Yêu cầu vẽ đồ thị cân đối, đảm bảo tính đối xứng của 2 nhánh qua giao điểm của hai đường tiệm cận.. Thể hiện đúng giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT THANH BÌNH 2 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2011
KHỐI: A
Thời gian: 180 phút(không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2 1
x y x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. T́m trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC cân tại đỉnh A với A(2;0).
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương tŕnh
) 2 sin(
2 cos sin
2 sin cot
2
x x
x x
2. Giải bất phương tŕnh : x235 5 x 4 x224
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân :
2 4
4
sin cos (tan 2 tan 5)
xdx
Câu IV (1,0 điểm) Cho h́nh lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ' có AB 1 , CC ' m ( m 0 ). T́m m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB ' và BC' bằng 600.
Câu V (1,0 điểm) T́m m để phương tŕnh sau có 2 nghiệm phân biệt :
10x2+8x+ =4 m x(2 +1). x2+1
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương tŕnh Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mp toạ độ (Oxy) cho 2 đường thẳng: (d1): x 7 y 17 0 , (d2): x y 5 0 Viết phương tŕnh đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d1),(d2) một tam giác cân tại giao điểm của (d1),(d2).
2. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) T́m tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho
độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất
Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương tŕnh sau trên tập số phức (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0
B Theo chương tŕnh Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x - 5y - 2 = 0 và đường tṛn (C):
2 4 8 0
x y x y .Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tṛn (C)và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương) T́m tọa độ C thuộc đường tṛn (C)sao cho tam giác ABC vuông ở B.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương tŕnh là
( ) : S x y z 4 x 2 y 6 z 5 0, ( ) : 2 P x 2 y z 16 0
Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P) Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN Xác định
vị trí của M, N tương ứng.
Câu VII.b (1 điểm) Giải phương tŕnh sau trên tập số phức z4-z3+
2 2
z
+z+1 = 0
-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích ǵ thêm.
ĐỀ SỐ 15
Trang 2Họ và tên thí sinh số báo
danh
TRUNG TÂM LUYỆN THI
ĐH SÔNG LÔ Đ/c: Đồng Thịnh -Sông Lô - V.Phúc ĐT :
0987.817.908; 0982.315.320
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN III
NĂM 2011 Môn thi : TOÁN - khối A Thời gian làm
bài : 150 phút không kể thời gian giao đề
vẽ đồ thị (C) của hàm số (1,00 điểm)
-Tập xác định: R\{1} -Sự biến thiên:
2
1
x
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1
và 1;
0.25
là tiệm cận đứng
là tiệm cận ngang
0.25
-Bảng biến thiên
-
+
2
2 y y'
x
-+ 1
-
0.25
-Đồ thị: Học sinh tự vẽ Yêu cầu vẽ đồ thị cân đối, đảm bảo tính đối xứng của 2 nhánh qua giao điểm của hai đường tiệm cận Thể hiện đúng giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
0.25
Ta có
2 ( ) : 2
1
x
; Gọi
( ; 2 ), ( ; 2 ),
với ( b < 1 < c)
Trang 3Gọi H, K lần lượt là h́nh chiếu của B, C lên trục Ox, ta có
và
B
A
C
0,5
Hay
2
1 1
1
b
b c
c c
b
.Vậy B( 1;1), C(3;3)
0,5
§iÒu kiÖn:
0 cos sin
, 0 sin x x x
PT
2
cos 2sin cos cos 2cos
2cos 0 0 cos sin( ) sin 2 0
0.5
+)
,
2 0
cos x x k k
+)
2
4 4
2 4
4 3 4
n x
2
4 3
t
0,25
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta
cã nghiÖm cña pt lµ
k
, , 3
2
0.25
BPT tương đương:
11
35 24
0.25
Trang 4a)Nếu x
4 5
khụng thỏa măn BPT
0.25
b)Nếu x > 4/5: Hàm số
với x > 4/5 y’=
>0 mọi x>4/5 Vậy HSĐB
+Nếu 4/5<x1 th́ y(x) 11 +Nếu x>1 th́ y(x)>11 Vậy nghiệm BPT x>1
0.5
2 4
4
sin cos (tan 2 tan 5)
xdx I
dt
t
Ta cú
2
2 ln 3
I
0.5
Tớnh
1
dt I
Đặt
0 1 4
tan
t
Vậy
2 3
2 ln
3 8
0,5
H́nh Vẽ
Kẻ BD AB// ' (D A B ' ')
0
60 ) ' , ( ) ' ,'
0
60 '
120 ' 0
DBC
0,25
Nếu DBC'600 Vì lăng
trụ đều nên BB'( ' ' '),A B C
áp dụng định lý Pitago và
định lý cosin ta có
1 ' 2
3 '
0
60 '
DBC ta suy ra '
BDC
đều Khi đú
0,5
Trang 52 3
1
2
m
Nếu DBC'1200 áp
dụng định lý cosin cho
'
BDC
suy ra m0 (loại)
Vậy m 2
0,25
1
0 x + 8x + = 4 2(2 x + 1) + 2( x + 1) (3)
2
0,25
Đặt 2
1
x
kiện : -2< t Ê 5 Rỳt m ta
cú: m=
2
2 t 2
t
+
0,25
Lập bảng biờn thiờn được đỏp
số
12 4
5
m
< Ê
hoặc -5
<m < - 4
0,5
thẳng
1,00 Phương tŕnh đường phõn giỏc gúc tạo bởi d1, d2 là:
1
3 13 0 ( )
3 4 0 ( )
x y
0,5
PT đường cần t́m đi qua M(0;1) và song song với
1, 2
nờn ta cú hai đường thẳng thoả măn
x y và
3 x y 1 0
0,5
Ta cú AB 1; 4; 3
Phương tŕnh đường thẳng
AB:
1
5 4
4 3
0,25
Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D là h́nh chiếu vuụng
0,25
Trang 6góc của C trên cạnh AB Gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4-3a)
( ; 4 3;3 3)
V́ AB DC
=>-a-16a+12-9a+9=0<=>
21 26
a
Tọa độ
điểm
5 49 41
; ;
26 26 26
0.5
phức
1,00
Ta thấy z = 0 không là nghiệm của phương tŕnh Chia cả hai vế cho z2 và đặt
t
z
=
, Dẫn tới phương tŕnh : t2+2t-3 =
0 t=1 hoặc t=-3.
0,5
Với t=1 , ta có :
z2+3z+6 = z z2+2z+6 =
0 z = -1 5 i
0,25
Với t=-3 , ta có :
z2+3z+6 = -3z z2+6z+6
= 0 z = -3 3
0,25
Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương tŕnh
.V́ A có hoành độ dương nên
ta được A(2;0), B(-3;-1)
0,5
V́ ABC 900nên AC là đường kính đường tṛn, tức
là điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tṛn Tâm I(-1;2), suy ra C(-4;4).
0,5
Mặt cầu (S) tâm I(2;-1;3) và
có bán kính R = 3 Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P):
, 2.2 2 1 3 16 5
3
0,25
Trang 7Do đó (P) và (S) không có điểm chung.Do vậy, min MN
= d -R = 5 -3 = 2 Trong trường hợp này, M ở vị trí M0
và N ở vị trí N0 Dễ thấy N0
là h́nh chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0
với mặt cầu (S)
0,25
Gọi là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với (P), th́ N0 là giao điểm của và (P) Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
2; 2; 1
P
và qua I nên
có phương tŕnh là
2 2
1 2 3
0,25
Tọa độ của N0 ứng với t nghiệm đúng phương tŕnh:
.Suy ra 0
4 13 14
N
3 5
Suy ra
M0(0;-3;4)
0,25
phức
1,00
z4-z3+
2 2
z
+z+1 = 0
(z4+1)-(z3-z)+
2 2
z
=0
0,5
Chia cả hai vế cho z2, ta được
: (z2+ 2
1
z )
-(z-1
z) +
1
2=0
0, 2
(với
1
z z
w =
-)
0,5
Trang 81 3 ,
2 2 i
w = +
hoặc
2 2 i
w =
+ Phương
tŕnh :
z-1
z=
1
2+
3
2i cho
nghiệm z1=1+i ; z2 =-
1
2
(1-i) + Phương tŕnh :
z-1
z =
1
2 -3
2i cho nghiêm z3
=-1
2(1+i)
; z4= 1-i