Bài 3 ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN

CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Mục tiêu

A ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

y f x liên tục trên đoạn  a b , trục hoành và hai đường;

thẳng x a  , x b  (với a b ) được xác định theo công thức:

 

b a

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Diện tích hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

 C : 1 y f x  ,  C : 2 y g x   liên tục trên đoạn  a b và;

hai đường thẳng x a  , x b  (với a b ) được xác định theo

công thức:

   

b a

Phần tô màu đen chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 

y f x liên tục trên đoạn  a b , trục;

hoành và hai đường thẳng x a  , x b

 C : 1 y f x ; C : 2 y g x  

 ���  ��

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng

Ứng dụng tích phân để tính

diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng , (với ) được xác định theo công thức:

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số : , : liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , (với ) được xác định theo

công thức:

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị bởi một đường cong

Hoành độ giao điểm của  C và trục hoành là

nghiệm của phương trình:

Lưu ý: Các phần tính tích phân, học sinh có thể sử dụng máy tính

bỏ túi để kiểm tra kết quả.

Ví dụ 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , trục hoành và hai đường thẳng

Ví dụ 5*: Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e ,x

trục hoành và các đường thẳng x  , 1 x Với 1 k�1;1, đường

thẳng x k chia hình phẳng  H thành hai hình phẳng có diện tích

lần lượt là S và 1 S (như hình vẽ bên) Giá trị k để 2 S1  làS2

1 1

Ví dụ 6*: Cho hàm số y f x  có đồ thị trên 2;6 như

hình vẽ bên Biết các miền A, B, x có diện tích lần lượt là2

S �g x dx�  ���x f x dx� ��

Dựa vào đồ thị ta thấy S1  nên ta có:S2

- Lập bảng biến thịên ta thấy g 1 lớn hơn g � Ta chỉ cần so sánh 3 g 3 và g  3

- So sánh diện tích dựa vào đồ thị.

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

::

   

b a

32

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của  C : 1 y x và 2  C : 2 2

1

x y x

1

2

x x

đậm trong hình vẽ) Diện tích của  H là

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol 2

Ví dụ 5*: Hình phẳng  H được giới hạn bởi đồ thị  C của hàm đa

thức bậc ba và parabol  P có trục đối xứng vuông góc với trục

hoành Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng

Câu 8: Cho hàm y F x   là một nguyên hàm của hàm số y f x  , biết đồ thị hàm số y f x  trên

đọan 2; 2 như hình vẽ ở bên dưới và có diện tích 1 2 22

Câu 9: Cho hàm số y f x  Đồ thị của hàm số y f x�  như

hình vẽ Đặt g x  2f x   Mệnh đề nào dưới đây đúng? x2

Câu 11: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên

được tính theo công thức nào dưới đây?

Câu 12: Cho hai hàm số f x  ax3bx2   và cx 2 g x  dx2  ,ex 2

với a, b, c, d, e�� Biết rằng đồ thị của hàm số y f x  và y g x   cắt

nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –2; –1; 1 (tham khảo hình vẽ bên)

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

y f x và y g x   cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần

lượt là –3; –1; 2 (tham khảo hình vẽ bên) Hình phẳng giới hạn

bởi hai đồ thị hàm số đã cho có diện tích bằng

g x dx  ex với a, b, c, d, e�� Biết rằng đồ thị của

hàm số y f x  và y g x   cắt nhau tại ba điểm có hoành độ

lần lượt là –2; 1; 3 (tham khảo hình vẽ bên) Hình phẳng giới

hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Câu 15: Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường 4 x 2

Câu 19: Cho đồ thị hàm số y x trên đoạn 3  0;1 và một số thực t� 0;1 Gọi S là diện tích hình1

phẳng giới hạn bởi các đường y x , 3 y t , 3 x và 0 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường2

bằng 1 tiếp xúc với trục hoành đồng thời có chung một điểm A duy

nhất với  P Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P ,  C và trục

hoành (phần bôi đậm trong hình vẽ bên) bằng

thị của hai hàm số này tiếp xúc nhau tại x  và cắt nhau tại3

hai điểm có hoành độ lần lượt là –1; 2 như hình vẽ bên Diện

tích của hình phẳng  H (phần gạch sọc trên hình vẽ) gần

nhất với kết quả nào dưới đây?

Câu 22: Cho hàm số f x liên tục trên   � và có đồ thị như

hình vẽ bên Biết rằng diện tích các hình phẳng  A ,  B lần

lượt bằng 3 và 7

Câu 23: Cho đường cong  C : y8x27x3 và đường thẳng y m cắt

 C tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục

tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng (gạch sọc và kẻ caro) có diện tích

bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y x; ylogb x như hình vẽ bên Gọi d là đường thẳng song

song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x k

k Gọi 1 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 yloga x, đường

thẳng d và trục hoành; S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi2

logb

y x , đường thẳng d và trục hoành Biết S14S2 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A b a 4 B a b 4 C b a 4ln 2 D a b 4ln 2

Câu 25: Cho đồ thị  C của hàm số y x 3 3x2 Gọi 1  d là tiếp tuyến của  C tại điểm A có hoành

độ x A  Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi a  d và  C bằng 27

4 , các giá trị của a thỏa mãn đẳng

a ax y

a





 có diệntích lớn nhất là

A 31

33

Câu 27: Cho hàm số y x 46x2 có đồ thị m  C m Giả sử  C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

sao cho hình phẳng giới hạn bởi  C m và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục

hoành có diện tích bằng nhau Khi đó m a

b

 (với a, b là các số nguyên, b0, a

b là phân số tối giản).

Giá trị của biểu thức S  a b là:

 C2 Biết rằng  C1 đi qua gốc tọa độ và cắt  C2 tại bốn

điểm có hoành độ lần lượt là 2; –1; 1 và m Tiếp tuyến của

đồ thị hàm số y f x g x  tại điểm có hoành độ x 2

có hệ số góc bằng 15

2

 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hai hàm số y f x  và y g x   (phần được tô đậm trong hình vẽ bên) Diện tích của hình  H

Các kiến thức được sử dụng khi giải toán:

• Đường tròn  C tâm I a b ; và bán kính R có phương trình   2 2 2

x a  y b R hay

 2 2

y b � R  x a Diện tích hình tròn là S R2

• Elip  E có tâm O 0;0 là gốc tọa độ, độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b (với a b 0),

có các tiêu cự F1c;0 và F c2 ;0 , với c2 a2 có phương trình chính tắc là b2 x22 y22 1

  Ví dụ 1: Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng

10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình

Chú ý: Việc tìm kết quả tích phân chúng ta nên sử dụng máy tính cho nhanh chóng.

Ví dụ 2: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIG ở chính giữa của một

bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC 6m, chiều dài CD12m(hình vẽ bên dưới)

Cho biết MNEG là hình chữ nhật có MN 4m ; cung EIF có hình dạng là một phần của parabol có đỉnh I

là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ m Hỏi2công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

b a

Ví dụ 3: Người ta cần trồng một vườn hoa Cẩm Tú Cầu (phần được

gạch chéo trên hình vẽ bên) Biết rằng phần gạch chéo là hình phẳng

giới hạn bởi parabol y2x2 và nửa trên của đường tròn có tâm là1

gốc tọa độ và bán kính bằng 2 m Số tiền tối thiểu để trồng xong

vườn hoa Cẩm Tú Cầu là bao nhiêu biết rằng để trồng mỗi m hoa2

Phương trình đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính R 2 là x2y2  hay 2 y�2x2

Tọa độ giao điểm của parabol và đường tròn là nghiệm hệ phương trình

2 2

1; 12

Lưu ý: Nửa đường tròn phía trên trục hoành có phương trình là y 2x2

Ví dụ 4: Để trang trí cho một lễ hội đầu xuân, từ một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn là 10m,

chiều dài trục nhỏ là 4 m Ban tổ chức chia mảnh vườn elip thành hai phần bởi đường tròn có đường kínhbằng độ dài trục nhỏ và có tâm trùng với tâm của elip như hình vẽ

Trên hình tròn, người ta trồng hoa với giá 100000 đồng/m , phần còn lại của mảnh vườn người ta trồng2

cỏ với giá 60000 đồng/m (biết tiền trồng hoa và trồng cỏ bao gồm cả tiền công và tiền mua cây) Hỏi2ban tổ chức cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)?

A 2387000 đồng B 2638000 đồng C 2639000 đồng D 2388000 đồng

10 m

4 m

Câu 1: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m,

trục nhỏ bằng 80 m được chia thành 2 phần bởi một đoạn

thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip Phần nhỏ hơn trồng

cây con và phần lớn hơn trồng rau Biết lợi nhuận thu được

là 2000 đồng mỗi m trồng cây con và 4000 đồng mỗi 2 m2

trồng rau Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu (kết

quả làm tròn đến hàng nghìn)?

A 31904000 đồng B 23991000 đồng

C 10566000 đồng D 17635000 đồng

Câu 2: Một cái cổng hình parabol như hình vẽ bên dưới.

Biết chiều cao GH 4m, chiều rộng AB4m,

0,9

AC BD  m Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại

là hình chữ nhật CDEG tô đậm giá là 1200 000 đồng/m ,2

còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/

2

m Tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền

nào dưới đây?

A 11445000 đồng B 7368000 đồng

C 4077000 đồng D 11370000 đồng.

Câu 3: Một khu đất có hình dạng là một hình tròn với đường

kính d 20m như hình vẽ bên Người ta muốn trồng rau

Cây con

5–5

trên dải đất rộng 10 m lấy tâm của đường tròn khu đất làm tâm đối xứng Diện tích phần đất trống còn lạibao nhiêu m ? 2

Câu 4: Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol

đỉnh S như hình vẽ bên Biết OS AB4 m , với O là trung điểm

của AB Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác

nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc giá 120 000 đồng/

2

m ; phần giữa là hình quạt tâm O, bán kính 2 m được tô đậm giá

140000 đồng/m ; phần còn lại giá 160000 đồng/2 m Tổng chi phí2

để sơn cả ba phần gần nhất với số nào sau đây?

A 1444000 đồng B 1488000 đồng.

C 1450000 đồng D 1493000 đồng.

Câu 5: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn

đỉnh A , 1 A , 2 B , 1 B như hình vẽ bên Biết chi phí để2

sơn phần tô đậm là 200 000 đồng/m và phần còn lại2

100 000 đồng/m Hỏi số tiền để sơn theo cách trên2

gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A A1 2 8m,

Câu 6: Trong công viên Toán học, có những mảnh đất

mang hình dáng khác nhau Mỗi mảnh được trồng một

loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường

cong đẹp trong Toán học Ở đó có một mảnh đất mang tên

Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có

phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 2 2 2

16y x 25x

như hình vẽ bên dưới Tính diện tích S của mảnh đất

Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương

ứng với chiều dài 1 mét

M

Câu 7: Cho hàm số f x  Đồ thị của hàm số y f x�  trên 3; 2 như hình vẽ (phần cong của đồ thị

là một phần của parabol y ax 2  Biết bx c f   3 0, giá trị của f   1 f  1 bằng

Câu 8: Một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ

bên Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết Biết rằng

đường tròn lớn có phương trình x2y2 25 Các đường

2

G�  �

và đều có bán kính bằng 2 Biết chi phí sơn là 900 000

đồng/m , đơn vị trên hệ trục là dm Chi phí phải trả để sơn2

hoàn thiện chi tiết máy gần nhất với số tiền nào sau đây?

A 650000 (đồng) B 688500 (đồng).

C 785200 (đồng) D 588700 (đồng).

Câu 9: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó

người ta thiết kế phần trồng hoa hồng có dạng một hình

parabol có đỉnh trùng với tâm hình tròn và có trục đối

xứng vuông góc với đường kính của nửa đường tròn,

hai đầu mút của parabol nằm trên nửa đường tròn và

cách nhau một đoạn 4 mét (phần tô màu) Phần còn lại

của khuôn viên (phần không tô màu) dùng để trồng hoa

cúc Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí trồng

hoa hồng và hoa cúc lần lượt là 200 000 đồng/m và2

150 000 đồng/m Hỏi chi phí trồng hoa khuôn viên đó gần nhất với số tiền nào sau đây (làm tròn đến2nghìn đồng)?

A 2.132.000 đồng B 2.266.000 đồng C 2.257.000 đồng D 2.123.000 đồng.

Câu 10: Bác An có mảnh ruộng hình Elip độ dài trục lớn bằng 100m, độ dài trục bé bằng 80m Với chủ

trương xây dựng kinh tế nông thôn mới, bác định chuyển đổi canh tác bằng cách đào một cái ao hình elip

ở chính giữa vườn có trục lớn bằng 90m, trục bé bằng 70m để nuôi tôm, cá Phần đất còn lại bác làm bờtrồng cây xung quanh Biết chi phí đào 1 m ao hết 250000 đồng và chi phí làm bờ trồng cây là 1000002đồng/1m Hỏi số tiền bác phải chi gần với số nào nhất sau đây?2

A 1370519000 đồng B 1400500000 đồng C 1500000000 đồng D 1398212000 đồng Câu 11: Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m Người ta

treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M, N nằm trên parabol và hai đỉnh P, Q nằm trên mặt đất

như hình vẽ bên Ở phần phía ngoài phông (phần không kẻ) người ta mua hoa để trang trí với chi phí 200

000 đồng /m , biết 2 MN 4m, MQ6m Hỏi số tiền để mua hoa trang trí gần với số tiền nào sau đây?

A 3 434 300 đồng B 3 373 400 đồng.

C 3 437 300 đồng D 3 733 300 đồng.

Câu 12: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và

kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là

một parabol Giá 1m của rào sắt là 700000 đồng Hỏi ông2

An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm

Câu 13: Trên một khuôn viên hình elip có độ dài trục lớn bằng 16

m, trục bé bằng 10 m Người ta muốn trồng hoa trên một dải đất

phía trong khuôn viên, dải đất có một cạnh song song với trục lớn

và cách trục lớn 2,5 m (hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100

000 đồng/m Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? 2

A 2 879 000 đồng B 2 587 000 đồng.

C 2 457 000 đồng D 2 678 000 đồng.

Câu 14: Một vòng xuyến ở ngã tư thành phố X có dạng hình

tròn đường kính AB4m Công ty cây xanh thiết kế phần

trồng hoa giấy ở giữa hai đường parabol có trục đối xứng vuông

góc với đường kính AB tại tâm của hình tròn và cắt AB tại điểm

C, C� thỏa mãn BC1m (phần tô đậm) Phần còn lại của vòng

xuyến thiết kế trồng hoa cúc Chi phí để trồng hoa giấy và hoa

cúc lần lượt là 200000 đồng /m và 100 000 đồng /2 m Hỏi chi2

phí để trang trí vòng xuyến theo thiết kế gần nhất với số tiền

nào dưới đây (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?

A 1523000 đồng.

B 1532000 đồng.

C 1790000 đồng.

D 1980000 đồng.

Câu 15: Một mảnh vườn hình chữ nhật với diện tích 200 m2

Người ta muốn trồng hoa trên mảnh vườn đó theo hình một

parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung

điểm một cạnh của mảnh vườn như hình vẽ bên Biết chi phí

trồng hoa là 300 nghìn đồng cho mỗi mét vuông Xác định

chi phí trồng hoa cần có cho mảnh vườn trên

A 30 triệu đồng B 60 triệu đồng.

C 50 triệu đồng D 40 triệu đồng

xxx hoa xxx

16 m5/2 m