

2

k

    

   2 Thật vậy, xét  2 ta có

'

 

          

2

    

Suy ra  2 đúng,nghĩa là  1 đúng với n k 1 Theo nguyên lí quy nạp ta có công thức

*

2

n

y  x n    n

Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm ,y y y  , , tìm ra quy luật để dự đoán công thức

 n

y chính xác

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm đạo hàm cấp ncủa hàm số 3 1

2

x y x







Hướng dẫn giải

Ta có:

Bằng quy nạp ta chứng minh    

  1

1 7 ! 2

n n

n

n y





  2

 Với n 1ta thấy  2 đúng

 Giả sử  2 đúng với n k , tức là    

  1

1 7 ! 2

k k

k

k y





Ta có:    

1 1

k

y







Do đó  2 đúng với mọi số tự nhiên n.

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số

2

x y

x





 là    

  1

1 7 ! 2

n n

n

n y





Bài toán 3 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để

chứng minh bất đẳng thức, giải

phương trình, bất phương trình

Ví dụ Cho hàm số y x sinx

Chứng minh x y  2y sinxxy0

Hướng dẫn giải

Ta có

sin cos

  

sin cos ' sin   cos 

y  x x x  x  x x 

Ta có x y  2y sinxxy0

2cos sin  2 sin cos sin  2sin 0

2 cosx x x sinx 2 cosx x x sinx 0

0 0

(điều phải chứng minh).

Ví dụ mẫu

2

y x x Chứng minh 3

y y 

Hướng dẫn giải

x

2 2

2

y

x x





 



2

2 2 2

1

2 2

x

x x

x x









2 2

3

3 2

1

2

x x



         



(điều phải chứng minh)

Ví dụ 2 Cho hàm số

sin cos

1 sin cos

y





 Chứng minh y y 0

Hướng dẫn giải

Ta có: sin cos  sin2 cos2 sin cos 

1 sin cos

y





sin cos  1 sin cos 

sin cos

1 sin cos





Ta có y   y 0 sinx cosxsinxcosx 0 0 0 (điều phải chứng minh)

Ví dụ 3 Cho hàm số 22 4

x y





  Giải phương trình y  0

Hướng dẫn giải

 2

2

x x

y





   

y



          



2

2 2

x y

x



  



   

2

4 2

x

          



   

4 2

x

        



   

4 2

x

    



   

4 2

y

x

    

   

Điều kiện: x 221 0

Khi đó y  0 x  2 0 x2

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số f x  x3 x2 4 tại điểm x 1 là

Câu 2: Đạo hàm cấp hai của hàm số 3 1

2

x y x





 là

A

 2

10 2

y

x

 

 B

 4

5 2

y

x

 

 C

 3

5 2

y

x

 

 D

 3

10 2

y

x

 



Câu 3: Cho f x  sin 3x Giá trị của

2

f  

  bằng

Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số 2

cos

A y 2cos 2x B y 2sin 2x

C y 2cos 2x D y 2sin 2x

Câu 5: Đạo hàm cấp hai của hàm số yf x xsinx 3 là

A f x xsinx B f x 2cosx x sinx

C f x sinx x cosx D f x  1 cosx

Câu 6: Cho hàm số yf x sinx Khẳng định nào sau đây sai?

2

y  x 

  B y sinx  .

2

y  x  

  D y 4 sin 2  x

Câu 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số ysin 5 cos 2x x là

A y 49sin 7x9sin 3x B y 49sin 7x 9sin 3x

C 49sin 7 9sin 3

Câu 8: Cho hàm số ysin 2x Khẳng định nào sau đây đúng?

A 4y y 0 B 4y y 0 C yytan 2x D y2 y 2 4

Câu 9: Cho hàm số

2

1

y

x

 



 Đạo hàm cấp hai của f là

A

 2

1 2

1

y

x

  

 3

2 1

y

x

 

C

 3

2 1

y

x



 

 4

2 1

y

x

 

Câu 10: Cho hàm số y x 3 3x2 x 1 Phương trình y  có nghiệm là0

Câu 11: Cho f x  x4 cos 2x Tìm f4 x

A f4 x 24x16cos 2x B f4 x 16cos 2x

C f4 x 24x 8sin 2x D f4 x 24 16cos 2 x

Câu 12: Cho hàm số y x2 khẳng định nào đúng?1

 I y y  2x;  II y y2 y

A Chỉ  I B Chỉ  II C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai.

Câu 13: Cho hàm số y 1 3 x x 2 Khẳng định nào dưới đây đúng?

A  y2y y 1 B  y 22 y y1

C y y   y 2 1 D  y 2y y 1

Câu 14: Cho hàm số f x  2x1.Giá trị của f  1 bằng

Câu 15: Cho hàm số f x cos 2x Tính Pf 

Câu 16: Xét hàm số cos 2

3

y  x  

  Nghiệm 0;

2

x  

  của phương trình f 4  x  là8

A

2

6

3

2

x x

Câu 17: Cho hàm số y 1

x

 Khẳng định nào dưới đây đúng?

A y y  3 2 0 B y y 3 2 C y y 2 y2 0 D y y 2 y2

Câu 18: Cho hàm số 2

sin 2

y x Giá trị của biểu thức   3

y y y y là

Câu 19: Đạo hàm cấp n của hàm số ycos 2x là

A    1 cos 2

2

n n

y    x n  

2

y   x 

C   2 cos 21

2

2

y   x n 

Câu 20: Đạo hàm cấp n của hàm số y 2x là1

1

1 3.5 3 1

n n

n

n y

x







1

1 3.5 2 1

n n

n

n y

x









1

1 3.5 2 1

n n

n

n y

x







1

1 3.5 2 3

n n

n

n y

x







Câu 21: Đạo hàm cấp n của hàm số 22 1

x y





  là

A    

 

5 1 ! 3 1 !

n

y

 

5 1 ! 3 1 !

n

y

C    

 

5 1 ! 3 1 !

:

n

y



 

5 1 ! 3 1 !

n

y

Câu 22: Đạo hàm cấp n của hàm số 2

x y



  là

A    

 

1 3 ! 1 2 !

n

y

 

1 3 ! 1 2 !

n

y

 

C    

 

1 3 ! 1 2 !

n

y

 

1 3 ! 1 2 !

n

y

 

Câu 23: Đạo hàm cấp 2021 của hàm số f x  cosx a  là

A 2021   cos

2

f x  x a  

2

f x  x a 

C 2021   cos

2

f x  x a  

2

f x  x a  

Câu 24: Đạo hàm cấp n của hàm số ysin 2x là

A   2 sin 21

2

2

C   2 sin 2

2

y   x 

2

y   x n  

Câu 25: Cho hàm số ysin 3 cosx x sin 2x Giá trị của  10

3

y  

  gần nhất với số nào dưới đây?

Câu 26: Cho hàm số sin

2

x

y  Đạo hàm  n

y là

A 1 sin

x

n



x

n



C 2 sin

n



2n 2

x n



Câu 27: Cho hàm số f x 3x2 2x19 Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x 0

A f 6  0 60480 B f 6  0 34560

C f 6  0 60480 D f 6  0 34560

THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 9 VÀ SỐ 10 THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ SỐ 2 VÀ SỐ 3 VÀ SỐ 4

ĐÁP ÁN BÀI 3 ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN

Dạng 1 Tính vi phân

1 - C 2 - D 3 - B 4 - A 5 - A 6 - A 7 - A 8 - B 9 - D 10 - A

11 - B 12 - B 13 - C 14 - C

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT

Câu 1.

Ta có: f x 6x 1 f 2 11 df  2 f 2  x 11.0,1 1,1

Câu 2.

x





Câu 3.

Câu 4.

Xét hàm số f x  tanx f x   1 tan2x

Chọn 0

3

80

  , ta có f x 0 x f x 0  f x 0 x

2

        

Câu 5.

Ta có  

cot

x



Câu 6.

Ta có dyx12dx2x1dx

Câu 7.

dy x  x  x dx x  x dx

Câu 8.

1 1







 

Câu 9.

2 3 2

x





Câu 10.

Ta có

 2

x





Câu 11.

Ta có dyxsinxcosx dx sinx x cosx sinx dx xcosx dx

Câu 12.

 

2



Câu 13.

x x





2

x

dx x

2

sin cos

2 cos

dx





 

2

2 sin 2

4 cos

dx





Câu 14.

Ta có

 

2 2

x



Dạng 2 Đạo hàm cấp cao

11 – D 12 - D 13 – A 14 – A 15 – C 16 – A 17 – D 18 - B 19 – D 20 - D

21 - D 22 – D 23 - C 24 – D 25 - D 26 – A 27 – A

HƯỚNG DẪN CHI TIẾT

Câu 1.

Ta có f x  3x2 2x

Suy ra: f x 6x 2 Suy ra f  1 4

Câu 2.

Ta có

3

Câu 3.

Ta có f x  3sin 3x, suy ra f x 9sin 3x

f      

Câu 4.

Câu 5.

Ta có yf x   xsinx 3sinx x cosx

Vậy yf  x  sinx x cosx2cosx x sinx

Câu 6.

Ta có

y x x  y x   x  y x  x  

       

Ta có sin 2   x sinxy 4

Câu 7.

Ta có: sin 5 cos 2 x 1sin 7 sin 3 

2

Do đó 17 cos 7 3cos3 

2

y  x x 1 49sin 7 9sin 3 

2

Câu 8.

Ta có: y2cos 2x y4sin 2x

Xét đáp án A, 4y y 4sin 2x4sin 2x

Xét đáp án B, 4y y 4sin 2x 4sin 2x0

Xét đáp án C, tan 2 2cos 2 sin 2 2sin 2

cos 2

x

x

Xét đáp án D, y2 y2 sin 22 x4cos 22 x4

Câu 9.

2

 

Câu 10.

Tập xác định: D 

Ta có y3x2 6x 1 y6x 6 y 0 x1

Câu 11.

Ta có: f x  4x32sin 2x, suy ra f x 12x24cos 2x f x 24x 8sin 2x.

Do đó:  

     

4

24 16 cos 2

Câu 12.

Ta có:

1

x

  

Xét . 2 1. 2

1

x

x

 , do đó khẳng định (I) sai

   , do đó khẳng định (II) sai

Câu 13.

Ta có

y  x x  y   x x  y y  x y  y y  y y y

Câu 14.

Ta có:

x x

x





 

3

2





Vậy f  1 3

Câu 15.

Ta có: f x  2sin 2x f x 4cos 2x

Do đó: f  4

Câu 16.

Ta có:   2sin 2

3

f x   x  

  4cos 2

3

  8sin 2

3

 

 

4

16cos 2

3

Xét phương trình

 4   8 cos 2 1

2

2

6







       

Mà 0;

2

x  

  nên chỉ có giá trị

2

x thỏa mãn

Câu 17.

Ta có y 12 y 23

  

Xét đáp án A,

3 3

y y

 

          

Xét đáp án B,  

2 2

          

Xét đáp án C,

3 3

y y

 

Xét đáp án D,  

2 2

Câu 18.

2

x

Khi đó y 3 y16y16y 832sin 4x8cos 4x32sin 4x8 1 cos 4  x 8 0

Câu 19.

Ta có 2cos 2 ; 2 cos 22 2 ; 2 cos 23 3

y  x y  x   y  x 

Bằng quy nạp ta chứng minh được   2 cos 2

2

y   x n  

Câu 20.

Ta có

Bằng quy nạp ta chứng minh được      

1

1 3.5 2 3

n n

n

n y

x







Câu 21.