Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic mean và GM là viết tắt của geometric mean) Ở nước [r]
Phương pháp dùng định nghĩa
A)Kiến thức cần nhớ: Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B và chứng minh rằng A – B là số dương
Ví dụ 1.2.1 Chứng minh rằng x 1 x 2 x 3 x 4 1
x 1 x 2 x 3 x 4 1 x 2 5 x 4 x 2 5 x 6 1 Đặt x 2 5x 5 y, biểu thức trên bằng y 1 y 1 1 y 2 0
Phương pháp quy nạp
Nội dung của phương pháp quy nạp: Một bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đúng nếu thỏa mãn hai điều kiện:
-Bất đẳng thức đúng với giá trị đầu tiên của n.
-Từ giả thiết bất đẳng thức đúng với n = k k suy ra được bất đẳng thức đúng với n = k + 1. Các bước chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp:
Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức với giá trị đầu tiên của n.
Bước 2:Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (gọi là giả thiết quy nạp), sau đó chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Bước 3: Kết luận bất đẳng thức đã cho đúng.
Ví dụ 1.3.1.Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 5ta có: 2 n n 2
Với n = 5, bất đẳng thức trở thành 2 5 5 2 32 25 (Đúng)
Bất đẳng thức đúng với n = 5
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k k , k 5 , tức là 2 k k 2
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, hay
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có: 2 k 1 2.2 k 2 k 2 1 Vì k 5 nên
Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nên theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.3.2.Cho x1 là một số thực cho trước Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có
Với n = 1, bất đẳng thức trở thành: 1 + x 1 + x (Đúng)
Bất đẳng thức đúng với n = 1.
Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k k , k 1 , tức là
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, hay
Thật vậy, vì x 1 x 1 0 nên theo giả thiết quy nạp, ta có:
Hay bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nên theo nguyên lý quy nạp suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.3.3.Chứng minh với mọi số thực a, b thỏa mãn a + b 0 ta có:
Với n = 1 bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k (k ,k1), tức là
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, hay
thật vậy, vì a + b 0 nên theo giả thiết quy nạp ta có:
Bất đẳng thức đúng với n = k + 1 nếu ta chứng minh được
Vì vai trò của a, b như nhau nên ta có thể giả sử a b Khi đó a - b 0(1)
Mặt khác, từ a + b 0 a b , ta có:
Từ (1) và (2) ta có (**) đúng
Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
1.3.1.Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: a)2 n 1 n 2 3 , n n 4 b)3 n n 2 4 n 5, n 3
1.3.2.Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: a) 1 1 1 2 , 3
1.3.3 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: a)1 3 3 3 5 3 2 n 1 3 2 n 1 3 2 n 1 b)
1.3.4 Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất đẳng thức
1.3.5 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2ta có n n n 1 n
1.3.6.Chứng minh rằng với mọi n 1, n , ta có:
1.3.7 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n *
1.3.8 Chứng minh với mọi n *, ta có:
1.3.9 Cho n số nguyên phân biệt a a 1 , , , 2 a n Chứng minh
(Đề chọn đội tuyển dự thi Toán quốc tế, Rumani năm 1999)
Phương pháp làm trội, dùng tổng sai phân
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức : A < B. Ý tưởng của phương pháp là làm trội A < C rồi chứng minh C < B Đôi khi để chứng minh một bất đẳng thức dạng f x 1 f x 2 f x n M
Ta có thể làm trội f x i G y i 1 G y i để thu được f x 1 f x 2 f x n G y n G y 1
Sau đó ta chỉ còn phải chứng minh một bất đẳng thức đơn giản hơn là
-Với ba số dương a, b, x thì:
-Một số tổng sai phân thường dung: a)
Các đẳng thức được chứng minh nên chú ý rằng: a)
Ví dụ 1.4.1.Cho các số dương a, b, c, d, e Chứng minh rằng: a)1 a b c 2 a b b c c a
Cộng các vế bất đẳng thức ta có:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. b) Ta có;a, b, c > 0 nên a 1, a b c
Cộng các vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh. c) Tương tự từ a, b, c, d > 0 và a 1 a b c d
Làm tương tự rồi cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.4.2.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
Vì n là số nguyên dương nên: 2 2 2 2 2
(1)Mặt khác, với mọi k1 ta có
Cộng vế theo vế, ta được
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 1.4.3.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
Lời giải: Để giải bài toán này ta cần có bổ đề sau:
Bổ đề: Với mọi số thực dương x, y ta có: x y y x x x y y
Chúng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.
Bổ đề được chứng minh Áp dụng bổ đề ta có:
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 1.4.4.Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n *
Bổ đề Với mọi x, y > 0, ta có x 2 y 2 x 2 y 2 2 xy x y
Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:
2 2 x y x y xy x y x y xy x y xy x y x y x y x y x y x y xy x y x y x y x y xy x y x y x y
Do x, y > 0 nên bất đẳng thức cuối cùng đúng, bổ đề được chứng minh Áp dụng bổ đề với
Cho k = 1, 2, …, n rồi cộng vế theo vế ta được:
Đó là điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.4.5 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n2 ta có:
(Ở đây kí hiệu n! được hiểu là “Giai thừa của số tự nhiên n” Ta có 0! = 1, n! = 1.2.3…n,
Cho k nhận các giá trị từ 2, 3, …, n rồi cộng lại ta được:
Đó chính là điều phải chứng minh.
1.4.1.Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng
1.4.2.Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn abcd = 1 Chứng minh rằng:
1.4.3.Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:
1.4.4.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
1.4.6.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2ta có:
1.4.7.Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng:
1.4.8.Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n1,n
1.4.9.Cho n và p là hai số nguyên dương bất kì Chứng minh rằng
Phương pháp phản chứng
Xét bài toán phải chứng minh khẳng định (*) đúng.
Phương pháp phản chứng là một kỹ thuật trong logic, bắt đầu bằng việc giả định rằng khẳng định (*) sai Qua quá trình suy luận và thực hiện các phép toán, ta sẽ dẫn đến một mâu thuẫn Điều này cho thấy rằng khẳng định (*) thực sự đúng, và từ đó ta có thể chứng minh điều cần chứng minh.
Ví dụ 1.5.1.Cho các số thực a, b, c 0, 2 Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau sai a 2 b 1, b 2 c 1, 2 c a 1
Giả sử ba bất đẳng thức đã cho đều đúng, nhân chúng với nhau theo vế với vế ta được
2 2 2 1 2 2 2 1 a b b c c a a a b b c c Mặt khác, do a, b, c 0, 2 nên a, 2 – a > 0, suy ra
Tương tự, ta cũng có: 0 b 2 b 1, 0 c 2 c 1
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 1.5.2.Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a 2 b 2 ab bc ca 0
2 a b a b ab bc ca a b c ab bc ca a b ab bc ca a b c
Kết hợp với giả thiết ta có:
(mâu thuẫn) Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 1.5.3.Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:
Chứng minh ba số a, b, c đều dương.
Giả sử rằng ba số a, b, c có một số không dương Không giảm tính tổng quát, ta xem a0
Mà abc > 0 nên a 0, do đó a < 0.
Lại có a + b + c > 0 nên b + c > 0, suy ra a( b +c ) < 0
Theo giả thiết thứ hai ab + bc + ca > 0 ta có a b c bc 0 bc 0
Vì thế a.bc < 0 (Mâu thuẫn với giả thiết thứ ba)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 1.5.4.Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau Chứng minh rằng tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn (a + b + c) 2
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có:
0 1 a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b b c c a
Theo đề bài ra a, b, c khác nhau đôi một nên
Vì (1) và (2) mâu thuẫn với nhau nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.5.5.Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng ba bất đẳng thức sau không thể cùng xảy ra.
Giả sử tồn tại bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn cả bất đẳng thức Từ (1) và (2) ta có:
3 3 3 4 a b a b c d ab cd cd a b ab a b ab ab cd ab
4 3 5 a b cd c d ab a b cd c d a b ab ab cd ab ab ab cd a b cd ab cd ab ab cd ab cd ab cd
Từ (4) và (5) ta có mâu thuẫn Vậy khẳng định của bài toán được chứng minh.
1.5.1 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng trong ba số đó có đúng một số lớn hơn 2010
1.5.2.Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a 2 b 2 c 2 1 ab Chứng minh rằng a c và b c
1.5.3.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b+ c abc Chứng minh rằng có ít nhất hai trong số các bất đẳng thức sau đúng
6, 6, 6 a b c b c a c a b 1.5.4.Cho các số nguyên dương x, y Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sai
1.5.5.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa abc = 1 Chứng minh
2.6.1.PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN
A.Giới thiệu bất đẳng thức CAUCHY.
Nếu a1, a2, … , an là các số thực không âm thì
Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, hay còn gọi là bất đẳng thức AM – GM, là một bất đẳng thức nổi tiếng trong toán học Tên gọi này xuất phát từ việc AM là viết tắt của "arithmetic mean" và GM là "geometric mean" Tại Việt Nam, bất đẳng thức này thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy, theo tên nhà toán học Pháp Augustin – Louis Cauchy, mặc dù ông không phải là người đầu tiên đề xuất mà chỉ đưa ra một chứng minh đặc sắc cho nó Bất đẳng thức này rất quen thuộc và được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị, làm cho nó trở thành một phần quan trọng trong chương trình học của học sinh.
Trong phạm vi chương trìnhToán THCS, chúng ta quan tâm đến ba trường hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy là:
-Trường hợp n = 2 Lúc này bất đẳng thức được viết lại rằng: Nếu a, b là các số thực không âm, thì: 2 a b ab
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
Bất đẳng thức này còn được viết ở hai dạng khác tương đương là
-Trường hợp n = 3 Ta có bất đẳng thức Cauchy cho ba biến không âm: Nếu a, b, c là các số thực không âm, thì :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
Trong thực tế khi áp dụng, ta còn sử dụng một dạng khác tương đương của bất đẳng thức này là:
-Trường hợp n = 4 Trong trường hợp này, ta có bất đẳng thức Cauchy cho bốn biến không âm: Nếu a, b, c, d là các số thực không âm, thì
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b= c =d
Tương tự như hai trường hợp khác, ta cũng thường hay sử dụng bất đẳng thức này dưới dạng
-Ngoài ra, từ trường hợp bất đẳng thức Cauchy có n = 2 có dạng 2 a b ab
ta có thể suy ra các bất đẳng thức tương đương :
B.Các kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
B.1.Kỹ thuật sử dụng Cauchy trực tiếp.
Ví dụ 1.6.1 Cho các số dương a, b thỏa mãn 2 2
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có
Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy một lần nữa, ta được a b 2 ab 2.1 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b =1
Ví dụ 1.6.2 Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh rằng ab cd a d b c
Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành a b c d 1 a d b c b c a d
Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 2 xy x y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b a b a d b c c d a d b c b c a d
Ví dụ 1.6.3.Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh rằng a b c 1 1 1 9 a b c
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng a 2 b 2 2ab, dễ thấy
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Ví dụ 1.6.4.Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy bộ ba số, ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c >0
B.2.Kỹ thuật ghép đối xứng.
Trong các bài toán có biểu thức phức tạp, việc chứng minh trực tiếp có thể gặp khó khăn Kỹ thuật “Ghép đối xứng” là một giải pháp hữu hiệu giúp đơn giản hóa bài toán Thường gặp trong các bài toán bất đẳng thức, chúng ta thường thấy hai dạng toán chính.
-Dạng 1:Chứng minh X + Y + Z A + B + C. Ý tưởng Nếu ta chứng minh được X + Y 2A Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra Y + Z 2B và
Z + X 2C (Nhờ tính chất đối xứng của bài toán)
Để chứng minh bất đẳng thức XYZ ≥ ABC với X, Y, Z ≥ 0, ta có thể thực hiện theo các bước sau: đầu tiên, chứng minh rằng XY ≥ A² Sau đó, áp dụng phương pháp tương tự để chỉ ra rằng YZ ≥ B² Cuối cùng, cộng ba bất đẳng thức lại theo vế và rút gọn, ta sẽ có điều cần chứng minh.
Theo tính chất đối xứng của bài toán, ta có ZX ≥ C² Nhân ba bất đẳng thức theo vế và lấy căn bậc hai, ta được XYZ ≥ ABC² ≥ ABC.
Ví dụ 1.6.5.Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có abc b c a c a b a b c
Bất đẳng thức này có dạng XYZ ABC, vì vậy sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta chỉ cần chứng minh: b 2 a b c b c a
Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng
Bài toán được giải quyết xong Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ví dụ 1.6.6.Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng: ab bc ca a b c c a b
Bài toán này có dạng X + Y + Z A + B + C với
Hai biểu thức ab c và bc a có tính đối xứng với b, nghĩa là vai trò của a và c là như nhau Vì vậy, bằng cách áp dụng kỹ thuật ghép đối xứng, chúng ta sẽ chứng minh rằng ab + bc + 2c + a ≥ b.
Quả thật, bất đẳng thức này là hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy ab bc 2 ab bc c a c a
Từ đó, bài toán được giải quyết hoàn toàn.
Ví dụ 1.6.7.Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thỏa mãn
Chứng minh tam giác đó là tam giác đều.
Bổ đề: Với mọi x, y > 0, ta có
Chứng minh: Do x 3 y 3 x y x 2 xy y 2 nên bất đẳng thức tương đương với:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng
Bổ đề được chứng minh Để ý rằng a, b, c là tam giác thì hiển nhiên ta có: a + b – c > 0, b + c – a > 0, c + a – b > 0 Áp dụng bổ đề, ta có:
Cộng ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế và rút gọn cả hai vế của bất đẳng thức thu được cho 2, ta có:
Theo giả thiết thì dấu bằng xảy ra, do vậy ta phải có: a b c b c a b c a c a b a b c c a b a b c
Điều này chứng tỏ tam giác đã cho là tam giác đều.
Ví dụ 1.6.8.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
5 ab 5 5 bc 5 5 ca 5 1 a b ab b c bc c a ca
Bổ đề Với mọi a, b > 0, ta có: a 5 b 5 a b a b 2 2
Chứng minh: Ta có a 5 b 5 a b a 4 a b a b 3 2 2 ab 3 b 4
Do đó bất đẳng thức tương đương
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy bộ bốn số, ta có:
Cộng hai bất đắng thức này lại, ta thu được ngay kết quả như trên Bất đẳng thức được chứng minh.
Sử dụng bổ đề kết hợp với giả thiết abc = 1, ta có ngay kết quả.
1 ab ab a b aba b a b ab ab a b ab a b c
Cộng ba bất đẳng thức trên lại vê theo vế, ta thu được
5 ab 5 5 bc 5 5 ca 5 a b c 1 a b ab b c bc c a ca a b c
B.3.Kỹ thuật đặt ẩn phụ kết hợp Cauchy.
Trong bất đẳng thức, quy luật chung là “Bất đẳng thức có nhiều biến sẽ khó hơn” Điều này cho thấy rằng “Bài toán sẽ dễ dàng hơn khi chuyển đổi bất đẳng thức nhiều biến thành dạng ít biến” Kỹ thuật ẩn phụ là công cụ hữu ích để thực hiện điều này.
Ví dụ 1.6.9.Cho x, y là hai số thực khác 0 Chứng minh rằng:
Lời giải: Để ý rằng bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành
Ta được bài toán về dạng một biếu đơn giản là:
Theo bất đẳng thức Cauchy , ta dễ thấy t 4 Suy ra t – 1 > 0, t – 4 0
bài toán được giải quyết hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2 y 2 xy
Giả sử x, y, z đều lớn hơn 2, ta có thể đặt ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán Cụ thể, đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + 2 với a, b, c đều lớn hơn 0 Bài toán trở thành việc chứng minh rằng abc ≤ 1 với điều kiện a, b, c > 0.
Đến đây ta đặt tiếp
Do đó bất đẳng thức trở thành
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra m n p a b c 1 x y z 3
Cách khác Sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng.
Nhân ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế, ta được
Ví dụ 1.6.11.Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ab = cd = 1 Chứng minh rằng
Lời giải: Để ý rằng nếu đặt x = a + b, y = c + d, thì bất đẳng thức bốn biến cần chứng minh tương đương đã được quy về dạng hai biến đơn giản hơn là: xy 4 2 x y x y 2 2 2 y 0 y 2 x 2 0
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết ta có: a b 2 ab 2,c d 2 cd 2
Suy ra x – 2 0 và y – 2 0 Từ đó ta có y 2 x 2 0
Bài toán được chứng minh xong.
Ví dụ 1.6.12.Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh
với x, y, z > 0 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :
Để đơn giản hóa bài toán, chúng ta cần áp dụng định lý Cauchy nhằm biến các phân thức thành có cùng mẫu Điều này sẽ giúp quá trình đánh giá trở nên dễ dàng hơn.
Cộng ba bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được:
Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra
B.4 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.
Ví dụ 1.6.13.Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
Lời giải: Để ý rằng theo bất đẳng thức Cauchy thì:
Hoàn toàn tương tự , ta cũng có: 2 , 2
Cộng ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế, suy ra
1 1 1 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca a b c b c a
Vậy chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ được rằng: ab + bc + ca 3 Điều này hiển nhiên đúng vì
Bài toán được giải quyết xong.
Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1
Ví dụ 1.6.14.Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Cộng ba bất đẳng thức này lại theo vế, ta có ngay kết quả cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 1.6.15.Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Chứng minh rẳng
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Cộng ba bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1
Ví dụ 1.6.14.Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng ba bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được
Và như thế bài toán được quy về chứng minh
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Bài toán được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
B.5.Kỹ thuật đánh giá điểm biên.
Ví dụ 1.6.15.Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Chứng minh rằng:
Ta sẽ quy bài toán về việc chứng minh bất đẳng thức cùng bậc là
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Do đó ta chỉ cần chứng minh: z x z y z xy
Bài toán được chứng minh hoàn toàn Đẳng thức xảy ra
Ví dụ 1.6.16.Cho các số x, y, z 0và x + y + z = 1 Chứng minh rằng x 2 y z 4 1 x 1 y 1 z
Do x + y + z = 1 nên bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:
Do vai trò của x và z trong bất đẳng thức là như nhau, ta có thể giả sử x ≥ z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có (x + y + z)² ≥ 4xyz Từ đánh giá này, để hoàn tất chứng minh, cần chỉ ra rằng (x + 2yz)² ≥ xyz(x + y) Điều này tương đương với việc chứng minh rằng (y - x)(z - x) ≥ 0, điều này hiển nhiên đúng khi x ≥ z Vậy bài toán đã được chứng minh xong.
2.6.2.SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY.
A.Giới thiệu về bất đẳng thức Bunyakovsky.
Trong Toán sơ cấp, bất đẳng thức Bunyakovzky là một trong hai bất đẳng thức quan trọng nhất, bên cạnh bất đẳng thức Cauchy, nhờ vào tính đơn giản và hiệu quả của chúng Sau khi đã khám phá bất đẳng thức Cauchy và các kỹ thuật áp dụng, phần này sẽ tập trung vào việc tìm hiểu sâu hơn về bất đẳng thức Bunyakovsky.
Bất đẳng thức này được phát biểu như sau: Với hai bộ số thực bất kì a a 1, , 2 a n và
Đẳng thức xảy ra khi tồn tại số thực k sao cho a₁ = kb₁ với mọi i = 1, 2,…,n Bất đẳng thức này được Augustin Louis Cauchy đề xuất lần đầu vào năm 1821, và sau đó, vào năm 1859, học trò của ông là Viktor Yakovlevich Bunyakovesky đã mở rộng kết quả cho tích phân Đến năm 1885, Hermann Amandus Schwarz đã chứng minh kết quả tổng quát của bất đẳng thức này trong không gian tích Mặc dù cụm từ "Bất đẳng thức Bunyakovesky" thường được sử dụng, tên chính xác phải là bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovesky - Schwarz Tuy nhiên, để phù hợp với chương trình sách giáo khoa của Việt Nam, trong tài liệu này, tôi sẽ gọi là bất đẳng thức Bunyakovesky.
Ngoài ra, từ bất đẳng thức (*) có thể suy ra một hệ quả quan trọng cho các bài toán bất đẳng thức dạng phân thức, đó là bất đẳng thức Bunyakovesky Bất đẳng thức này được phát biểu như sau: Cho hai dãy số thực a1, a2, , an và b1, b2, , bn với điều kiện b1 > 0 cho mọi i.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trong bài viết này, tôi đã giới thiệu về bất đẳng thức Bunyakovesky và những hệ quả của nó trong các trường hợp tổng quát với số biến không xác định Tuy nhiên, trong chương trình Toán THCS, chúng ta sẽ tập trung chủ yếu vào hai trường hợp cơ bản là n = 2 và n = 3.
_Nếu a, b, x, y là các số thực, thì: a 2 b 2 x 2 y 2 ax by 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b x y
_Nếu a, b, x, y là các số thực và x, y > 0, thì
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b x y
_Nếu a, b, c, x, y, z là các số thực, thì: a 2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 ax by cz 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c x y z
_Nếu a, b, c, x, y, z là các số thực và x, y, z > 0, thì
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c x y z
B.Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky.
Chúng ta mở đầu phần này bằng một số ví dụ đơn giản mà ở đó ta có thể thấy ngay cách sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky.
Ví dụ 1.6.17.Cho a, b, c và a + b + c = 1 Chứng minh rằng
Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky, ta có:
1 1 1 a 2 b 2 c 2 a b c 2 1 a 2 b 2 c 2 1 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.6.18.Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng
Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức, ta có:
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 3 3 a b c a b c b c c a a b
Ví dụ 1.6.20.Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng
Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức, ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.6.21.Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng
Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovesky dạng phân thức ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trong các ví dụ đã nêu, các bình phương được sử dụng một cách dễ dàng với định lý Bunyakovsky Tuy nhiên, trong nhiều bài toán bất đẳng thức, các bình phương này không phải lúc nào cũng có sẵn Điều này có thể khiến việc áp dụng Bunyakovsky trở nên kém hiệu quả Thực tế, chúng ta vẫn có thể thêm bớt các đại lượng thích hợp để tạo ra bình phương, từ đó duy trì hiệu quả của định lý này.
Ví dụ 1.6.22.Cho x, y, z > 0 và x 2 y 2 z 2 3 Chứng minh rằng x 3 y 3 z 3 3
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovesky, ta được:
Bài toán được quy về chứng minh
Kết quả này đúng theo bất đẳng thức
Bunyakovesky x y z 2 1 1 1 x 2 y 2 z 2 9 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Nhân xét: Bất đẳng thức đã cho có thể viết được dưới dạng
1.6.23.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2 Chứng minh rằng
1.6.24.Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d > 0, ta có ab cd a d b c
1.6.25.Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh rằng
1.6.26.Cho x, y, z > 0 và x 2 y 2 z 2 3 Chứng minh rằng
1.6.27.Cho x, y, z, t > 0 và xy4zt2yz2xt9 Chứng minh rằng xy 2 zt 3
1.6.28.Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1.6.29.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = ab + bc + ca Chứng minh rằng:
1.6.30.Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c 3 Chứng minh
1.6.31.Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0, ta có:
1.6.32.Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng