Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Giải phương trình cos.. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1.. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm: Thí sinh
Trang 1ĐỀ 3:
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2 1
x
x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
2 Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx – m + 2 cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A,B và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình cos cos2 1 2 1 sin .
x
2 Giải phương trình 7 x2 x x 5 3 2 x x 2 (x )
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
3
0
3
x
dx
Câu IV (1,0 điểm) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M, N là các điểm lần lượt
di động trên các cạnh AB, AC sao cho DMN ABC Đặt AM = x, AN = y Tính thể tích
tứ diện DAMN theo x và y Chứng minh rằng: x y 3 xy
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z 0thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 16
P
x y z
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).
A Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đường thẳng
x y z
, d2: 2 2
x y z
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n , biết rằng n N thỏa mãn phương trình
log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3
B Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG
2 Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d: 3 2 1
x y z
và mặt phẳng (P): x + y +
z + 2 = 0 Gọi M là giao điểm của d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng 42
Trang 2Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 14 4
2 2
1
( , ) 25
y x
x y
Hết
-SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN (ĐỀ 3)
Đáp án gồm 05 trang
2
2 1 sin
x
Khi đó PT 1 sin 2x cosx 1 2 1 sin x sinx cosx
1 sin x 1 cos x sinx sin cosx x 0
1 sin x 1 cos x 1 sin x 0
0.25
x x
2 2 2
k m , Z
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 2
2
x k và x m2 k m , Z
0.25
2 Giải phương trình: 7 x2 x x 5 3 2 x x 2 (x ) 1.0
2
x x PT
2
3 2 0
x x
0
2
x x
x x
x
x
x 1
Trang 3III Tính tích phân
3
0
3
x
dx
Đặt u = x 1 u2 1 x 2udu dx ; đổi cận:x x 03 u u12
Ta có:
2
1
2
1
3
3 6ln
2
Dựng DH MN H
Do DMN ABC DH ABC mà D ABC. là
tứ diện đều nên H là tâm tam giác đều ABC
0.25
Trong tam giác vuông DHA:
2
1
DH DA AH
.sin 60
AMN
0.25
Thể tích tứ diện D AMN. là 1 . 2
x y 3 xy
0.25
3
4
x y
x y (biến đổi tương đương)
0.25
(với t = z
a, 0 t 1)
0.25
D
A
B C
H
M N
Trang 4Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t0;1 Có
9
Lập bảng biến thiên
0.25
0;1
64 inf
81
t
M t
81 đạt được khi x = y = 4z > 0 0.25
Do B là giao của AB và BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ:
21
;
5
x
x y
B
x y
y
0.25
Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa AC và AB bằng góc
giữa AB và BD, kí hiệu n AB(1; 2); n BD(1; 7); n AC( ; )a b
(với a 2 + b 2 > 0) lần
lượt là VTPT của các đường thẳng AB, BD, AC Khi đó ta có:
os AB, BD os AC, AB
c n n c n n
3
2
7
a b
a
0.25
- Với a = - b Chọn a = 1 b = - 1 Khi đó Phương trình AC: x – y – 1 = 0,
A = AB AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
(3;2)
A
Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC BD nên toạ độ I là nghiệm của hệ:
7
;
2
x
x y
I
x y
y
Do I là trung điểm của AC và BD nên toạ độ 4;3 ; 14 12;
5 5
C D
0.25
Phương trình tham số của d 1 và d 2 là: 1 2
0.25
Giả sử d cắt d1 tại M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và cắt d2 tại N(2 + m ; - 2 +
5m ; - 2m)
MN
(3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t)
0.25
Trang 5Do d (P) có VTPT n P(2; 1; 5)
nênk MN: kn p
m t k
m t k
m t k
có
nghiệm
0.25
Giải hệ tìm được 1
1
m t
Khi đó điểm M(1; 4; 3) Phương trình d:
1 2 4
3 5
thoả mãn bài toán 0.25
VII.a Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n , biết rằng n N thỏa mãn phương trình
log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3
1.0
Điều kiện:
3
n N n
Phương trình log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3 log 4 (n – 3)(n + 9) = 3 0.25
(n – 3)(n + 9) = 4 3 n 2 + 6n – 91 = 0 7
13
n n
Vậy n = 7 0.25 Khi đó z = (1 + i) n = (1 + i) 7 = 1i 1 i23 1 i.(2 )i 3 (1 ).( 8 ) 8 8i i i
Giả sử B x y( ;B B) d1 x B y B 5; ( ;C x y C C) d2 x C 2y C 7
Vì G là trọng tâm nên ta có hệ: 2 6
3 0
x x
y y
0.25
Từ các phương trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1) 0.25
Ta có BG(3;4) VTPT n BG(4; 3)
nên phương trình BG: 4x – 3y – 8 = 0
0.25
Bán kính R = d(C; BG) = 9
5 phương trình đường tròn: (x – 5)2 +(y – 1)2 =
81
25
0.25
Ta có phương trình tham số của d là:
3 2
2 1
toạ độ điểm M là nghiệm của hệ
3 2 2 1
2 0
x y z
(tham số t)
(1; 3;0)
M
0.25
(thoả mãn) (không thoả mãn)
Trang 6Lại có VTPT của(P) là n P(1;1;1)
, VTCP của d là u d(2;1; 1)
Vì nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u u n d, P (2; 3;1)
Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó
MN x y z
Ta có MN vuông góc với u
nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = 0
Lại có N(P) và MN = 42 ta có hệ:
2 0
x y z
x y z
0.25
Giải hệ ta tìm được hai điểm N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5) 0.25 Nếu N(5; -2; -5) ta có pt : 5 2 5
x y z
Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt : 3 4 5
x y z
0.25
VII.b
Giải hệ phương trình 1 4
4
2 2
1
25
y x
x y
1.0
Điều kiện: 0
0
y x y
4
y x
0.25
2
3
25
10
x y
y
x y
x y
(ko thỏa mãn đk)Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 0.25
Trần Khánh Long
