Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC.. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mpP và cắt cả 2 đường thẳng d1 , d2 2.. tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ∆ ABC... T
Trang 1ĐỀ 2 : PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu 1:
Cho hàm số y = 2 3
2
x
x−− có đồ thị là (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên
2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất
Câu 2:
1) Giải phương trình: 2 2 sin( ).cos 1
12
x−π x=
2) Giải hệ phương trình:
8 27 18 (1)
x y x y
+ =
+ =
Câu 3:
1) Tính tích phân I =2 2
6
1 sin sin
2
π
2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1)
Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
c + + a + + b + ≥
Câu 5:
Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh
a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
PHẦN RIÊNG
1 Theo chương trình chuẩn:
Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến (∆ ) bằng 2 lần khoảng cách từ B đến (∆) Tìm A, C biết C thuộc trục tung
Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng :
(d1) 1 3 2
1 1y z2
x+ = − = + ; (d2)
1 2
1
= +
= + ∈
= +
¡ Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm
trong mp(P) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) , (d2)
2 Theo chương trình nâng cao:
Câu 6b: Cho ∆ ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0 tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ∆ ABC
Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:
(P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0 Tìm tất cả các giá trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN= 8
Đáp án đề số 1 - 2009
Phần chung: Câu 1: Cho hàm số y = 2 3
2
x
x−− có đồ thị là (C)
Trang 21) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, b sao cho AB ngắn nhất
Giải: 1)
2) Gọi M(xo; 0
0
2 3 2
x x
−
− )∈ (C) Phương trình tiếp tuyến tại M: (∆) y =
2
x
− +
− +
(∆ ) ∩ TCĐ = A (2; 0
0
2 2 2
x x
−
− ); (∆ ) ∩ TCN = B (2x0 –2; 2)
0 0
2 (2 4; )
2
x−
= −
−
uuur
0
4
( 2)
cauchy
x
x
− +
− ≥
⇒ AB min = 2 2⇔ 0 13 (1;1)(3;3)
o
= →
= →
Câu 2: 1) Giải phương trình: 2 2 sin( ).cos 1
12
x− π x=
Giải: phương trình ⇔ 2(cosx–sinx)(sinx– 3cosx)=0 ⇔ 3 ( )
4
k
π π
π π
= +
= +
¢
2) Giải hệ phương trình:
8 27 18 (1)
x y x y
+ =
+ =
Giải: (1) ⇒ y ≠ 0
Hệ ⇔
3
3 2 2
+ = + ÷ =
⇔
+ = + ÷=
Đặt a = 2x; b = 3
y Ta có hệ:
1 ( ) 3
a b
a b
ab
ab a b
+ = + =
+ = =
→ Hệ đã cho có 2 nghiệm 3 5; 6 , 3 5; 6
Câu 3: 1) Tính tích phân I =2 2
6
1 sin sin
2
π
6
3
2
π
π
−∫ − x d × x §Æt cos 3 cos
2
x = × u⇒ I = ⋅∫2
4
2
sin 2 3
π
π
udu= 3 ( )
2
2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1)
Giải: Đk x ≥ 0 đặt t = x; t ≥ 0
Trang 3(1)trở thành (m–3)t+(2-m)t2 +3-m = 0 ⇔ 2 22 3 3
1
t t m
t t− +
=
− + (2)
Xét hàm số f(t) = 2 22 3 3
1
t t
t t− +− + (t ≥ 0)
Lập bảng biến thiên (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ≥ 0 ⇔ 53≤ ≤m 3
Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1
c + + a + + b + ≥
Giải:
8c + =1 (2 1)(4c+ c − +2 1)c cauchy≤ 2c +1⇒ 8c a3+1≥ 2c2a+1
Ta sẽ chứng minh: 2 2 2 1 (1)
2c a+1 2+ a b+1 2+ b c+1≥ Bđt(1) ⇔ 4(a3b2+b3a2+c3a2) +2(a3+b3+c3 )+2(ab2+bc2+ca2)+( a+b+c) ≥
≥ 8a2b2c2 +4(a2b2 +b2c2 +c2a2) +2 (a2 +b2 +c2 )+1 (2)
Ta có: 2a3b2 +2ab2≥ 4a2b2; … (3)
2(a3b2+b3a2+c3a2) ≥ 2.3.3 a b c5 5 5 =6 (do abc =1)(4)
a3+b3+c3≥ 3abc =3 = 1 +2 a2b2c2 (5)
a3 +a ≥ 2a2; … (6) Công các vế của (3), (4), (5), (6), ta được (2) Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Câu 5: Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh
a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM Suy ra:
SM =AM =a23; ·AMS= 60 0 và SO ⊥ mp(ABC)
⇒ d(S; BAC) = SO =34a;⇒ V(S.ABC) =1 ( ). 3 3
3dt ABC SO=a16
Mặt khác, V(S.ABC) =1 ( ) ( ; )
3dt SAC d B SAC ∆SAC cân tại C có CS =CA =a; SA =a23
⇒ dt(SAC) = a2 1613 3 Vậy d(B; SAC) = dt SAC(3V )= 313a
Phần riêng:
1 Theo chương trình chuẩn:
Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến (∆ ) bằng 2 lần khoảng cách từ B đến (∆) Tìm A, C biết C thuộc trục tung
Giải: Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của B, C lên (∆)
M là đối xứng của B qua ∆⇒ M ∈ AC và M là trung điểm của AC
(BH): x –2y + 3 =0 → H( )1;7
5 5
− → M ( )7 4;
5 5
−
BH = 3 5
5 ⇒CI = 6 5
5 ; C∈ Oy ⇒ C(0; y0) ⇒ 0 75
o
y y
=
= −
C(0; 7) ⇒ A ( 14 ; 27)
5 −5
− ∉(∆)→loại,C(0; –5) ⇒ A( 14 ;33)
5 5
− ∈(∆)→ nhận
Trang 4Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng :(d1)
1
1 1y z2
x+ = − = + ; (d2)
1 2
1
= +
= + ∈
= +
¡ Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong mp(P) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) , (d2)
Giải: (P) ∩ (d1) = A(1;1;2); (P) ∩ (d2) = B(3;3;2)→ (∆)
1 2
1 2 ( ) 2
z
= −
= − ∈
=
¡
Theo chương trình nâng cao:
Câu 6b: Cho ∆ ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0 tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ∆ ABC
Giải: C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) = 5 2
2
ABC
AB∆
− − =
2(2)
a b
a b
a b
− =
− − = ⇔ − = Trọng tâm G ( 5; 5)
a+ b− ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3) (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = 3
2 65 89
S
p = + + ,(2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ r= =S p 2 2 5+3
Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: (P): 2x– 2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0 Tìm tất cả các giá trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN= 8
Giải: (S) tâm I(-2;3;0), bán kính R= 13− =m IM m( <13).Gọi H là trung điểm của MN ⇒
MH= 4 ⇒ IH = d(I; d) = − −m 3,(d) qua A(0;1;-1), VTCP ur=(2;1;2)⇒ d(I; d) = ;
3
u AI u
r uurr = Vậy 3
m
− − =3 ⇔ m = –12( thỏa đk)
