Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox.. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Trang 1SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC MÔN TOÁN 12 - KHỐI A -LẦN 3
Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )
PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH (7,0 điểm)
Câu I:(2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x3 – 3x2 + 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
1
m
x
Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình : 2 2 os 5 sin 1
12
2) Giải hệ phương trình: 2 8
Câu III: (1,0 điểm ) Tính tích phân:
3
2 0
4 ln 4
x
Câu IV:( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng 0
60 Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a Câu V :(1,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S2 x2 1 3 y216 z236
PHẦN B : THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM MỘT TRONG HAI PHẦN ( PHẦN 1HOẶC PHẦN 2)
PHẦN 1 ( Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn )
Câu VI.a 1.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của
cạnh BC,phương trình đường thẳng DM:x y 2 0 và C 3; 3 .Biết đỉnh A thuộc đường thẳng
d : 3x y 2 0,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D
2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng P : x y z 1 0và hai điểm A 1; 3; 0 , B 5; 1; 2 Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất
Câu VII.a (1,0 điểm): Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :
PHẦN 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )
Câu VI.b 1 (1.0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1:x y30 và
0 6 :
2 x y
d Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật
2 (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
d1 :
, d2:
2 2 3
y
z t
Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2
CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tính tổng: S 12C20111 22C20112 32C20113 2010 2C2011201020112C20112011
……….…….Hết
Trang 2Trường thpt Chuyờn Vĩnh Phỳc kỳ thi khẢo SÁT đại học năm 2011
Mụn Toỏn 12 -Khối A-Lần thứ 3
Cõ u í Nội dung Điểm I 2,00 1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 2 yx x . 1,00 T ập xỏc định: Hàm số cú tập xỏc định D . Sự biến thiờn: 2 3 6 y' x x. Ta cú 0 0 2 x y' x , y 0x 0 x2h/s đồng biến trờn cỏc khoảng ; 0 & 2; , y 00x2 h/s nghịch biến trờn khoảng 0; 2 0,25 0 2 2 2 CD CT y y ; y y . Giới hạn 3 3 x x 3 2 lim y lim x 1 x x 0,25 Bảng biến thiờn: x 0 2
y' 0 0
y
2
2
0,25
Đồ thị:
0,25
Trang 3-5
5
x y
2
Biện luận số nghiệm của phương trình 2 m
x 1
theo tham số m
1,00
1
m
phương trình bằng số giao điểm của 2
y x x x , C' và đường thẳng 1
0,25
1
nờn C ' bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x 1.
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x 1 qua Ox
Đồ thị hàm số y = 2
(x 2x 2) x 1 , với x 1 có dạng như hình vẽ sau
0,25
Trang 4hình
f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2)
-5
5
x y
0,25
Đồ thị đường thẳng y=m song song với trục ox
Dựa vào đồ thị ta có:
+ m 2: Phương trình vô nghiệm;
+ m 2: Phương trình có 2 nghiệm kép
+ 2 m 0: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+ m 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
0,25
1
Giải phương trình: 2 2 os 5 sin 1
12
1, 0
5
12
0.25
2 cos sin sin
5
0,50
2
Giải hệ phương trình: 2 8
Trang 5Điều kiện: x+y>0, x-y0
Đặt: u x y
0,25đ
2
3 (2) 2
uv
Thế (1) vào (2) ta có:
2
Kết hợp (1) ta có: 0 4, 0
4
uv
(vì u>v) Từ đó ta có: x =2; y
=2.(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2)
0,25đ
III
Tính tích phân:
3
2 0
4 ln 4
x
1, 0
Đặt
2
4 2
4 3
16x
4 x
x 16 v
dv x dx
4
0,50
2 4
2
0 0
Gọi H là trung điểm của AB SH AB SH ABC
Kẻ AK SC SC AKB SC KB
SAC ; SBC KA; KB 60
AKB600 AKB 120 0
AKB 60
thì dễ thấy KABđều KA KB AB AC (vô lí) Vậy AKB 120 0
AKH 60
0
KH
tan 60 2 3
Trong SHC vuông tại H,đường cao
KH có 12 12 12
KH HC HS thay KH a
2 3
0,25
0,25
0,25
Trang 6và HC a 3
2
vào ta được SH a 6
8
0,25
V Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: S2 x2 1 3 y216 z236
1, 0
Ta có: S 2x 222 3y 2122 z262 Trong hệ toạ độ OXY xét 3 véc
tơ
a 2x; 2 , b 3y; 4 , c z;6
,a b c 2x3yz;2 12 6 40;20
a 2x 2 , b 3y 12 , c z 6
, a b c 20 5
Sử dụng bất đẳng thức về độ dài véc tơ :
S= a b c a b c
S 20 5
Đẳng thức xẩy ra khi các véc tơ a, b,c cùng hướng
xét hệ điều kiện :2x 3y z 2x 3y z 2x 3y z 40 2
x 2, y 8, z 12
Với : x2, y8, z12 thì S20 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 20 5 đạt được khi :
x2, y8, z12
0,25
0,25
0,25
0,25
1 Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M….Tìm toạ độ A,B,D 1,00 Gọi At; 3t 2.Ta có khoảng cách:
hay A 3; 7 A1;5.Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM
nên chỉ có A1;5thoả mãn
Gọi Dm; m2DMthì AD m 1; m 7 ,CD m 3;m 1
Do ABCD là hình vuông
Hay D5;3 ABDC 2; 6B 3; 1
Kết luận A1;5,B 3; 1, D5;3
0,25
0,25
0,25
0,25
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng P : x y z 1 0…… 1,00
Trang 7Đặt vt của (P) là:f x; y; z xy z 1 ta có f x ; y ; z A A A f x ; y ; zB B B0
A,B nằm về hai phía so với (P).Gọi B đối xứng với B qua (P) '
'
B 1; 3;4
MAMB MAMB AB Đẳng thức xẩy ra khi M, A, B thẳng hàng '
M P AB.Mặt khác phương trình '
x 1 t
AB : y 3
z 2t
toạ độ M là
M 2; 3;6
0,25
0,25 0,25
0,25
VII
A Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :
1,00
Xét khai triển:
0 0
n 1
0,25
0,25
0,25 0,25
1 ….cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12… 1,00
Ta có: d1d2 I Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
2 / 3 y
2 / 9 x 0 6 y x
0 3 y x
Vậy
2
3
; 2
9 I
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD Md1 Ox
Suy ra M( 3; 0)
0,25đ
2
3 2
9 3 2 IM 2 AB
2 2
2 3
12 AB
S AD 12
AD AB
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 d1 AD
0,25đ
Trang 8Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận n ( 1 ; 1 ) làm VTPT nên có
PT: 1(x3)1(y0)0xy30 Lại có: MAMD 2
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
2 y
3 x
0 3 y x
2
1 3 x
x 3 y 2 ) x 3 ( 3 x
3 x y 2 y 3 x
3 x y
2 2
2 2
1 y
2 x hoặc
1 y
4 x Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
0,25đ
2
3
; 2
9
I là trung điểm của AC suy ra:
2 1 3 y y 2 y
7 2 9 x x 2 x
A I C
A I C
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
0,25đ
2 .phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 1,00 Các véc tơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là u1
( 1; - 1; 2)
và u2
( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0) d1; N( 2; 3; 0) d2
Xét u u 1; 2.MN
Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t) d1 B(2 – 2t’; 3; t’) d2
1 2
AB u
AB u
1 3 ' 0
t t
A 5 4; ; 2
3 3 3
; B (2; 3; 0) Đường thẳng qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d1 và d2
Ta có :
2
3 5 2
0,25đ
0,25đ
PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có
dạng:
0,25đ
VII B
2011 2011 2011 2011 2011
1 x C C xC x C x C x (1)
Lấy đạo hàm hai vế 1 ta được:
2011 1 x C 2xC 3x C 2011x C
nhân hai vế với x ta được:
2011x 1 x xC 2x C 3x C 2011x C (2)
Lấy đạo hàm hai vế 2 ta được
0,25
0,25
Trang 9
(3)
Thay x=1 vào hai vế của (3) ta được:
2011 2011 2011 2011
2011 2 2010.2 1 C 2 C 3 C 2011 C
Vậy S=2011.2012.22009
0,25
0,25
