Viết phương trình mặt phẳng ABC và tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.. Theo chương trình nâng cao Câu 7b 1 điểm.[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
Đề chính thức ĐỀ KHẢO SÁT MÔN TOÁN KHỐI A, A1 LẦN 2 Năm học:2013 -2014
Thời gian: 150 phút
I – Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu 1(2 điểm) Cho hàm số y=x4−2x2−3
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm m để đường thẳng d y: =m cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt M,N,P,Q (sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông
π
Câu 3 (1 diểm) Giải hệ phương trình
17
1
x y xy
+
Câu 4 (1 điểm) Tính nguyên hàm: ( ) 2
2 x 1 x
Câu 5 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với
đáy Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300 Gọi E là trung điểm của BC Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a
Câu 6 (1 điểm) Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn a b c+ + =1 Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 3
a b c
a b c
b + c + a ≥ + +
II – Phần tự chọn (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn
Câu 7a (1 điểm) ) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh
BC,phương trình đường thẳng DM: x− − =y 2 0 và C 3; 3( − ).Biết đỉnh A thuộc đường thẳng
d : 3x+ − =y 2 0,xác định toạđộ các đỉnh A, B, D
Câu 8a (1điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1) ,
−
B(2; 1;2) , C(0;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
Câu 9a(1 điểm) Tìm hệ số của x trong khai tri3 ển
2 1 3
n nx
x
+
, x>0, biết n là số nguyên dương
thỏa mãn 42 143 1
3
B Theo chương trình nâng cao Câu 7b (1 điểm) Trong mặt phẳng (Oxy) Cho đường tròn (C): x2+y2 =4 và đường thẳng d:
x+y+4=0 Tìm điểm A thuộc d sao cho từ A kẻđược hai tiếp tuyến AM, AN (M, N là các tiếp
điểm) sao cho diện tích tam giác AMN bằng 3 3
Câu 8b (1điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0; 1;2)− ,
C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng P( ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ
B đến P( ) bằng khoảng cách từ C đến P( )
Câu 9b(1 điểm) Giải phương trình log x+3(4x2+4x+ +1) log2x+1(2x2+7x+ =3) 5
-Hết -
Họ và tên thí sinh……….Số báo danh:………
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN KHỐI A-A1 LẦN 2
NĂM HỌC 2013-2014
Câu 1
(2 điểm)
1.(1 điểm)
+Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên 0,25
2.(1 điểm)
+ Từ đồ thị hàm số ta thấy, để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt
+ Phương trình hoành độ giao điểm: x4−2x2− − =3 m 0 (1)
Đặt 2( )
0
t=x t≥ ta được: t2− − − =2t 3 m 0 (2)
Với điều kiện (*) thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt t t1, 2 (t1<t2) Theo Vi-et ta có 1 2
1 2
2 3
t t
t t m
+ =
= − −
0.25
+ Từđó có được: M(− t2; 0), N(− t1; 0), P( )t1; 0 , Q( t2; 0)và
2 1
MN = t − t ; NP=2 t1; PQ= t2 − t1 0.25
Vì MN =PQnên NPlà độ dài cạnh huyền Do đó : 2 2 2
NP =MN +PQ
Thay số, tính được 7
2
Câu 2
(1 điểm)
( )
π
1 1 cos 4 3 cos 4 3 4sin
π
⇔ − − + = −
3 cos 4x sin 4x 2 1 2 sin x
cos 4 sin 4 cos 2 cos 4 cos 2
π
36 3 6
k
π π
+ = − + = − +
Câu 3
(1 điểm) + Điều kiện xy≠0,x+ ≠y 0
+
0.25
;
= − = − , ta được
3
u v
+ =
+ Giải hệ trên được 3
2
+ Tìm được 4 nghiệm ( ) 1 1 1 1
Câu 4
(1 điểm) +I =∫ 2e x+1.e dx2x +∫x e dx 2x = +I1 I2 0.25
Trang 3+I1=∫ 2e x+1.e dx2x Áp dụng đổi biến số tính được
+ I2 =∫x e dx 2x Áp dụng nguyên hàm từng phần, tính được
2 1 2 1 2 2
+ I = 1 ( )5 1 ( )3
Câu 5
(1 điểm)
I
A
D
B
S
K T
Vì CB AB CB (SAB)
⊥
⊥
SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB)
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
3 2
.
S ABCD ABCD
a
+ Từ C dựng CI // DE
2
a
⇒ = = và DE/ /(SCI)
( , ) ( ,( ) )
Từ A kẻ AK ⊥CI cắt ED tại H, cắt CI tại K
Ta có: SA CI CI (SAK) (SCI) (SAK)
⊥
⊥
Trong mặt phẳng (SAK) kẻ HT ⊥ AK⇒HT ⊥(SCI)
( , ) ( ,( ) )
0.25
+ Ta có:
2 2
3
2
ACI
a
+
Lại c ó:
2 2
2
sin
19 9
2
5
a a
a
+
Vậy ( ) 38
,
19
0.25
Câu 6
Trang 4(1 điểm)
9b 6 a 3a 2 3b
b+ ≥ ⇒ b ≥ −
a b c
a b c a b b c c a
b c a
0.5
3 2 a + +b c −3 a b b c+ +c a ≥3 a + +b c
2 2 2 ( 2 2 2 )
3
( ) ( 2 2 2) ( 2 2 2 )
3
( )2 ( )2 ( )2
0
⇔ − + − + − ≥ luôn đúng
Tứđó suy ra đpcm
0.5
PHẦN DÀNH CHO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu 7a
(1điểm) + Gọi A( t; 3t − + 2 ).Ta có khoảng cách:
( ) ( ) 4 4 2.4
t
hay A 3; 7 ( − ∨ ) A ( − 1;5 )
0 25
+ Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM nên A( − 1;5 ) 0.25 + Gọi D( m m ; − 2 ) ∈ DMthì AD=(m+1;m−7 ,) CD=(m−3;m+1)
Do ABCD là hình vuông
DA DC
= ∨ = −
+ + − = − + +
=
5
m
⇔ = hay D( ) 5;3
0.25
+ AB = DC = − − ( 2; 6 ) ⇒ B ( − − 3; 1 ).Kết luận A( − 1;5 ),B ( − − 3; 1 ), D( ) 5;3 0.25
Câu 8a
(1điểm)
+Chỉ ra AB AC, = − − − ( 1; 1; 1)
0.25 + Lập luận, viết được phương trình mặt phẳng (ABC): x+ + − = y z 3 0 0.25 +Giả sử H x y z( ; ; ) , theo giả thiết có
( )
∈
0.25
+ Thay tọa độ tính được H(5; 2; 4− ) 0.25
Câu 9a
(1điểm)
+ Giải phương trình 42 143 1
3
+ Số hạng tổng quát trong khai triển ( )18 18 3
18 2
1
k
x
−
=
0.25
+ Số hạng chứa x 3 ứng với k=10, hệ số cần tìm là C1810.38 0.25
PHẦN DÀNH CHO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu 7b
(1 điểm) + Vì A∈d⇒ A t( ; 4− −t) Đặt MAN =2 ,α OA=x 0.25
+ Ta có
2
0.25
Trang 5( 2 ) 2
2
AMN
S
x
+ Từ OA=4, tìm được A(-4;0) hoặc A(0-4) 0.25
Câu 8b
(1 điểm) Vì O ∈ (P) nên P( ) :ax by cz+ + =0, với a2+b2+c2 ≠0
Vì A ∈ (P) ⇒ a+2b+3c=0 (1)
0.25
d B P( ,( ))=d C P( ,( ))⇔ − +b 2c = + +a b c (2) 0.25
Từ (1) và (2) ⇒ b=0 hoặc c=0 0.25
• Với b=0thì a= −3c ⇒ P( ) : 3x z− =0
• Với c=0 thì a= −2b ⇒ P( ) : 2x− =y 0
Kết luận
0.25
Câu 9b
(1 điểm)
Giải phương trình log x+3(4x2+4x+ +1) log2x+1(2x2+7x+ =3) 5
2
> − ≠
Phương trình đã cho tương đương với 4 logx 3(2x 1) log2x 1(x 3) 4
+ + + + + = (2)
0.25
Đặt t log2x 1(x 3)
+
= + , t ≠ 0 Phương trình (2) trở thành: t2 −4t+ =4 0⇔ 2
t =
0.25
⇒
2 1 logx (x 3) 2
3 (2 1)
x + = x +
⇔ 2
4x +3x − =2 0⇔ 3 41
8
=
0.25
So với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình (1) là 3 41
8
=
0.25