VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO

CHỦ ĐỀ 16VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO Dạng toán 1... Nếu yêu cầu tính đạo hàm tại giá trị x0 thì ta thế giá trị đó vào sau khi tính đạo hàm.. 3 Hệ thức giữa các đạo hàm.. Tính đầy đủ đạo

CHỦ ĐỀ 16

VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO

Dạng toán 1 VI PHÂN

Vi phân của hàm số tại một điểm

Vi phân của hàm số y f x tại điểm ( ) x ứng với số gia ∆x được kí hiệu o df x là: ( )0 df x( )0  f x'( )0 x

Ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng:

(   ) ( ) '( )

Vi phân của hàm số

Nếu hàm số f có đạo hàm f’ thì tích f x x gọi là vi phân của hàm số '( ) y f x , kí hiệu là: ( ) ( ) '( )

df x f x x

Đặc biệt với hàm số y x ta có dx( ) 'x   x x

Do đó ta có thể viết: df x( ) f x'( ) dx hay dy y dx '

Chú ý:

1) Để tính vi phân, trước hết phải vận dụng các quy tắc và công thức để tính đạo hàm

2) y f x là hàm số theo biến thực x, nếu tính giá trị lượng giác theo đơn vị ( ) a thì phải chuyển qua o

số thực α thì nhờ công thức

.180

180a   

a



3) Nếu x càng bé thì giá trị gần đúng càng chính xác.

Khi

0



x

thì

2 2

sin , tan , 1 1 ,1 cos

Từ đó ta có thể biết trước kết quả của một số giới hạn:

2



Bài toán 1 Tính vi phân của hàm số f x( ) 2 x26x1 tại x0 1 ứng với số gia  x 0,1;   x 0,05..

Giải

Ta có '( ) 4f x  x6 nên '(1)f  2.

Vi phân của hàm số tại điểm x0: df x( )0  f x'( )0 x

Với  x 0,1 thì df(1) 2(0,1) 0, 2

Với   x 0,05 thì df(1)  2( 0,05) 0,1

Bài toán 2 Tính vi phân của hàm số

( ) sin 2

tại điểm x3

ứng với

0,01; 0,002

 x  x

Giải

Ta có

'( ) 2cos 2

nên f '( )3  1

Vi phân của hàm số tại điểm x0: df x( )0  f x'( )0 x

Với

0,01

 x

thì df( )3  1.(0,01) 0,01 Với

0,002

 x

thì df( )3  1.(0,002) 0,002

Bài toán 3 Tính vi phân của hàm số 2

2 ( )

1





x

f x

x tại điểm

2



x

ứng với

0,1; 0,001

 x   x

Giải

Ta có

2( 1) 2 2 2( 1) '( )

f x

'( 2) 6

f

Vi phân của hàm số tại điểm x0: df x( )0  f x'( )0 x

Với  x 0,1 thì df( 2) 6.(0,1) 0,6

Với   x 0,001 thì df( 2)  6.( 0,001) 0,006

Bài toán 4 Tính vi phân của các hàm số sau:

) 



x

a y

a b

8

)   2

b y x x x

Giải

a) Tập xác định D0; Với x0 thì

1





a b nên

'

b)

2 2

x

Do đó

2

dy y dx x  x dx

Bài toán 5 Tính vi phân của các hàm số sau:

)

1

 





a y

Giải

a) Tập xác định Dℝ\ 1

'

b)

1

'



x x

y

Do đó

3

4

x

Bài toán 6 Tính vi phân của các hàm số:

)  sin

Giải

a) Tập xác định Dℝ

' 2 2sin cos 2 sin 2

Do đó dy y dx' (2xsin 2 )x dx

b) Điều kiện cosx0

2

' 3tan

Bài toán 7 Tính vi phân của các hàm số:

) cos(cos )

Giải

a) Tập xác định Dℝ

' sin(cos ).(cos ) ' sin sin(cos )

Do đó dysin sin(cos )x x dx

b) Điều kiện sinx0

1

x

Bài toán 8 Tính vi phân của các hàm số:

7 ) tan

2



a)



x y

nên

2

1 7 2cos

2





x

x

Nên

2

3 (1 cot 3 1)





x

x

Bài toán 9 Chứng minh:

a) Nếu y x 2x thì ( x2 )y dx xdy 0

b) Nếu y x  x21 thì 1x dy ydx2  0

Giải

a) Ta có dy(2x1)dx nên

2

(x2 )y dx xdy (x2x 2 )x dx x x (2 1)dx0

b) Ta có

'



dy y dx

nên y' dy

dx

2

y

Do đó:

2

1



Bài toán 10 Dùng vi phân, tính gần đúng:

1

)

0,9995

Giải

a) Xét hàm số

1 ( )

f x

x ta có 2

1 '( ) 



f x

x

Chọn x0    1, x 0,005 và áp dụng công thức gần đúng:

(   ) ( ) '( )

thì: 0 0 02

Hay

1

1 0,0005 1,0005 0,9995  

b) Xét hàm số

( )

ta có

1 '( ) 2



f x

x

Chọn x0    1, x 0,001 và áp dụng công thức gần đúng:

(   ) ( ) '( )

thì

1 0,999 1 ( 0,0001) 0,999

2

Bài toán 11 Dùng vi phân, tính gần đúng:

3

) 26,7

20,3

b

Giải

a) Xét hàm số

3

( )

f x  x

ta có 3 2

1 '( ) 3

f x

x

 Chọn x0 27,   x 0,3 và áp dụng công thức gần đúng:

(   ) ( ) '( )

thì:

3

27,3 27 ( 0,3) 2,999

27

b) Xét hàm số

1 ( )

f x

x



ta có

1 '( )

2

f x

x x



 Chọn x0 20, 25;  x 0,05 và áp dụng công thức gần đúng:

4,5 20,3 40,5 20, 25

Bài toán 12 Dùng vi phân, tính gần đúng:

0

) cos45 30'

Giải

a) Ta có

0

45 30'

4 360

  Xét hàm số ( ) cosf x  x ta có '( )f x  sinx

Chọn 0 ,

x   x 

và áp dụng công thức gần đúng:

f x   x f x  f x  x         

Hay

cos 45 30' 0,7009

2 2 360



b) Ta có

0

29 30'

6 360

  Xét hàm số ( ) tanxf x  ta có f x'( ) 1 tan  2x

Chọn 0 ;

x    x 

và áp dụng công thức gần đúng:

2

f x   x f x  f x  x          

Hay

3 360 3



   

Dạng toán 2 ĐẠO HÀM CẤP CAO Đạo hàm cấp 2

Cho hàm số f có đạo hàm f’ Nếu f’ cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f và kí hiệu là f’’, tức là: '' ( ') 'f  f

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Gia tốc (tức thời) a(t0) tại thời điểm t0 của một chất điểm chuyển động cho bởi phương trình s s t ( ) bằng đạo hàm cấp hai của hàm số s s t ( ) tại thời điểm t

0, tức là: a t( )0 s t''( )0 .

Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số f có đạo hàm cấp n1 (với nℕ, n2) là f(n 1)

Nếu f(n1) là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f và kí hiệu là

n

f

( 1) ', ( , 2)

f f   nℕ n .

Chú ý:

1) Một chất điểm chuyển động: s f t( ) là vận tốc tức thời v t( )0 s t'( )0 ; gia tốc tức thời tại đó:

a( )t s t''( )

2) Tính đạo hàm các cấp của hàm số y f x( ), ta tính y’, y’’, … đến cấp cần xác định Nếu yêu cầu tính đạo hàm tại giá trị x0 thì ta thế giá trị đó vào sau khi tính đạo hàm

3) Hệ thức giữa các đạo hàm Tính đầy đủ đạo hàm các cấp rồi thế vào biểu thức cần chứng minh hoặc đánh giá

Bài toán 1 Tính giá trị đạo hàm tại điểm:

) 15 1; ''(5)

2

b y x y 

Giải

a) Tập xác định D ℝ

Ta có y' 3 x22x15, '' 6y  x2

Do đó ''(5) 30 2 28y   

b) Tập xác định D ℝ

' 2cos 2 , '' 4sin 2 , ''' 8cos 2

Do đó y'''( )2 8cos 8

    

Bài toán 2 Tính giá trị đạo hàm tại điểm:

8

) (5 1) , '''(10)

) , ''(1)

2

x

x







Giải

a) Tập xác định D ℝ

' 8(5 1) 5 40(5 1)

'' 40.7(5 1) 5 1400(5 1)

''' 1400.6(5 1) 5 42000(5 1)

Vậy y'''(10) 42000.51 5

b) Tập xác định Dℝ\ 2

3( 2) (3 1) 7

'

y

x

Bài toán 3 Tính đạo hàm đến cấp:

3

x

x







Giải

a) Tập xác định D ℝ

Ta có y' 4 x39x22x7, '' 12y  x218x2

y''' 24 x18, y(4)24, y(5) 0

b) Tập xác định Dℝ\ 3

2( 3) (2 1) 7

'

y

2

Bài toán 4 Tính đạo hàm đến cấp:

) (2 1) ,

) ,

x



Giải

a) Tập xác định D ℝ

' 5(2 1) 2 10(2 1) , '' 10.4(2 1) 2 80(2 1)

''' 80.3(2 1) 2 480(2 1)

(4) 480.2(2 1).2 1920(2 1), (5) 1920.2 2840, (6) 0

b) Tập xác định Dℝ\ 0 

1 1( 2 ) 1.2

' , '' x

 

(4)

1.2.( 3 ) 1.2.3 1.2.3( 4 ) 1.2.3.4 24

Bài toán 5 Tính y’, y’’,y’’’ của hàm số:

2

) cos

Giải

c) Tập xác định D ℝ

' 2cos ( sin ) sin 2 , '' 2cos 2 , ''' 4sin 2

d) Điều kiện cosx 0

' 1 tan ; '' 2 tan (1 tan )

''' 2(1 tan ) 4 tan (1 tan ) 6 tan 8 tan 2

Bài toán 6 Tính đạo hàm đến cấp:

(4)

) sin 5 sin 3 ,

a y x x y b y) sin , '''4x y

Giải

a) Tập xác định D ℝ

Ta có:

(cos8 cos 2 ) cos8 cos 2

' 4sin 8 sin 2 , '' 32cos8 2cos 2

(4)

''' 256sin 8 4sin 2 , 2048cos8 8cos 2

b) Tập xác định D ℝ

Ta có

2

c

x

Nên

1 ' sin 2 sin 4 , '' 2cos 2 2cos 4

2

Bài toán 7 Chứng minh:

a) Nếu

3 4

x

y

x





 thì

2

2( ')y  (1 y y) '' 0

b) Nếu y 2x x 2 thì y y3 '' 1 0 

Giải

a) Tập xác định Dℝ\ 4 

1( 4) ( 3)1 1

'

y

''

( 4) ( 4)

x

y



Do đó:

2

x



4 4

0 (x 4) (x 4)

b) Điều kiện 2x x 2 0

''' 4sin 2 8sin 4

2 2

'

y

2

2

1

(2 ) (1 ) 2

''

x

x x y





3 3

2 3

'' 1



Bài toán 8 Chứng minh:

a) Nếu y x .sinx thì '' 2( ' sin )x y  y  x xy0

b) Nếu y Asin(at b ) Bcos(at b thì ) y''a y2 0

Giải

a) Tập xác định D ℝ

' sin cos , '' cos cos sin 2cos sin

Do đó xy'' 2( ysin )x xy

2

(2cos sin ) 2(sin cos sin ) sin

2 cosx x x sinx 2 cosx x x sinx 0

b) Tập xác định D ℝ

y aA at b aB at b

y  a A at b a B at b

2( sin( ) cos( )) 2

Do đó: y''a y2 0

Bài toán 9 Một chất điểm chuyển động có phương trình S t( ) t3 3t2   , với 9t 2 t0, t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m)

a) Tính vận tốc tại thời điểm t 2

b) Tính gia tốc tại thời điểm t3

Giải

a) Vận tốc v t( )S t'( ) 3 t2  nên (2)6t 9 v  9 /m s

b) Gia tốc ( )a t v t'( ) 6  nên t 6 a(3) 12 / m s2

Bài toán 10 Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v t( ) 8 t 3t2, trong đó 0

t , t tính bằng giây (s) và v(t) tính bằng mét/giây (m/s) Tìm gia tốc của chất điểm

b) Tại thời điểm t4

b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11

Giải

a) Gia tốc ( )a t v t'( ) 8 6  t

Vậy a(4) 32 / m s2

b) v t( ) 11  8t 3t2 113t2  8 11 0t

Chọn t  1 0, khi đó a(1) 14 / m s2

Dạng toán 3 ĐẠO HÀM CẤP N

Cho hàm số f có đạo hàm cấp n1 (với nℕ,n2) là f(n 1)

Nếu f(n1) là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f và kí hiệu là

n

f

( 1) ', ( , 2)

f f   nℕ n

Đạo hàm cấp n của hàm số y f x( ) còn được kí hiệu là y( )n

Chú ý:

1) Chứng minh công thức đạo hàm cấp n: Sử dụng phương pháp quy nạp.

2) Lập công thức đạo hàm cấp n:

- Tính đạo hàm y’, y’’, y’’’,… rồi tìm ra quy luật y Dùng phương pháp quy nạp để hoàn thiện công ( )n

thức tổng quát

- Sử dụng các công thức gốc sau rồi chứng minh quy nạp cho hàm số của đề bài

;

2

n

y x y  x n 

2

y ax b  y a ax b n  

2

n

y xy  x n 

cos( ) y a cos(ax b n )

2

3) Tìm quan hệ đặc biệt giữa các cấp đọa hàm của hàm số này với hàm số kia

4) Đối với hàm số lượng giác thì biến đổi hạ bậc, biến đổi tích thành tổng… để đưa về bậc nhất đối với sin(ax b) và cos(ax b) .

5) Đối với hàm phân thức, nếu bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu thì chia tách đa thức, đưa về phân thức có bậc tử bé hơn bậc mẫu Tiếp tục phân tích mẫu ra các thừa số bậc nhất rồi đưa về tổng các phân số dạng

A

ax b

Chẳng hạn dùng sai phân: 2

     , còn phân thức

4 3

  thì các hằng số

A, B tìm được bằng cách quy đồng rồi đồng nhất hệ số 2 vế,…

Bài toán 1: Chứng minh quy nạp:

Nếu

1

( )

f x

x



( 1) n!

( ) n , 1

n

n

x 



(1)

Giải

Khi

1

n

, ta có:

1

1 ( 1) 1!

'( )

f x



  

Do đó (1) đúng khi

1

n

Giả sử (1) đúng khi

( 1)

n k k 

, tức là:

( )

1

( 1) ! ( )

k k

k

k

x 





Ta phải chứng minh (1) cũng đúng khi

1

n k 

, tức là:

1 ( 1)

2

( 1) ( 1)!

( )

k k

k

k

x







 Thật vậy, ta có:

1

( 1) !( 1) ( 1) ( 1)!





1 ( 1) !

, 0 (1)

n a

a



Giải

Ta chứng minh quy nạp

Khi

1

n

Do đó (1) đúng khi

1

n Giả sử (1) đúng khi

( 1)

n k k 

, tức là:

1

1 ( 1) !.a

k

k



Lấy đạo hàm 2 vế:

( 1) 1 1

( 1) !

k a

Do đó (1) đúng khi n k 1 Vậy công thức đúng với  n ℕ *

Bài toán 3: Chứng minh công thức:

( )

) (sin ) sin( )

2

n

2

n

Tổng quát?

Giải

Ta chứng minh quy nạp:

a) Khi

2

n

: (sin ) ' cosx x sin(x 2)



: đúng Giả sử:

( )

(sin ) sin( )

2

k

x  x k 

Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:

( 1)

(sin ) os( ) sin( ( 1)

k

x  c x k   x k 

nên công thức đúng khi

1

n k  Vậy công thức đúng với mọi n nguyên dương

b) Khi

1

n

: (cos ) 'x sinx cos(x 2)



: đúng Giả sử:

( )

(cos ) cos( )

2

k

x  x k 

Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:

( 1)

(cos ) sin( ) cos( ( 1)

k

x    x k   x k 

nên công thức đúng khi

1

n k 

Vậy công thức đúng với mọi n nguyên dương

Chứng minh tương tự ta được:

( )

2

ax b a ax b n  

( )

2

ax b a ax b n  

Bài toán 4: Chứng minh:

a) Nếu ( )f x cosxthì f(4 )n ( )x cosx (1)

b) Nếu ( ) sinf x  ax thì f(4 )n ( )x a4nsinax (2)

Giải

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

a) Ta có: f x'( ) si nx, ''( )f x  cosx, f'''(x)=sinx, f(4)( )x cosx

Khi n1, f(4 )n ( )x  f(4)( )x cosx Do đó (1) đúng khi n1.

Giả sử (1) đúng khi n k k (  , tức là: 1) f(4 )k ( )x cosx

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng khi n k 1

(4(k 1))(x) f(4k 4)(x) osx

Thật vậy: f(4k1)( )x  sin ;x f (4k2)( )x  cosx

(4k 3)( ) sin ; (4k 4)( ) cos ;

b) Ta có f x'( )acos , ''( )ax f x  a2sinax.

'''( ) cos ; ( ) sin

f x  a ax f a a ax

Khi n1: f(4 )n ( )x  f(4)( )x a4sinax Do đó (2) đúng khi n1

Giả sử (2) đúng khi n k k (  tức là: 1) f(4 )k ( )x a4k.sinax

Ta phải chứng minh (2) đúng khi n k 1: f(4k4)( )x a4k4.sinax

Thật vậy: f(4k1)( )x a4k1.c osax; f (4k2)( )x a4k2.sinax

(4k 3)( ) 4k 3.c os ; (4k 4)( ) 4k 4.sinax;

f  x  a  ax f  x a  dpcm

Bài toán 5: Lập công thức đạo hàm của hàm số:

3

)

4 1

a y

x





5 2 )

3

x

b y

x







Giải

a) Dựa vào kết quả trên, ta chứng minh quy nạp:

( )

1

( 1) 4 !

(4 1)

n

n

n y





 Khi

1

n

thì

1

4 ( 1) 4.1!

(4 1) (4 1)

y

Do đó (1) đúng khi n1 Giả sử (1) đúng khi n k k (  , tức là:1)

( )

1

( 1) 4 !

3

(4 1)

k

k

k y







Lấy đạo hàm 2 vế:

( 1)

( 1)(4 1) 4 ( 1) ( 1).4



Do đó (1) đúng khi n k 1 Vậy cong thức đúng với  n ℕ*

b) Ta có

5

x y

 

Với

1

n

thì

( )

3

n n

y

x

   

Dựa vào kết quả trên, ta chứng minh quy nạp:

( )

1

17.( 1) ! ( 3)

n n

n

n y



 



Bài toán 6: Lập công thức đạo hàm cấp n của hàm số:

2

1

)

a y





13 1 )

x

b y





 

Giải

a) Ta có 2

Do đó: 1 A x(  1) Bx(A B x A ) 

Đồng nhất hệ số hai vế, ta có:



     

Do đó

1

y

x x

 



Ta chứng minh quy nạp:

( )

( 1) ! ( 1) !

( 1)

n

y

 b) Ta có 2

Do đó: 13x 1 A x(2  1) B x(3  1) (2A3 )B x A B 

Đồng nhất hệ số:



Do đó

y

Ta chứng minh quy nạp:

( )

2.( 1) 3 ! 3( 1) 2 !

n

y

Bài toán 7: Lập công thức đạo hàm cấp n của hàm số:

4

) (3 2)

)

2

b y

x





Giải

a) y' 12(3 x2) , '' 108(33 y  x2)2

''' 648(3 2), 1944, n 0

y  x y  y  với n5

b) Ta có

3 5

2

x

8 ' 2 3

( 2)

x

  



'' 2 , '''



Với

4

n

, ta chứng minh quy nạp:

( )

1

8( 1) ! ( 2)

n n

n

n y







Bài toán 8: Lập công thức đạo hàm cấp n của hàm số:

) cos(3 2)

Giải

a) Dựa vào kết quả trên, ta chứng minh quy nạp:

( ) 3 cos(3 2 )

2

Khi n 1: 'y 3sin(3x 2) 3cos(3x 2 2)



: đúng

Giả sử

( ) 3 cos(3( ) 2 )

2

Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:

( 1) 3 3.sin(3 2 ) 3 c os(31 2 ( 1) )

y    x k   x  k 

Nên công thức đúng khi n k 1 Vậy công thức đúng với mọi n nguyên dương

b) Ta có ' 2.sin cosy  x xsin 2x

Ta chứng minh quy nạp:

( ) (sin 2 )( 1) 2 sin(21 ( 1) )

2

Bài toán 9: Lập công thức đạo hàm cấp n của hàm số:

) sin os x

Giải

a) Ta có

(sin cos ) - 2sin cos 1 sin 2

2

1 (1 cos 4 x) cos4x

1

' ( sin 4 ).4 sin 4

4

Dựa vào kết quả trên, ta chứng minh quy nạp

( ) (sin 4 )( 1) 4 sin(41 ( 1) )

2

Khi n 2 : ''y 4.cos 4x 4sin(4x 2)



: đúng Giả sử

( ) 4 sin(41 ( 1) )

2

y    x k 

Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:

( 1) 4 4.cos(41 ( 1) ) 4 sin(4 )

y     x k    x k 

nên công thức đúng khi 1

n k 

Vậy công thức đúng với mọi n nguyên dương

b) Ta có

1 cos 3 cos (cos 4 cos 2 )

2

Ta chứng minh quy nạp:

( )

2

ax a ax n 

Suy ra:

4 cos(4 ) 2 cos(2 )

Dạng toán 4 TOÁN TỔNG HỢP

Vi phân của hàm số y f x( ) tại điểm x ứng với số gia o x df x: ( )0  f x'( )0 x

Vi phân của hàm số y f x( ): df x( ) f x dx hay dy'( )  y dx'

Công thức tính gần đúng: f x( 0  x) f x( )0  f x'( )0 x

Đạo hàm cấp n của hàm số f f: ( )n f(n1)', (nℕ,n2)

Bài toán 1: Tính vi phân của hàm số:

2

Giải

a)

' 1

b)

2

(cos 2 x 1) ' 2cos 2 ( sin 2 ).2 sin 4

'

2 cos 2 1 2 cos 2 1 cos 2 1

y

sin 4 '

cos 2x+1

x

Bài toán 2: Tính vi phân của hàm số:

2

)

a y



1 )

(1 tan )

b y

x





Giải

a)

'

y



 

2(2 1)( 1) 2( 2 2 1)(2 1)



 

b)

2

1

cos x (1 tan ) cos (1 tan )

x

Bài toán 3: Cho các hàm số u u x v v x ( ),  ( ) có đạo hàm trên K Chứng minh:

a d u v du dv d u v  du dv

2

) ( ) , u vdu udv, 0



 

 

Giải

Áp dụng định nghĩa vi phân của hàm số

) ( ) ( ) ' ( ' ') ' '

a d u v  u v dx  u v dx u dx v dx du dv    