Bài 3 GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Mục tiêu Kiến thức + Biết và hiểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số... Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị,

BÀI 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết và hiểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số

+ Biết các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một khoảng, trên một đoạn+ Nhận biết được mối liên hệ của hàm số y f x , y f u x , khi biết bảng biến thiên của   

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên một khoảng

Phương pháp giải

Ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho

khoảng)

hàm bằng không hoặc không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Bước 4 Kết luận

Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải.

Bước 1 Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số y f x trên miền (a; b) ta sử dụng máy 

tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng

giá trị)

Bước 2 Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá

trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất

Xét bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 2)

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm

số min0; 2 y 1 đạt tại x1

Chọn D

Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác

sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính về chế độ

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

22





x y

x trên tập xác định của nó?

A Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất

B Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất

C Hàm số có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất

D Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2  2

Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

261; 22

x Giá trị của    

2 2

2

2 2; 3 2; 3

Dễ thấy f  5  f  0  f  1 , ��m nên min0; 5 f x   f  1  m 1

Theo đề bài min0; 5 f x  5�m 1 5�m6

Chọn A.

Ví dụ 7 Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

21

10,1

Ví dụ 8 Biết hàm số y x33mx2 3 2 m1x1 (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn

nhất bằng 6 Các giá trị của tham số m là

- Trường hợp 1: Xét 3 m 3 6� m 1

Thử lại với m 1, ta có  

1 2; 00

Thực hiện theo các bước sau

Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số f x trên đoạn    a b , giả sử thứ tự là M,;

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y x3 9x2 24x68 trên đoạn 1; 4 là

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 9x2 24x68 trên đoạn 1; 4 bằng 48

Chọn A

Cách khác: Theo trường hợp 3 thì M   48 0�miny 48

Bài toán 3 Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [α, β] bằng k

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

Ví dụ: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của

tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

21

0 1; 22

0

2 1; 21

0;1; 2; ; 15; 16

� �m

Thực hiện các bước sau

Bước 2 Gọi M là giá trị lớn nhất của

So sánh cả hai trường hợp thì max min f x m ,   0 khi m0

0;

0;

4 4

Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số   3 2

f x x x x m trên đoạn [-5; 5] bằng 2018 Trong

các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?

A 1600 m 1700 B m1600 C m1500 D 1500 m 1600

Câu 10: Để giá trị lớn nhất của hàm số y f x   x3 3x2m1 trên đoạn  0; 2 là nhỏ nhất thì giá

trị của m thuộc khoảng nào dưới đây?

A  0; 1 B 1; 0 C  1; 2 D  2; 1

Câu 11: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x2  x m trên đoạn  2; 4 , m là giá trị của0

tham số m để M đạt giá trị nhỏ nhất Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 1m0 5 B  7 m0  5 C  4 m0 0 D m0  8

Câu 12: Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x4 38x2 120x4m trên đoạn

 0; 2 đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó giá trị của tham số m bằng

Câu 17: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x2 m

trên đoạn 2; 4 bằng 50 Tổng các phần tử của tập S là

Câu 19: Cho hàm số f x   x4 4x3 4x2 a Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số đã cho trên đoạn  0; 2 Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn 3; 2 sao cho M �2m ?

Câu 20: Giá trị nhỏ nhất của hàm số   2

y f x m x x mx đạt giá trị lớn nhất khi tham số m bằng

Dạng 3: TÌM GTLN-GTNN khi cho đồ thị - bảng biến thiên

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số y f x liên tục trên � và có bảng biến thiên như hình vẽ 

Giá trị lớn nhất của hàm số trên �là

Ví dụ 2 Hàm số y f x liên tục trên � và có bảng biến thiên như hình bên dưới 

Biết f   4 f  8 , khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên � bằng

Ví dụ 5 Cho hàm số y f x liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn    0; 2 như sau

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f x  trên đoạn  0; 2 là

Ví dụ 6 Cho hàm số y f x liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn   2; 4 như sau

Giá trị lớn nhất của hàm số y  f x trên đoạn   2; 4 bằng

A f  2 B f  0 C f  2 D f  4

Hướng dẫn giải

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy max2; 4 y 17 khi x4

Chọn D

Ví dụ 7 Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn   1; 3 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1; 3 Giá trị của

Ví dụ 8 Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn   1; 1 và có đồ thị như hình vẽ

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 1; 1 Giá trị của

Hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất trên khoảng    1; 3 tại x Khi đó giá trị của 0 2

Dựa vào đồ thị của hàm số y  f x ta có bảng biến thiên như sau� 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y  f x đạt giá trị lớn nhất trên khoảng    1; 3 tại x0 2.

Vậy x02 2x0 2019 2019

Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau 

Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M, m Giá trị biểu thức P M 2 m là2

x f x f x và có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng 3; 2

B Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -5

C Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3

D Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng 3; 2 bằng 0

Câu 3: Cho hàm số y f x có đồ thị trên khoảng   2; 2 như hình bên Khẳng định đúng là

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số y  f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên [-5; 3) 

B Hàm số y  f x không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên [-5; 3) 

C Hàm số y  f x có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất trên [-5; 3) 

D Hàm số y  f x có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên [-5; 3) 

Câu 5: Cho hàm số y f x liên tục trên � và có bảng biến thiên như sau 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số y  f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất 

B Hàm số y  f x không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất 

C Hàm số y  f x có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất 

D Hàm số y  f x có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất 

Câu 6: Cho hàm số y f x liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn   6; 0 như sau

Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y f x trên đoạn   6; 0 là

C M 6 và m7 D M 0 và m7

Câu 7: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn   1; 4 và có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây sai

A Hàm số y  f x không có giá trị lớn nhất trên khoảng   1; 4

B Hàm số y  f x không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng   1; 4

C Hàm số y  f x không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng   1; 4

D Hàm số y  f x không có giá trị nhỏ nhất trên đoạn   1; 4

Câu 8: Cho hàm số y f x liên tục trên   \ 1

2

� �

� �

�

� và có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số y  f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất 

B Hàm số y  f x không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất 

C Hàm số y  f x có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất 

D Hàm số y  f x có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất 

Câu 9: Cho hàm số y f x liên tục trên   1; 3 và có bảng biến thiên như sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x  2 bằng trên đoạn 1; 1 bằng

A -4 B -1 C -3 D -2

Câu 10: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn � và có đồ thị như hình vẽ 

Giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1; 1 của hàm số là

A miny 1 B miny1 C miny0 D miny 2

Câu 11: Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ' 

Hàm số y f x đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] tại x bằng bao nhiêu? 

�  ��

� � Đồ thịhàm số y  f x là đường cong trong hình vẽ dưới đây 

Bước 1 Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ

Ví dụ: Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của

Bước 2 Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị

Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng

0 1; 14

4 1; 12

Ta có P2  6 4 sin xcosx2 1 2 sin  xcosx4sin cosx x

Đặt sin cos 2.sin

A

 0; 

5max

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất m của hàm số y cos3 xsin2 xcosx3 là

Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số y f x   x 1 3x là

ĐÁP ÁN

Dạng 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến

x xy y P

Dựa vào bảng biến thiên ta có ( ) 1

t t

42

12

Ví dụ 5 Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

1

Câu 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x3y3  Giá trị nhỏ nhất của 2 P x 2 lày2

A minP1 B minP3 2 C minP 34 D minP2

Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2(x2y2)xy và biểu thức 1 P7(x4y4) 4 x y2 2 Gọi M, m

theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P Tổng M m là

A 17 2 6 B 17 6 C 17 2 6 D 17 6

Câu 6: Cho các số thực x, y dương thỏa mãn x�1,y� và 3(1 x y ) 4 xy Gọi M, m thứ tự là giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của P x3 y3 3 12 12

Câu 14: Cho x y z, , � 1; 4 và x y� Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2( 1)

Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên quan đến hàm ẩn

Bài toán 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)),y = f(u(x))±h(x)… khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x)

đẳng thức để đánh giá giá trị của t = u(x)

Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập � và

có bảng biến thiên như sau

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của hàm số y f x( 22 )x trên đoạn

Bước 2 Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của

hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Bước 3 Lập bảng biến thiên.

Bước 4 Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

Ví dụ 1 Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y f x(  có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1)  0; 2 bằng

A ( 2)f  B (2)f .

C (1)f . D (0)f .

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3 Cho hàm số y f x( )ax4bx2 xác định và liên tục trên � và có bảng biến thiên sauc

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x(  trên đoạn 3)  0; 2 là

Hướng dẫn giải

Hàm số có dạng f x( )ax4bx2 Từ bảng biến thiên ta cóc

4 2 '

Chọn C.

Bài toán 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f u x    , y f u x    �h x �

Khi biết đồ thị của hàm số y f x '( )

Ví dụ mẫu

Ví dụ Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm và liên tục trên�

Biết rằng đồ thị hàm số y f x'( ) như dưới đây

Chọn D.

Bài tập tự luyện dạng 6

Câu 1: Cho hàm số y f x( )liên tục trên � và có bảng biến thiên như sau

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y g x ( ) f(3 trên x)  0;3 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A M  f(0). B M  f(3). C M  f(1). D M  f(2).

Câu 2: Cho hàm số y f x( )có đồ thị như hình vẽ Gọi M, m lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3

x

y f � �� �

� �trên đoạn  0; 2 Khi đó M m bằng

Câu 3: Cho hàm số y f x( )liên tục trên � và có bảng biến thiên như sau

Hàm số y f(2sin )x đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là M và m Mệnh đề nào dưới đây đúng

A m 2M B M 2m C M m 0 D M m 2

Câu 4: Cho hàm số y f x( )liên tục trên 2; 4 và có bảng biến thiên như sau

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số    2 

cos 2 4sin 3

g x  f x x Giá trị

của M m bằng

Câu 5: Cho hàm số y f x( )liên tục trên � và có đồ thị như hình

vẽ dưới đây Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số  2

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   2

21

Câu 7: Cho hàm số y f x( ) liên tục trên � và có đồ thị như

hình vẽ bên Gọi M, m theo thứ tự là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của hàm số y f x 2 trên đoạn 1;5 Tổng M m

bằng

Câu 8: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f  x2 2x5 trên đoạn 1;3lần lượt là M, m Tổng

M m bằng

Câu 9: Cho hàm số y f x( ) liên tục trên ( � � và có đồ thị như hình vẽ; )

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x 3  trên đoạn 3x 1 2;0.Tổng M m bằng

Câu 10: Cho hàm số y f x( ), biết hàm số y f x'( ) có đồ thị như

hình vẽ dưới đây Hàm số y f x( ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn

g x  f x  x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A min ( )3;3 g x g(1). B

 3;3 

max ( )g x g(1)

C max ( )3;3 g x g(3). D Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của ( )g x trên 3;3

Câu 13: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị y f x'( )như hình vẽ

g x  f x  x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A x0   3 B x0   4

C x0   1 D x0  3

Giá trị lớn nhất của v t   khi 3 t Chọn C1

Ví dụ 2 Một vật chuyển động theo quy luật 1 3 2

63

s  t  t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khivật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó Hỏitrong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng baonhiêu?

Ví dụ 3 Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân

được giám sát bởi bác sĩ Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong

t giờ được cho bởi công thức   2  / 

c t

t t

Với t = 1 (giờ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất Chọn B

Ví dụ 4 Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng

3

500

3 m Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây bể là

600.000 đồng /m Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất Chi phí đó2là

A 75 triệu đồng B 85 triệu đồng C 90 triệu đồng D 95 triệu đồng

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin 150

Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150.600000 = 90.000.000 đồng Chọn C

Từ giả thiết ta có

2

2

22

Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi R1�h2

Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì R1 ;m h2m Chọn B

Ví dụ 7 Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ.

Khoảng cách từ C đến B là 1 km Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km Tổng chi phílắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng Tính tổng chi phínhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

A 120 triệu đồng B 164,92 triệu đồng C 114,64 triệu đồng D 106,25 triệu đồng Hướng dẫn giải

Gọi M là điểm trên đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C

 2

s  t  t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắtđầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng thờigian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Câu 2: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga Quãng đường s (mét) đi được của đoàn

tàu là một hàm số của thời gian t (giây), hàm số đó là 3 2

Câu 4: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G x  0,035x215 , trong đóx

x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam) Liều lượng thuốc cần tiêm(đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là

m và chiều dài gấp đôi chiều rộng.

Chất liệu làm đáy và bốn mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp.Gọi h là chiều cao của hộp để giá thành làm chiếc hộp là thấp nhất biết h m

n

 với m, n là các số nguyêndương nguyên tố cùng nhau Tổng m + n bằng

Câu 7: Một người thợ xây, muốn xây một bồn chứa thóc hình trụ tròn với thể tích là 150m (như hình3vẽ) Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn và nắp bể làm bằng nhôm Biết giá thành các vật liệu như