Chuyen de bat dang thuc

Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1... Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1..[r]

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1 Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0    

2 Chứng minh: (a b c)(a  2b2c ) 9abc ; a,b,c 02  

a 5 4

a 1

a b abc b c abc c a abc

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd    4 với a , b , c , d  0 (Côsi 4 số)

b a b c 3 abc   3 với a , b , c  0 , (Côsi 3 số )

x , x > 0.

31 Tìm GTNN của  

2 3

2f(x) x

x 2 Định x để y đạt GTLN

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

2 Chứng minh: sinx cosx  2

I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:

2 Chứng minh: (a b c)(a  2b2c ) 9abc ; a,b,c 02  

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

 (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) 

1 4 abc1

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd    4 với a , b , c , d  0 (Côsi 4 số)

 a b 2 ab , c d 2 cd   

 a b cd 2 ab     cd 2 2 ab cd 4 abcd4

b a b c 3 abc   3 với a , b , c  0 , (Côsi 3 số )

2 thì y đạt GTNN bằng



30 13

28 Cho   

x 5y

x  x = 2 (x > 0).

 Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2

31 Tìm GTNN của  

2 3

2f(x) x

 Vậy: Khi 

11x

8

 Dấu “ = “ xảy ra  2x + 6 = 5 – 2x  

1x4

 Vậy: Khi 

1x

 Dấu “ = “ xảy ra  2x + 5 = 10 – 2x  

5x4

 Vậy: Khi 

5x

4 thì y đạt GTLN bằng

6258

xy

3 2

2 Chứng minh: sinx cosx  2

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

 sinx cosx 1 sinx 1 cosx  1 1 sin x cos x2 2 2  2   2

3 Cho 3a – 4b = 7 Chứng minh: 3a2 + 4b2  7

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b:

 3a 4b   3 3a  4 4b  3 4 3a   2  4b 2  3a2 + 4b2  7

PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3  x + y +z

Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

log a log b log c 1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi  > 1 ta luôn có: x +  – 1

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức: P = 2  2  2  2  2  2

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z

Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC

có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:

2R (a, b, c là các cạnh của ABC, R

là bán kính đường tròn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy ra khi nào?

49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2)

Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1 CMR:

z3 + 1 + 1  33 3z  z3 + 2  3z (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

Đặt: t = 3xyz

, điều kiện: 0 < t 

13

Xét hàm số f(t) = 3t +

3

t với 0 < t 

13

3Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A  10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =1

x + 

1 2

9x 3, y + 

1 29y 3, z + 

1 29z 3

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =

1 4y4y5

x y4x,y 0

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10).

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z  33xyz  xyz  33xyz  (xyz)2  27  xyz  3 3Dấu "=" xảy ra  x = y = z = 3

Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt

Từ (2)  P = 1 – cS, thay vào (1) ta được:

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có:

x3 + y2 ≥ 2 x y3 2 2xy x  3 2  

xy2xy x

Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c.

Ta được:

VT= logb c a log c a b log a b c log a b a log a b b log a b c log a b abc

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

c 1 3 c.

a 2 2 aMặt khác, theo BĐT Côsi ta có:

 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13Đẳng thức xảy ra  3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c  a = b = c = 1

 (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0

 (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0  (a + b)(a – b)2 ≥ 0

BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng

b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

y z z x x yTheo BĐT Bunhiacopxki ta có:

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Giả sử a ≥ b ≥ 0  ac(a – b) ≥ bc(a – b)  ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:

n = 



n k

n k

k 0

1C

< 1 + 1 +  

1 12! n! < 1 + 1 + 1  n 11

Vậy maxA = 6 khi a = b = 21

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

b 1 2b

c

2 2

c 1 2c

aa

Do đó nếu ta chứng minh được:

y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4)Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3

0 x

4  x = 1Lập bảng xét dấu f(x), suy ra minS = 5

Chuyển về biểu thức f(b) =

 

2

b b 5050b (2 ≤ b ≤ 48, b  N)

Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyểnsang tăng khi b biến thiên từ 8 đến 48 Suy ra minf(b) = min[f(7);f(8)]

 3(1 – cosx) – sin4x ≥ 0  3(1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0

 (1 – cosx). 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2  ≥ 0 (3)Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) =

1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 +cosx) ≤

 Tìm min: Ta có y = sin5x + 3cosx ≥ – sin4x + 3cosx.

Tương tự như trên, ta được miny = – 3, đạt được khi x =  + k2.

2 2) (3)Biến đổi vế trái của (2) như sau:

3 3

3x 3x 3x 3 x

1 +

9

y = 1 +   

3 4 3

4

 a = b = c =

14

48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

x y

Do đó ta có bảng biến thiên như trên

 Với y ≥ 2  f(y) ≥ 2 

2

1 y ≥ 2 5 > 2 + 3.Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y.

Khi x = 0 và y =

1

3 thì A = 2 + 3

Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3.