BÀI 3 VI PHÂN đạo hàm cấp CAO

VI PHÂN - ĐẠO HÀM CẤP CAO MỤC TIÊU Kiến thức -Trình bày được định nghĩa vị phân.. -Trình bày được phương pháp tính gần đúng nhờ vi phân..   -Biết cách tính gần đúng một số dựa vào v

Trang 1

Trang 1

BÀI 3 VI PHÂN - ĐẠO HÀM CẤP CAO

MỤC TIÊU

Kiến thức

-Trình bày được định nghĩa vị phân

-Trình bày được phương pháp tính gần đúng nhờ vi phân

-.Trình bày được phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3, , cập n

Kỹ năng

-Tính được vi phân của hàm số f x tại   x0 cho trước

-Tìm vi phân của hàm số f x  

-Biết cách tính gần đúng một số dựa vào vi phân

-Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3, , cấp n

-Biết chứng minh được đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo

hàm cấp 2, 3

I.LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Vi phân

Cho hàm số y f x  xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại x( ; )a b Gọi x là số gia của x

Ta gọi tích f ' x x là vi phân của hàm số y f x tại xứng với số gia x Kí hiệu df x hoặc dy,   tức là dy df x  f ' x x

Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng

Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là f x 0  x f x 0  f x0 x

Đạo hàm cấp cao + Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm 'f Nếu f cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được '

gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là ", f tức là f" f ' '

+ Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f có đạo hàm cấp n1 (với n ,n2) là f(n1) Nếu f(n1)cũng có đạo

hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là  n

f ), tức là ( )  ( 1)

'

f  f 

+ Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai s" t là gia tốc tức thời của chuyển động ss t  tại thời điểm t

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Tính vi phân

Bài toán 1 Tìm vi phân của hàm số

Phương pháp giải

a) Tính vi phân của hàm số f x  tại x cho trước: 0

- Tính đạo hàm của hàm số tại x 0

- Vi phân của hàm số tại x ứng với số gia x0  là

 0  0

df x  f x x

b) Tìm vi phân của hàm số f x  

- Tính đạo hàm của hàm số

Trang 2

Trang 2

- Vi phân của hàm số dydf x( ) f x( ).x

Ví dụ Cho hàm số 3 2

a) Tính vi phân của hàm số tại điểmx01, ứng với số gia  x 0, 02

b) Tìm vi phân của hàm số

Hướng dẫn giải

a) Ta có y' f x( )3x26x2

Do đó vi phân của hàm số tại điểmx01,ứng với số gia  x 0, 02là

d (1)f  f(1). x 3.1 6.1 2 0, 02 0,14

dy f x  x x  x dx

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số 3 2

4 5

y x x  Tính vi phân của hàm số tại điểm x0 1 ứng với số gia  x 0, 02

Ta có y' f x'( )3x24 x Do đó vi phân của hàm số tại điểm x01, ứng với số gia  x 0, 02.là

d (1)f  f '(1). x 3.1 4.1 0, 02 0, 02

Ví dụ 2 Tìm vi phân của hàn 2

1

x y x





Ta có





Bài toán 2 Tính gần đúng giá trị của hàm số

Để tính gần đúng giá trị của hàm số f x tại điểm   xx0 x cho trước, ta áp dụng công thức

 0   0  0

f x   x f x  f x x

Ví dụ Tính gần đúng giá trị của 49,25 (lấy 5 chữ số thập phân trong kết quả)

Ta có 49, 25 49 0, 25.

Xét hàm số ( ) ( ) 1

2

x



Chọn x049 và  x 0, 25, ta có

 0   0  0

1

49 0, 25 49 0, 25 7 0, 01786

2 49

7, 01786

f x   x f x  f x x



Vậy 49 0,25 7,01786. 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tính gần đúng 1

0,9995

Trang 3

Trang 3

a) Ta có 1 1

0,99951 0, 0005

Xét hàm số f x( ) 1 f x( ) 12



Chọn x01 và   x 0,0005, ta có f x 0  x f x 0  f x0 x

1

1 1.( 0, 0005) 1, 0005

1 0, 0005

Ví dụ 2 Tính gần đúng 0

sin 46

Ta có 0  0 0

sin 46 sin 45 1 sin

4 180

 

  Xét hàm số ( ) sinf x  x f x( )cos x

Chọn 0 và ,

ta có f x 0  x f x 0  f x0 x

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1 Vi phân của hàm số f x( ) 3 x2x tại điểmx2 , ứng với  x 0,1 là

Câu 2 Vi phân của hàm số y x2 5x bằng biểu thức nào sau đây?

A.

2

1



2 5

5

x





2 5

x



 

2 5

x





Câu 3 Vi phân của hàm số yxsinxcosx là

A.dy(2sinxxcos )x dx B dyxcosxdx

C.dyxcos x D dy(sinxcos )x dx

Câu 4 Dùng công thức vi phân làm tròn đến số thập phân thứ tư của tan 3

3 80

 

  

  được kết quả

Câu 5 Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (sin )

cot (cos )

x

tan (cos )

x

C (sin )

cot (cos )

x

tan (cos )

x

Câu 6 Cho hàm số y f x( ) (x 1 )2 Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số f x ?  

A.dy2(x1)dx B dy (x 1)2dx C.dy2x1  D dyx1dx

Câu 7 Vi phân của hàm số y x3 9x212x5 là

dy  x  x dx

dy  x  x dx

Câu 8 Vi phân của hàm số y 1x2 là

Trang 4

Trang 4

A.

2

1

x



1

x



2

1

x



2 2

1

x





Câu 9 Vi phân của hàm số y 3x2 là

3 2

x



 B.

1

2 3 2

x



1

3 2

x



 D

3

2 3 2

x





Câu 10 Vi phân của hàm số 2 3

2 1

x y x





 là

A.

2

8

(2 1)

x

 

4

(2 1)

x



C.

2

4

(2 1)

x

 

7

(2 1)

x

 

Câu 11 Hàm số yxsinxcosx có vi phân là

A.dy( cosx xsin )x dx B dy( cos )x x dx

C.dy(cosxsin )x dx D dy( sin )x x dx

( ) 1 cos 2

y f x   x Khẳng định nào sau đây đúng?

A

2

sin 4

2 1 cos 2

x





sin 4

1 cos 2

x





C

2

cos 2

1 cos 2

x



sin 2

1 cos 2

x





Câu 13 Vi phân của hàm số y tan x

x

 là

A.

2

4 cos

x

2

sin(2 )

4 cos

x

C.

2

2 sin(2 )

4 cos



2

2 sin(2 )

4 cos



Câu 14 Cho hàm số 13

3

y x

 Vi phân của hàm số là

4

x

 C.dy 14 dx

x

  D.dyx dx4

Dạng 2 Đạo hàm cấp cao

Bài toán 1 Tính đạo hàm đến cấp n của hàm số tại x0

+ Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp hai y" y ' Tính y" x0

Cấp 3, 4, ta tính tương tự

Ví dụ Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số 2

cos

Ta có cos2 1(1 cos 2 ) ' sin 2

2

" 2 cos 2 "' 4sin 2

Ví dụ mẫu

Trang 5

Trang 5

Ví dụ 1 Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số 3 1

2

x y x







Ta có

2

7 ( 2) '

x

    

(4)

Ví dụ 2 Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số 2

sin 2

Ta có sin 22 1(1 cos 4 )

2

' 2sin 4 " 8cos 4 "' 32sin 4

128cos 4 512sin 4

Bài toán 2 Tính đạo hàm cấp cao của hàm số

Bước 1: Tinh ', ", "' y y y Dựa vào các đạo hàm vừa tính, dự đoán Công thức tính y ( )n

Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là Chứng minh (1) bằng quy nạp: đúng bằng phương pháp

quy nạp

Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n của hàm số  *

y x n

Ta có:

' cos sin 1 ;

2

" sin sin 2

2



2

n

Chứng minh(1)bằng quy nạp :*n1: 1  hiển nhiên đúng

* Giả sử (1) đúng với n k 1 nghĩa là sin

2

k

 

Ta phải chứng minh (1) đúng với n k 1 nghĩa là ta phải chứng minh

 

( 1)

sin ( 1) 2

2

k

Thật vậy, xét (2) ta có

1

2





       

          

    

Suy ra (2) đúng, nghĩa là (1) đúng vớin k 1 Theo nguyên lí quy nạp ta có công thức

*

n

Trang 6

Trang 6

Chú ý: Cần phân tính kĩ các kết quả của đạo hàm y y', ", "',y tìm ra quy luật để dự đoán công thức yo) chính xác

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm đạo hàm cấp n của hàm số 3 1

2

x y x







Ta có 7 2 7.2 3 7.2.34

' , " , "'

Bằng quy nạp ta chứng minh ( )  

1

( 1) 7 ( 2)

! 2

n n

n

n y





• Với n1 ta thấy (2) đúng

• Giả sử (2) đúng với nk, tức là ( ) ( 1) 7 !1

( 2

)

k k

k

k y







Ta có:

1 ( 1)

( 1) 7 ! ( 1) 7 !.( 1) ( 1) 7.( 1)!

k

y



Do đó (2) đúng với mọi số tự nhiên n

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số

( )

1

3 1 ( 1) 7 !

n n

n

Bài toán 3 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình

Ví dụ Cho hàm số yxsin x

Chứng minh x y " 2 y' sin xxy0

Ta có

' ( sin ) ' ' '.sin (sin ) '

' sin cos

" (sin cos ) ' (sin ) ' ( cos ) '

cosx x' cos x x.(cos ) 'x 2 cosx xsin x

Ta có x y " 2 y' sin xxy0

2

(2cos sin ) 2(sin cos sin )

sin 0

2 cos sin 2 cos sin 0

0 0

 

(điều phải chứng minh)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số sin3 cos3

1 sin cos

y





  Chứng minh "y  y 0.

x

Trang 7

Trang 7

2 2 2

2

2 2

(1 ) 2 ( 2 ) (1 )

"

( 2 ) 1 2

2 (1 ) ( 2 )

)

y

x









2 3

1

( 2 )



 (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2 Cho hàm số

sin cos

1 sin cos

y





 Chứng minh "y  y 0.

(sin cos ) sin cos sin cos

1 sin cos

y



 (sin cos )(1 sin cos ) sin cos

1 sin cos



Ta có "y    y 0 sinxcosxsinxcosx  0 0 0 (điều phải chứng minh)

Ví dụ 3 Cho hàm số 22 4

4 3

x y





  Giải phương trình "y 0.

Ta có 22 4 2( 22)

4 3 ( 2) 1

y

'

y

2 2 2

2( 2) 2

"

( 2) 1

x

y

x



   

    

2

4 2

4( 2) ( 2) 1 2( 2) 2 2 ( 2) 1 2( 2)

( 2) 1 4( 2) ( 2) 1 ( 2) 1 2( 2) 2

( 2) 1 4( 2) ( 2) 1 ( 2) 3

( 2) 1

x

               



   

           



   

        



   

Ta có

4 2

y

x

        

   

Điều kiện: 2

(x2)  1 0

Khi đó " 0y       x 2 0 x 2

Bài tập tự luyện dạng 2

Trang 8

Trang 8

Câu 1 Đạo hàm cấp hai của hàm số f x( )  x3 x2 4 tại điểm x1 là

Câu 2 Đạo hàm cấp hai của hàm 3 1

2

x y x





 là

( 2)

"

y

x



5

" ( 2)

y

x

 

5

" ( 2)

y

x

 

10 ( 2)

y

x

  



Câu 3 Cho ( )f x sin 3 x Giá trị của

2

f

 

  băng

Câu 4 Đạo hàm cấp hai của hàm số ycos2xlà

A "y  2 cos 2 x B "y  2sin 2 x C. "' sin 3

2

  D "y 2sin 2 x

Câu 5 Đạo hàm cấp hai của hàm số y f x( )xsinx3 là

A. f( )x  xsin x B f( )x 2cosx x sin x

C. f( ) sinx  x x cos x D f( ) 1 cos x   x

Câu 6 Cho hàm số y f x( )sin x Khẳng định nào sau đây sai?

2

  B "y sin(x). C. "' sin 3

2

  D.

(4)

sin(2 )

Câu 7 Đạo hàm cấp hai của hàm số ysin 5 cos 2x x là

A 'y 49sin 7x9sin 3 x B 'y  49sin 7x9sin 3 x

C. ' 49sin 7 9sin 3

Câu 8 Cho hàm số ysin x2 Khẳng định nào sau đây đúng?

A 4y "y 0 B 4yy"0 C.yy tan x' 2 D 2  2

' 4

y  y 

Câu 9 Cho hàm số

2

1

y

x



 Đạo hàm cấp hai của là

A.

2

1

" 2

(1 )

y

x

 

2

" (1 )

y

x



2

" (1 )

y

x





2

" (1 )

y

x





Câu 10 Cho hàm sốy x3 3x2 x 1 Phương trình "y 0 có nghiệm là

Câu 11 Cho f x( )x4cos 2x.Tìm f(4)( ).x

A. f(4)( )x 24x16cos 2 x B f(4)( ) 16cos 2 x  x

C f(4)( )x 24x8sin 2 x D. f(4)( )x 24 16cos 2  x

Câu 12 Cho hàm số y x21 khẳng định nào đúng?

" '

A Chi (I) B Chi (II) C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai Câu 13 Cho hàm số y 1 3 xx2 Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. 2

' 2 " 1

y  y y  B  2

' " 1

y y y   C.  2

" ' 1

y y  y  D. 2

' " 1

y y y 

Câu 14 Cho hàm số ( )f x  2x1 Giá trị của f"' 1  bằng

Trang 9

Trang 9

Câu 15 Cho hàm số ( )f x cos 2 x Tính P ''f  

A.P4 B.P0 C.P 4 D.P 1

Câu 16 Xét hàm số cos 2

3

  Nghiệm x 0;2



 

   của phương trình f(4)( )x  8 là

2

6

3

2

 

Câu 17 Cho hàm số y 1

x

 Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.y y" 3 2 0 B.y y" 32 C.  2

" 2 ' 0

" 2 '

y y y

Câu 18 Cho hàm số ysin 22 x.Giá trị của biểu thức (3)

" 16 ' 16 8

y  y y y là

Câu 19 Đạo hàm cấp n của hàm số ycos 2x là

A. ( )

( 1) cos 2

2

( )

2 cos 2

2

n n

 

C. ( ) 1

2

( )

2 cos 2

2

n n

 

Câu 20 Đạo hàm cấp n của hàm số y 2x1 là

A.

1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (3 1)

(2 1)

n n

n

n y

x







1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1)

(2 1)

n n

n

n y

x





C.

1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1)

(2 1)

n n

n

n y

x





1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 3)

(2 1)

n n

n

n y

x







Câu 21 Đạo hàm cấp n của hàm số 22 1

3 2

x y





  là

A. ( ) 5.( 1) 1! 3.( 1) 1!

( 2)

( 1)

n

y

( )

5.( 1) ! 3.( 1) !

( 2)

( 1)

n

y

C. ( ) 5.( 1) 1! 3.( 1): 1!

( 2

) ( 1)

n

y



( )

5.( 1) ! 3.( 1) !

( 2)

( 1)

n

y

Câu 22 Đạo hàm cấp n của hàm số 2

5 6

x y



  là

A ( ) ( 1) 3 !1 ( 1) 2 !1

( 3)

( 2)

n

y

( ) ( 1) 3 ! ( 1) 2 !

( 3)

( 2)

n

y

C ( ) ( 1) 3 ! ( 1) 2 !1 1

( 3)

( 2)

n

y

( )

( 1) 3 ! ( 1) 2 !

( 3)

( 2)

n

y

Câu 23 Đạo hàm cấp 2021 của hàm số f x cos x a   là

A. (2021)( ) cos

2

(2021)

2

B. (2021)( ) cos

2

(2021)

2

Trang 10

Trang 10

Câu 24 Đạo hàm cấp n của hàm số ysin x2 là

A. ( ) 1

2

n n

( ) 1

2

n n

C. ( )

2 sin 2

2

n n

( )

2 sin 2

2

n n

Câu 25 Cho hàm số ysin x cosx sin x3  2 Giá trị của (10)

3

 

  gần nhất với số nào dưới đây?

A.454492 B.2454493 C 454491 D 454490

Câu 26 Cho hàm số sin

2

x

y Đạo hàm y là ( )n

2n 2 2

x

  

x

  

1

2n 2

x

  

 

Câu 27 Cho hàm số  2 9

(

f x  x  x Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x0

A f(6)(0) 60480 B. f(6)(0) 34560 C f(6)(0) 34560 D f(6)(0)34560

BÀI 3 ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN

Dạng 1 Tính vi phân

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1

Ta có: f x( )6x 1 f(2) 11 d (2)f  f(2) x 11.0,1 1,1

Câu 2

Ta có

2

2 5

x



Câu 3

( sin cos ) (1 sin cos sin ) cos

Câu 4

( ) tan ( ) 1 tan

Chọn 0

3

x 

và 3

80

   ta có f x 0  x f x 0 f x0 x

2

         

Câu 5

Ta có (sin ) (sin ) cos cot

(cos ) (cos ) sin

x



Câu 6

Ta có dy(x1)2dx2(x1)dx

Câu 7

Trang 11

Trang 11

dy x  x  x dx x  x dx

Câu 8

2

1



Câu 9

Ta có ( 3 2) 3

2 3 2

x





Câu 10

Ta có d 2 3 d 8 2 d

x



Câu 11

Ta có dy( sinx xcos ) dx x(sinx x cosxsin )dx x( cos )dx x x

Câu 12

Ta có  2 

1 cos 2 2.2 cos 2 sin 2 sin 4 sin 4

( )



Câu 13

Ta có

2

tan

x x

  

2

d

x

x x

    

2

sin cos

2 cos

dx



2

2 sin(2 )

4 cos

dx





Câu 14

Ta có

 

2 2

x



 

     

Dạng 2 Đạo hàm cấp cao

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1

Ta có f x( )3x22x

Suy ra: f( )x 6x2 Suy ra f(1)4

Câu 2

Trang 12

Trang 12

Ta có

3

Câu 3

Ta có f x( )3sin 3x , suy ra f( )x  9sin3x

Câu 4

2cos ( sin ) sin 2 2cos 2

Câu 5

Ta có y f x( )( sinx x3)sinx x cosx

Vậyy  f( )x (sinx x cos )x 2cosx x sinx

Câu 6

Ta có (4) 3

2 2

Ta có sin(2  x) sinxy(4)

Câu 7

Ta có: sin 5 cos 2 1(sin 7 sin 3 )

2

Do đó 1(7 cos 7 3cos 3 ) 1( 49sin 7 9sin 3 )

Câu 8

Ta có: y2cos 2xy  4sin 2x

Xét đáp án A, 4yy 4sin 2x4sin 2x

Xét đáp án B, 4yy 4sin 2x4sin 2x0

Xét đáp án C, tan 2 2 cos 2 sin 2 2sin 2

cos 2

x

Xét đáp án D,

 2

sin 2 4 cos 2 4

y  y  x x Câu 9

Câu 9

2

Câu 10

Tập xác định: D

Ta có y3x26x 1 y 6x 6 y   0 x 1

Câu 11

Ta có: f x( )4x32sin 2x suy ra f( ) 12x  x24cos 2xf( )x 24x8sin 2x

Do đó: (4)  

( ) ( ) 24 16 cos 2

f x  f x    x

Câu 12

Trang 13

Trang 13

Ta có:

1

x

    

2

1

x



 do đó khẳng định (I) sai

Xét 2  2   

1

   do đó khẳng định (II) sai

Câu 13

y  xx y   xx  y y   x  y  y y    y  y y  

Câu 14

Ta có:

3

2 1

x



( )

(2 1) (2 1) (2 1) (2 1)



Vậy f(1)3

Câu 15

Ta có: f x( ) 2sin 2xf( )x  4cos 2x

Do đó: f( )  4

Câu 16

Ta có:

(4)

( ) 8 cos 2

f x     x  

2

6

    





        



Mà 0;

2

   nên chỉ có giá trị

2

x thỏa mãn

Câu 17

Ta có y 12 y 23

    

Xét đáp án A,

3 3

y y

          

 

2

           

 

  (vô lí )

Xét đáp án C,

3 3

y y

       

 

  (vô lí )

         

 

Câu 18

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	0,91 MB